Análise de escoamento dos fluidos Aprenda tudo que você precisa

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Viscosidade - Teoria

Estudo matemático desta propriedade.

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    lockResumo - análise de escoamento dos fluidos - Resumo

  • Fala aí, galera. Nessa aula, nós vamos estudar um pouco mais sobre a viscosidade.
    Uma propriedade muito importante e vai influenciar diretamente no escoamento. Vamos ver também uma aplicação prática dos seus conceitos.
    Para começar, vamos analisar a Lei de Newton da viscosidade e observar o que ela diz sobre essa propriedade. Antes de mais nada, vamos voltar aquele exemplo que a gente viu na aula introdutória.
    Onde nós aplicamos nessa superfície superior uma força que vai acarretar no escoamento do fluido. Outra coisa importante de ser lembrada é que a tensão de cisalhamento é expressa como a força tangencial aplicada sobre a área.
    Então, considerando a presença da viscosidade do nosso escoamento, a gente vai observar que ele vai se dar em uma forma de parábola e não de forma reta como a gente viu na aula introdutória. Então vai ser importante a gente delimitar aqui duas linhas que vão nos basear nas nossas análises.
    Vamos definir também os seus parâmetros sabendo que, o nosso eixo Y, vai estar aqui na vertical. Então, assim, a gente pode definir desde já para essa primeira linha uma altura Y e para a nossa segunda linha uma altura Y mais dY.
    Da mesma forma, a gente pode definir a velocidade de cada uma, sendo essa V1 e a segunda V1 mais dV. Sabendo disso, agora a gente vai ampliar essa parte do nosso escoamento que nós estamos analisando de forma que a gente consiga ver de forma mais clara.
    Então aqui em cima vai estar a linha de cima e aqui embaixo a nossa linha de baixo de acordo com o desenho de cima. Então, para a primeira, nós vamos ter aqui V1 mais dV e nessa debaixo nós vamos ter V1 no mesmo sentido.
    Então, analisando o cisalhamento entre essas duas áreas a gente vê que aqui está a tensão de cisalhamento entre as duas. Observando então essa tensão de cisalhamento entre as duas faces, nós podemos deduzir que a tensão será proporcional ao gradiente da velocidade na altura.
    Isso nós temos que é a lei de Newton na viscosidade. Em outras palavras, ela pode ser traduzida como tensão de cisalhamento sobre o gradiente da velocidade igual a uma constante.
    E essa constante será o que nós chamaremos de viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica e expressando de uma forma melhor de visualização nós temos que, a tensão de cisalhamento, vai ser igual a viscosidade absoluta ou dinâmica vezes o gradiente da velocidade. E como unidade para essa viscosidade absoluta, nós vamos ter que basear essa igualdade Newton vezes segundo por m².
    Essa viscosidade absoluta ou dinâmica, quando aplicada praticamente, pode ter dois tipos de análise. Uma mais simples e uma mais complicada, que vai depender de alguns parâmetros, como nós vamos ver a seguir no nosso exemplo prático.
    Então, aqui no nosso exemplo, a gente vai observar a descida de um êmbulo dentro do cilindro. Esse êmbulo vai ter peso de 4 newtons, o diâmetro do cilindro também foi dado como 10,1 cm e o diâmetro do êmbulo é 10 cm.
    A altura do êmbulo também foi dada como 5 cm. Observa-se que entre o êmbulo e o cilindro há um espaço ocupado por um óleo.
    A velocidade de descida é 2 m/s e a viscosidade do óleo é o que quer ser descoberto no nosso exemplo. Então, para a gente começar nos nossos cálculos é importante definir algumas coisas.
    Como a gente já sabe, a tensão de cisalhamento vai ser igual a força tangencial sobre a área que está sendo cisalhada. Em nosso caso, a força tangencial é o próprio peso do êmbulo que vai ser a tangencial da área cisalhada.
    E ele pode ser expresso como tensão de cisalhamento vezes a área. Outra coisa importante a ser definida é que a tensão de cisalhamento vai ser o negativo da viscosidade vezes o gradiente da velocidade.
