Autovalores, Autovetores e Diagonalização Aprenda tudo que você precisa

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Definição do polinômio característico - Teoria

Agora vamos começar a entender como podemos encontrar auvalores de uma matriz, para posteriormente encontrarmos os autovetores associados a eles

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    lockDefinição do polinômio característico - Teoria

    lockEncontrando autovetores - Teoria

    lockIntrodução ao processo de diagonalização - Teoria

    lockDiagonalização de uma matriz - Teoria

    lockDiagonalização de uma matriz - Exercício

    lockResumo - autovalores, autovetores e diagonalização - Resumo

  • E aí, pessoal. Beleza?
    Agora a gente vai aprender a encontrar os autovalores. Na aula passada, a gente terminou com um exemplo, onde a gente verificou que um cara lá era autovetor de uma matriz, a gente até achou qual que era o autovalor associado àquele autovetor, mas se eu só te der uma matriz e falar "quais são os autovalores e os autovetores?
    ", porque lá eu já tinha dado um cara que era um autovetor. Então é isso que a gente vai tentar fazer agora.
    A gente vai encontrar, ver um método aqui, para encontrar os autovelores dada uma matriz. Então beleza.
    A gente vai falar de um cara que chama Polinômio característico. Esse vai ser o tema aqui da nossa aula.
    Beleza? Então antes vamos lembrar então da nossa definição.
    Então eu tenho uma Matriz A, certo? Um vetor X vai ser autovetor dela, se AX for igual a λ X, em que λ é um escalar que é o próprio autovalor.
    Então esse é o cara que a gente está preocupado em encontrar nessa aula. O autovalor.
    Legal? Beleza.
    Vamos fazer o seguinte. Vamos pegar essa equação e vamos escrever da seguinte maneira.
    A x X é igual a λ que multiplica i vezes x. Como assim?
    I é matriz de identidade i vezes x. Por quê?
    Porque a gente viu em aulas passadas, eu mostrei para vocês que, se eu pegar uma matriz qualquer e multiplicar pela identidade, eu não altero ela, então isso aqui por enquanto não tem problema nenhum. Correto?
    Beleza. Vamos lá.
    Vamos fazer o seguinte. Eu vou passar esse termo para lá subtraindo, então eu vou ficar com esse daqui.
    AX é, na verdade, passei subtraindo, então vamos lá - λ i, x, isso é igual a zero. Beleza?
    Então vamos lá. Se eu colocar em evidência aqui o X, o que eu ia ter?
    Eu iria ter A - λ i que multiplica x isso tudo é igual a zero. Não é isso?
    Aí pessoal a ideia é o seguinte. Eu tenho um produto de duas matrizes dando zero, a gente sabe que X é uma matriz de uma coluna, é um vetor e ele é não nulo, a gente já discutiu isso.
    E aí tem um teorema que não é tão importante para a gente aqui, por isso que eu vou só citá-lo que se isso aqui acontece, tem um produto de uma matriz dando zero em que esse cara não é zero, isso só acontece o determinante dessa matriz for zero. Então essa equação só vai ter solução se o determinante de A menos λ i for igual a zero.
    E esse é o procedimento. Isso aqui, pessoal, a gente deu o nome de equação característica e vai ser esse o procedimento que a gente vai usar para encontrar os autovalores.
    Talvez você pode ficar um pouco ainda incrédulo, "Como que vai sair autovalor disso?", a gente vai fazer um exemplinho e você vai ver que é muito simples e daqui a pouco então eu defino o polinômio característico.
    Então isso aqui é o que a gente chama de equação característica. Dela vai sair o polinômio característico.
    Beleza? Então está aí.
    A partir disso, a gente encontra os λs, os autovalores. Vamos ver um exemplo aqui que vai ficar bem claro depois a gente continua então a definição.
    Está aqui. Encontre os autovalores de B.
