Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Nessa última parte do curso vamos juntar os dois conceitos trabalhados até então: vetores e sistemas lineares. Vamos ver como essas duas entidades se relacionam e estudar um processo importante da álgebra linear: a diagonalização de matrizes.

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Aulas de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Definições de autovetores, autovalores e exemplos - Teoria

Nessa aula vamos entender uma das definições mais importantes da álgebra linear: a de autovalores e autovetores

TRANSCRIÇÃO

E aí, pessoal. Agora a gente vai para a última parte do nosso curso de álgebra linear, em que a gente vai falar de autovalores, autovetores e do processo de diagonalização.
Beleza? Essa é a parte que eu comentei com vocês em outras aulas, em que a gente vai juntar as ideias de vetores, de matrizes e sistemas.
Beleza? Por ora, é importante só vocês entenderem o seguinte: Essa ideia de autovalores e autovetores a gente vai entender aqui nessa aula o que eles são.
Nas próximas aulas a gente vai aprender a calcular autovalores, autovetores e tudo mais, pode ficar um pouco abstrato isso. Por enquanto a gente vai entender só como que calcula, e tal, o processo.
Beleza? Lá no final a gente vai entender em que isso vai ser útil, que vai ser no processo de diagonalização.
Então a importância desse estudo aqui a gente vai entender mais pra frente. Por enquanto a gente vai só aprender a calcular e a entender o que é um autovalor e um autovetor.
Tudo bem? Então não fique preocupado se estiver um pouco abstrato porque no final a gente vai arrematar isso aí.
Por ora, vamos entender só o seguinte: Quando a gente falar de autovalores e autovetores, a gente está falando de quê? De autovetores e autovalores de uma matriz.
Então a gente está falando de matrizes aqui ainda. De uma matriz.
Então estou falando de um autovetor de uma matriz e de um autovalor que está associado a um autovetor que é de uma matriz. Daqui a pouco a gente entende isso melhor.
Só para a gente entender em que campo a gente trabalha e mais importante ainda, de uma matriz quadrada. Então novamente a gente está trabalhando no campo das matrizes quadradas.
Tenha isso em mente. Tudo o que a gente vai falar daqui para frente, nas próximas aulas, está valendo sempre para as matrizes quadradas apenas.
Então a matriz 2x2, 3x3, 4x4 e assim por diante. Tudo bem?
Então a gente está nesse campo aqui das matrizes quadradas. Legal.
Então vamos lá. Vamos pegar a definição que vai ser a mais importante aqui.
A gente vai ter que estar com ela em mente em todas as nossas próximas aulas. Que é a definição de autovalores e autovetores.
Então vamos lá. Olhe o que está falando aqui.
Se A é uma matriz n x n, ou seja, é uma matriz quadrada: n linhas e n colunas. É o que a gente está estudando.
Estamos no campo das matrizes quadradas. Beleza.
A é uma matriz n x n. Então X, um vetor não nulo em Rn, é dito autovetor de A.
Como eu falei, então o autovetor é um autovetor de uma matriz. É dito autovetor de A, se AX, se esse produto aqui, for um múltiplo escalar de X.
Ou seja, sendo o λ um escalar, então esse produto AX é igual a λ vezes X. Essa é a definição.
Daqui surge a ideia de autovetor. Então, ou seja, X é um autovetor da matriz A, se A vezes X é igual a λ vezes X.
E que λ que é esse? A esse λ a gente dá o nome de autovalor.
Então esse λ é o que a gente chama de autovalor associado ao autovetor. Associado ao autovetor X.
Autovetor X. Então vamos lá.
Como eu falei, se eu estou falando de um autovetor, é um autovetor de uma matriz. E um autovalor é um autovalor associado a um autovetor.
Então se esse produto exite aqui, se A vezes X é igual a λX, X é autovetor de A, porque ele respeita a definição, e λ é um autovalor associado a esse autovetor. Legal?
