TEOREMA 3 . Si A y B son matrices [ n n ] y k es una constante entonces . . . I) k A k n A= II) A B A B= DEMOSTRACIÓN : I) ...

TEOREMA 3 .
Si A y B son matrices [ n n ] y k es una constante entonces . . .
I) k A k
n
A=
II) A B A B=
DEMOSTRACIÓN :
I) k A k A=
De cualquier renglón ó columna se puede extraer un factor común en un determinante y entonces éste queda multiplicado por tal factor .
Por otra parte la matriz kA se obtiene multiplicando cada renglón de la matriz A por el número k .
Asi que si k tiene n renglones, el factor común k se puede extraer n veces del determinante A y por lo tanto quedará multiplicado por si mismo n veces .
II) A B A B=
Demostrar que el determinante de un producto es el producto de los determinantes no es fácil .Aquí solamente se ilustrará el caso de matrices [ 2 2 ].
Sean las matrices : A
a11
a21
a12
a22







= y B
b11
b21
b12
b22






= , entonces . . .
A B
a11
a21
a12
a22







b11
b21
b12
b22







=
a11 b11 a12 b21
a21 b11 a22 b21
a11 b12 a12 b22
a21 b12 a22 b22






=
Asi que su determinante es . . .
A B a11 b11 a12 b21  a21 b12 a22 b22  a21 b11 a22 b21  a11 b12 a12 b22 =
= a11 b11 a22 b22 a12 b21 a21 b12 a21 b11 a12 b22 a22 b21 a11 b12
= a11 a22 b11 b22 b12 b21  a12 a21 b11 b22 b12 b21 
= a11 a22 a12 a21  b11 b22 b12 b21 
Pero por otra parte . . .
Pedro Ferreira Herrejón 359
Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH

Ejemplo 6 . Considerese las matrices : A
2
1
1
3
0
0
1
2
3









= ; B
1
1
2
2
3
1
0
2
1








=

Calculando sus determinantes se encuentra que . . .
A 3= ; B 11=
Se deja como ejercicio verificar que en efecto . . .
3 B 3
1
1
2
2
3
1
0
2
1









= =
3
3
6
6
9
3
0
6
3









; 3 B = 297 33 11( )= = 33 B
4 A 4
2
1
1
3
0
0
1
2
3









= =
8
4
4
12
0
0
4
8
12









; 4 A = 192 43 3( )= = 43 A
A B
2
1
1
3
0
0
1
2
3









1
1
2
2
3
1
0
2
1









= =
3
3
5
12
0
1
5
2
3









; A B = 33 3( ) 11= = A B
B A
1
1
2
2
3
1
0
2
1









2
1
1
3
0
0
1
2
3









= =
4
3
6
3
3
6
5
11
7









; B A = 33 11 3( )= = B A
Pedro Ferreira Herrejón 360
Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH

TEOREMA 4 .
Una matriz A es inversible si y solo si su determinante no es cero .
DEMOSTR