    Isso por que se nós olharmos para o exemplo anterior, o nosso êmbulo que está em movimento seria a superfície de baixo, portanto ao se afastar da superfície de baixo, a velocidade estaria diminuindo indo ao sentido contrário ao que gente viu anteriormente. Outra definição importante para a gente saber é a área do fluido está sendo cisalhado que como é toda a área que está em contato com o cilindro, a gente pode expressá-la como diâmetro de cilindro vezes o PI, vezes o L, que nada mais é do que a planificação da área lateral do cilindro e, portanto, o perímetro da circunferência da face do cilindro vezes o L vai nos dar a área do retângulo que seria formado pela planificação dessa área.
    Outra analogia é que, o que antes era cota Y, vai ser agora considerado cota R. E, portanto, o diâmetro vai ser 2R.
    Então, juntando essas informações que a gente acabou de colher e colocando na fórmula do peso, nós vamos ter que o peso do êmbulo vai ser igual a negativo da viscosidade do fluido vezes o gradiente da velocidade vezes a área que a gente botou ali embaixo que é 2R no lugar do D vezes o Pi vezes o L. Então, vamos agora separar o R e jogar para o outro lado da nossa equação, que vai ficar menos P, que já trocamos o sinal de negativo para o outro lado, vezes dR, que nós mostramos aqui, que na verdade era o dY e nós trocamos pelo R, sobre R para ser igual a não, aqui na verdade é positivo, porque nós trocamos de lado o sinal da viscosidade vezes o diferencial da velocidade vezes dois, vezes pi, vezes L.
    E agora a gente pode integrar essa equação dos dois lados. E o valor da integral vai me dar que, do lado de cá, nós vamos ter menos P vezes logaritmo neperiano de RE que é o Raio Externo sobre o raio interno que foram nossos limites da integral.
    Do outro lado, nós vamos ter menos 2, vezes pi, vezes L, vezes a viscosidade e vezes o V E esse sinal de negativo vai se dar, porque, os limites de velocidade eram zero até V. Então agora nós vamos isolar a viscosidade de um lado da equação que é o que a gente quer achar.
    E a gente vai ter o seguinte. Agora é só substituir os valores que a gente acha a nossa viscosidade.
    Então, o P a gente sabe que é quatro. No denominador, nós vamos ter 2 vezes Pi, vezes o L que nós sabemos que é 5 cm, passando para metro fica 0,05 m, vezes a velocidade que é dois.
    No algoritmo neperiano, a gente vai substituir os raios pelos seus diâmetros correspondentes, então o externo vai ser 10,1 e o interno 10. A gente vai deixar aqui descrito para não confundir.
    Então fazendo esses cálculos a gente vai ter que a viscosidade será igual aproximadamente 6,33x10-² N/s m². Porém, toda essa análise é feita quando a distância entre as duas superfícies for muito grande.
    Para distâncias pequenas como essa do nosso exemplo, a gente pode usar uma significação da lei de newton da viscosidade que vai ser viscosidade vezes a velocidade sobre a distância. Porque, na verdade aqui a gente vai apresentar como épsilon.
    Então fazendo a mesma análise que a gente usou para a outra fórmula, a gente pode substituir essa fórmula de tensão de cisalhamento na fórmula da pressão que vai ser: a viscosidade vezes a velocidade sobre a distância entre as duas fases que nesse caso não tem o sinal negativo, porque como a distância é muito pequena e a gente não considera multiplicada por Pi vezes d, vezes L, que é a área cisalhada. Isolando a viscosidade que é o que a gente quer achar, nós vamos ter que a viscosidade vai ser igual ao peso vezes a distância, tudo isso dividido pela velocidade vezes Pi, vezes o diâmetro, vezes o L do nosso êmbulo.
    Então agora vamos substituir os valores para a gente achar o valor da viscosidade onde esse 0,05 é a diferença entre o raio do cilindro e do êmbulo. E como ele está em centímetros a gente tem que botar aqui vezes 10-² para passar para metro.
    Então tendo aqui os valores, a gente fazendo esses cálculos vai encontrar um valor para viscosidade de aproximadamente 6,37 x 10-² N/s por m². Observe que esse valor é bem aproximado do valor da outra análise.
    Sendo assim, a gente pode concluir que essa simplificação da Lei de Newton na viscosidade funciona muito bem para distancias pequenas. Então é isso, galera.
    Essa foi a análise sobre essa propriedade tão importante que é a viscosidade. Eu aguardo vocês na próxima aula.
    ...

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