Então se eu falo de um autovetor, ele sempre vem associado a um autovalor. Sempre tem um autovalor para cumprir essa definição.
E o autovetor está associado a uma matriz. E aí por ora, talvez você possa se confundir um pouco e pensar: como assim que eu estou multiplicando uma matriz por um vetor?
Isso aqui está um pouco estranho. Então para ficar um pouco claro, vamos fazer o seguinte: qual é a ideia nossa aqui?
Vamos lá. Pense só: a gente tem uma matriz A aqui.
Vamos supor, uma matriz A, sei lá, uma matriz qualquer. Um, zero, dois e um.
Como assim eu vou multiplicar um vetor por uma matriz? A ideia, pessoal, é que a gente pode enxergar, e aqui a gente vai juntar as ideias que eu falei, de vetores e matrizes.
Lembra que a gente representava um vetor assim: Eu tenho um vetor V lá. Vou representar até sem a seta mesmo.
Vetor V. Aí eu representaria ele assim: Eu posso representar assim: um, dois, em termos de componentes.
Eu até estava usando essa chavinha aqui, que eu falei que gostava mais para identificar, mas tanto faz. Eu poderia usar o parênteses ou até mesmo esse colchete.
Bom, dessa forma, eu poderia interpretar esse vetor como sendo uma matriz. Uma matriz de uma linha e, por exemplo, duas colunas.
Concordam? Um outro jeito de escrever esse mesmo vetor V seria, por exemplo, assim: Um e dois.
Seria o mesmo cara. Só que agora eu escrevi com uma matriz de uma coluna.
Seria a mesma ideia. Então, ou seja, dessa forma eu posso interpretar um vetor como sendo uma matriz.
Uma matriz de uma linha ou de uma coluna. Sempre que a gente estiver falando disso daqui, a gente vai escrever os vetores nessa forma aqui.
Uma matriz de uma coluna. Então vou escrevendo as componentes dele dessa forma.
Parecido com o que a gente fazia antes, só que agora, vai ficar em pé, em vez de deitado. Tudo bem?
E observando dessa maneira, finge que eu tenho esse vetor aqui. Eu posso fazer esse produto.
O que seria o produto aqui? Vamos lá.
Vamos juntar essas duas ideias. Se eu fizer A vezes V, estou multiplicando uma matriz por um vetor.
Não vai ter problema nenhum, porque eu estou enxergando esse vetor como uma matriz. Então eu ficaria com um, zero, dois, um vezes esse vetor aqui: um, dois, ou essa matriz.
Por que que eu posso fazer esse produto? Como é essa minha matriz A?
É uma matriz 2 x 2. Correto?
Como é que é esse meu vetor V? Quantas linhas ele tem?
Duas linhas e uma coluna. Então por que esse produto existe?
Lembrando a definição: O número de colunas do primeiro é igual ao número de linhas do segundo. Eu posso fazer esse produto.
Então, isso aqui não deve ser estranho a ninguém. Beleza?
Multiplicar, então, uma matriz por um vetor na verdade, é multiplicar uma matriz por uma matriz. Produto de matriz a gente já tem a manha.
Legal? Então para ficar bem claro, vamos lá.
Vamos voltar nessa definição e a gente vai fazer um exemplo aqui. Então, de novo, se estou falando de um autovetor de uma matriz, ele só é autovetor de uma matriz se eu fizer esse produto de A vezes esse vetor, correto?
Se esse produto for igual a λ, a um escalar, a um número real, por esse vetor. Então beleza.
Aí eu chamo esse cara aqui de autovalor, associado ao autovetor X. X é o autovetor.
Beleza. Vamos fazer um exemplo para isso ficar bem claro.
Então olhe só. Está aqui meu exemplo: eu tenho uma matriz A e eu te peço assim, verifique se isso aqui, X igual a um, dois é autovetor de A.
A gente não só vai verificar se ele é e, se ele for, a gente vai descobrir qual o autovalor associado a ele. Correto?
Então vamos lá. Primeiro, para ser autovetor, o que tem que acontecer?
AX é igual a λX, ou seja, se eu fizer o produto da matriz A por esse cara que é um possível autovetor, tem que ser igual a um escalar, como eu tenho que descobrir, fez esse mesmo vetor. Então vamos ver se isso daí está valendo.
