La igualdad entre éstas dos matrices de tamaño [n 1 ] implica que el elemento j-ésimo de X es : xj 1 A b1 A11 b2 A21 ....... bn An1 b1 A1...

La igualdad entre éstas dos matrices de tamaño [n 1 ] implica que el elemento j-ésimo de X es : xj 1 A b1 A11 b2 A21 ....... bn An1 b1 A12 b2 A22 ....... bn An2 .... b1 A1n b2 A2n ....... bn Ann La regla de Cramer se puede aplicar solamente a sistemas de ecuaciones lineales que  tienen exactamente el mismo número de incógnitas que de ecuaciones. Para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas por la regla de Cramer,  es necesario calcular n 1 determinantes de matrices de tamaño [n n ] . Entonces para sistemas de más de 3 ecuaciones, los cálculos se hacen cada vez más laboriosos y en este sentido el método de Gauss es superior dado que implica transformar solamente una matriz [ n n 1 ] a la forma escalonada. No obstante , la regla de Cramer es una fórmula analítica para la solución de un  especial sistema de ecuaciones lineales y su principal ventaja es que se puede obtener el valor de cualquiera de las n incógnitas del sistema sin conocer el valor de las demás . En el método de Gauss ésto no es posible . Ejemplo 13 . Calcular el valor de las incógnitas en el sistema lineal : 2 x 3 y 2 z 0= x 4 y 3 z 3= 5 x 6 y 7 z 3= Solución : La forma matricial del sistema es : A X B= es decir . . . 2 1 5 3 4 6 2 3 7 x y z = Transformemos un poco la matriz A con el fin de calcular su determinante más fácilmente : R1 R1 2 R2 R3 R3 5 R2 2 1 5 3 4 6 2 3 7  0 1 0 11 4 14 8 3 8 = Calculando su determinante A por desarrollo de cofactores a lo largo de la primera columna, se obtiene . . . A a11 A11 a21 A21 a31 A31 = 0 A11 a21 A21 0 A31 = a21 1 2 1 M21 = 1 1 2 11 14 8 8 = 24 Además . . . B1 0 3 3 3 4 6 2 3 7 = y por lo tanto . . . B1 0 3 3 3 4 6 2 3 7 = = 24 B2 2 1 5 0 3 3 2 3 7 = y por lo tanto . . . B2 2 1 5 0 3 3 2 3 7 = = 48 B3 2 1 5 3 4 6 0 3 3 = y por lo tanto . . . B3 2 1 5 3 4 6 0 3 3 = = 48 y de la regla de Cramer, se obtiene la solución . . . x B1 A = = 24 24 = 1 y B2 A = = 48 24 = 2 z B3 A = = 48 24 = 2 Ejemplo 14 . Hallar la matriz inversa de la matriz de coeficientes del siguiente sistema de ecuaciones lineales y determinar su solución : 5 x 3 y z 10= 2 x y 4 z 4= 2 x 7 y 8 z 0= Solución : La forma matricial del sistema es : A X B= es decir . . . 5 2 2 3 1 7 1 4 8 x y z =