    O que eu falei? Eu falei que a gente tinha que obter os autovalores a partir daquela equação que é determinante de A - λ i, no meu cao então, B - λ i = 0.
    Não é isso que eu falei? Então vamos lá.
    Vamos mexer com essa definição. Pera aí, deixa eu desmanchar isso daqui.
    Vamos lá. Vamos desenvolver isso daqui.
    Primeiro, o que seria λ vezes i? λ é quem eu quero encontrar são os autovalores, então ia ficar assim, λ que identidade eu vou usar?
    Identidade de ordem 2, a minha matriz aqui é 2x2, então uso a identidade de ordem 2, seria isso daqui. Deixa eu até colocar assim, antes de eu fazer, vou colocar aqui.
    λ i vai dar o quê? Vai dar λ que multiplica a identidade de ordem 2 - 1 0 0 1 e aí a gente já sabe o produto de matriz por escalar, multiplica todo o termo pelo escalar, então vai ficar λ 0, 0 e λ não é isso?
    λ vezes um, λ vezes zero e por aí vai. Então o que eu preciso fazer?
    B - λ i. Então quem vai ser B - λ i?
    Então vai ser essa matriz B, vou até colocá-la aqui que é 2, 4, 0 e 9 menos qual matriz? Aquela ali que é λ zero, zero λ.
    λ zero, zero λ. Legal.
    Vamos desenvolver isso aqui então. Como eu vou fazer subtração de matriz?
    Termo a termo, né? Então fica 2-λ, então vou ter essa matriz aqui.
    Dois - λ. Deixa eu separar um pouco isso daqui.
    2- λ, aqui eu vou ter 4-0 vai dar simplesmente 4, nesse termo aqui. O que mais?
    Aqui vai ter um quatro. 0-0=0.
    E aqui 9-λ=9-λ. E aí?
    Como que eu encontro então o λ? Os autovalores que eu quero?
    Eu já falei. É aquela definição então.
    Determinanete disso, de B-λ i, tem que ser igual a zero. Então como que vai ficar aquela equação, deixa eu descer um pouquinho aqui.
    Vamos lá. Eu quero que o determinante desse negócio seja igual a zero, então vai ficar assim.
    Determinante de B - λ i, deixa até eu colocar aqui. Determinante, vamos escrever, deixa eu mudar de cor, acho que vai ficar melhor para a gente continuar aqui.
    Determinante de B - λ i, isso tem que ser igual a zero. Certo?
    Então vamos lá. Como que fica o determinante de B - λ i?
    Menos λ i está aqui, então esse é o determinanante. 2 - λ, 0, 4, 9-λ, determinante da matriz 2x2 eu multiplico esses caras aqui, depois subtraio pelo produto da outra diagonal que vai dar zero.
    Então vai ficar 2 - λ, que multiplica o quê? 9 - λ.
    Isso tem que ser igual a zero. Então na verdade eu ia fazer esse produto é menos quatro vezes zero, mais ou menos quatro vezes zero já zerou.
    E aí? Agora eu saio disso aí com uma equação do segundo grau.
    Dois menos λ, nove menos λ igual a zero. Isso aqui é o que a gente chama de polinômio característico da equação.
    As raízes do polinômio característico são justamente os autovalores. Por exemplo, que raízes eu vou ter aqui?
    λ igual a dois. Se eu colocar λ = dois, aqui fica dois menos dois zero.
    E fica zero esse termo inteiro. Correto?
    Se zerou o termo inteiro deu zero. Que outra raíz eu vou ter?
    λ = 9, não é? Se eu colocar λ = 9, aqui vai zerar, zera tudo.
    Então esses são meus dois autovalores dessa minha matriz B e para cada autovalor, a gente vai ver na próxima aula, a gente vai encontrar um autovetor associado a ele. Então a esse carinha aqui, deixa eu até desmanchar essa parte de cima então.
    Só para você observar bem. Esse cara é o que a gente chama de polinômio característico.
    Então isso daqui poderia escrever da seguinte maneira. P de λ é igual a dois menos λ que multiplica nove - λ.
    E aí as raízes desse polinômio que a gente chama de polinômio característico são os proprios autovalores, são os valores de λ que vão fazer isso ser igual a zero, que é o que eu quero. Então a gente viu que na verdade eu vou fazer o determinante de B menos λ i, já vai direto dar o meu polinômio característico sendo os autovalores as raízes desse polinômio característico.
    Tranquilo? Então foi aquilo que eu falei.
    Esse procedimento aqui de fazer isso daqui já vai direto me dar a equação cujas raízes vão ser os autovalores. Beleza?
    Então essa aqui é a equação característica que fornece o polinômio característico. Então melhorando aí deixando mais completa a nossa definição está aqui os autovalores de uma matriz A são as raízes λ do seu polinômio característico.
    P de λ é o determinante de A - λ i. Beleza turma?
    Vamos até pegar aqui então, vamos fazer rapidinho agora que a gente pegou a manha. Vamos pegar aquela matriz que eu uso na aula passada de exemplo.
    Você lembra dela? Ela é 3, 0, se não lembra, volta no vídeo aí que você vai lembrar, 3, 0, -8 na verdade, era 8 e -1.
    8 e -1. Vamos voltar aqui.
    8 e -1. Vamos pegar e vamos encontrar, a gente viu, a gente tinha testado lá e viu que λ igual a 3, era um autovalor.
    Vamos ver de fato se ele é aqui vamos ver se tem mais algum outro autovalor. Vamos desenvolver, então vamos respeitar, vamos usar essa definição nossa.
    O que eu preciso fazer aqui? Vamos lá.
    Deixa eu anotar em um canto. Determinante de A - λ i.
    O que vai dar isso? Se eu fizer A - λ i, vamos fazer aqui no cantinho já.
    A é isso daqui, não é? 3, 0, 8, -1 -λ vezes i.
    Já imagina isso. Se eu pegar λ e multiplicar pela identidade, vai ficar assim.
    λ 0, zero λ. Por quê?
    Porque a identidade aqui um zero, zero um, multipliquei por λ, quando eu multiplico λ por zero, continua zero, λ por um fica λ. Entao vai ficar assim uma equação a-λ i.
    Três menos λ. O que mais?
    0 - 0 = 0 8 - 0 = 8 e -1 - λ, então vai ficar assim, -1 -λ. Beleza?
    Então vamos lá. Isso aqui é o meu A - λ i.
    Certo? O que eu quero fazer?
    O determinante disso. Então vamos lá.
    O meu p de λ, o meu polinômio característico, vai ser o determinante daquele cara que é 3, - λ, 0 e 8. E aí eu posso colocar até o -1 em evidência, não é?
    Se eu colocar o -1 em evidência vai ficar o quê? λ mais 1.
    Certo? λ mais um, então eu quero que isso daqui seja igual a zero.
    Como é que fica esse determinante? Vai ficar esse produto de novo, vai acabar zerando, vou multiplicar esses caras e subtrair do produto dessa outra diagonal que vai ficar zero: 0 x 8 = 0.
    Então vai ficar assim: 3-λ, que multiplica -1 x λ + 1. Vou colocar assim.
    λ mais um. E aí eu coloco o menos aqui na frente.
    Correto? Então eu quero o quê?
    As raízes do polinômio característico. Os valores de λ que fazem isso dar zero.
    Quais que vão ser? A gente percebe que se eu colocar λ = 3, eu não estou desenvolvendo a equação, eu não estou abrindo ela, porque eu acho que é até mais fácil, mais prático a gente enxergar nesse formato.
    λ = 3, vai zerar aqui, vai ficar 3, - 3=0, zerando esse termo inteiro ficou 0 = 0, beleza, satisfiz a minha equação e aqui se eu colocar λ igual a -1, colocando λ = -1, isso aqui zera, zero vezes qualquer coisa zerou? Zerou.
    Legal. Essas são as minhas duas raízes então.
    λ = 3 e λ = -1. λ = 3, como a gente tinha visto na aula passada, está aqui.
    E agora encontramos inclusive mais um autovalor. Então está aqui achamos os dois autovalores dessa matriz.
    Então a matriz vai ter tantos autovalores quanto ela tiver com o seu polinômio característico tiver raízes. Se a gente tivesse aqui oito raízes, fosse uma equação de 8º grau, eu teria então oito autovalores.
    Beleza? Então é isso, pessoal.
    Espero que tenha ficado claro, é assim que a gente vai proceder ...

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