Primeiro vamos fazer aqui, então, AX. Então se eu fizer o produto AX, deixe eu separar aqui do meu enunciado, AX vai ser o quê?
Vamos copiar essas matrizes. Três, zero, oito e menos um.
Certo? Vezes um e dois.
Então estão aqui as minhas matrizes. Então vamos fazer esse produto.
Quem é o cara que vai entrar aqui? Estou na linha um coluna um.
Então vou pegar a linha um desse cara com a um desse cara. Três vezes um, zero vezes dois.
Então vai dar três, correto? A essa altura, a gente tem que estar com a manha do produto, já.
Vamos lá. E agora eu estou aqui.
O que é isso? Linha dois, coluna um.
Linha dois desse cara, coluna um. Oito vezes um, oito.
Menos um vezes dois, menos dois. Oito menos dois, seis.
Beleza. Então, eu já peguei esse cara aqui.
Essa cara aqui, AX, está dando três e seis. Para eu verificar se ele é um autovetor, tem que existir algum λ, que seria o autovalor, que se eu pegar esse λ vezes o X, tem que ser igual a isso.
Então perceba bem, se eu pegar Olha só minha matriz, meu vetor X. Se eu multiplicar ele por três, olhe o que acontece: Deixe eu descer um pouquinho aqui.
Se eu fizer 3X, quanto que vai dar? Aí vai ficar, três vezes um, três.
Três vezes dois, seis. Ou seja, se eu fizer 3X, dá exatamente igual a AX.
Então eu fiz um AX, depois eu fiz o quê? Eu fiz o 3X.
Então, meu três estaria aqui. Estaria cumprindo meu papel de autovalor.
Então, vamos observar com calma. Para ser autovalor, tem que acontecer aquilo alí.
Deixe eu voltar nessa definição nossa que ela é importante. Para ser autovalor, a gente sabe que tem que acontecer isso: AX é igual a λX.
Eu fiz o AX e vi que deu isso aqui: três e seis. E vi que se eu fizer λ igual a três e fizer λX, eu vou ter três e seis.
Então vai ser autovetor sim. X vai ser um autovetor, associado a qual autovalor?
Esse aqui: λ igual a três. Então, conclusão: X é autovetor, por quê?
Porque AX, se eu fizer esse produto, é igual a λX para algum λ. E eu já até descobri qual λ que é.
Então nossa resposta mais completa seria o seguinte: X é autovetor sim, associado a qual outro valor? Associado ao autovalor autovalor λ igual a três.
Beleza? Então está aí.
Esse exercício é bom porque varre toda a parte da definição de autovalores e autovetores. Tranquilo?
Então a ideia é essa, pessoal. Tenho uma matriz A, AX igual a λX para algum λ.
Normalmente a gente tem que encontrar esse λ. A gente vai entender como a gente encontra, o autovalor, o autovetor e tudo mais.
...

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EXERCÍCIOS RELACIONADOS A autovalores-autovetores-e-diagonalizacao

Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Exercícios resolvidos: Álgebra Linear Com Aplicações - 10ª Ed.

Howard Anton

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Nos Exercício, a matriz dada representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.

Passo 1 de 3keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Um sistema linear pode ser representado em forma matricial por:

Onde C é a matriz dos coeficientes das equações do sistema, x é o vetor contendo as incógnitas do sistema e a é o vetor contendo os termos independentes das equações.

A matriz aumentada do sistema é da forma:

Assim, podemos concluir que as equações lineares correspondentes à matriz dada são:

Passo 2 de 3keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Resolvendo o sistema por eliminação gaussiana, temos:

De onde podemos obter:

Então, a solução do sistema fica:

Passo 3 de 3keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O que significa que a solução do sistema depende de dois parâmetros. Chamando esses parâmetros de a e b, obtemos a solução a seguir para o sistema: