Autovalores, Autovetores e Diagonalização - Diagonalização de

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Diagonalização de uma matriz - Exercício

Nessa aula, para concluir, vamos de fato diagonalizar uma matriz

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  • play_arrowDefinições de autovetores, autovalores e exemplos - Teoria

    lockDefinição do polinômio característico - Teoria

    lockEncontrando autovetores - Teoria

    lockIntrodução ao processo de diagonalização - Teoria

    lockDiagonalização de uma matriz - Teoria

    lockDiagonalização de uma matriz - Exercício

    lockResumo - autovalores, autovetores e diagonalização - Resumo

  • E aí, pessoal. Beleza?
    Agora a gente vai fazer um exercício onde a gente vai diagonalizar de fato uma matriz juntando esses conceitos todos que a gente vem trabalhando aí há algum tempo já de autovalores, autovetores e por aí vai. Beleza?
    Lembrando que a gente quer o seguinte. Tem uma matriz A, matriz quadrada de novo, estamos sempre no campo das matrizes quadradas nessas últimas discussões nossas, o que a gente quer fazer então?
    Eu quero procurar isso daqui: P-¹AP=D, eu quero achar essa matriz P tal que se eu fizer o inverso de P e multiplicar pela A, multiplicar pela P deu uma diagonal e a gente até sabe que diagonal que é essa. Então o meu objetivo é achar essa matriz P que vai diagonalizar essa matriz A, Então vamos lá.
    O que a gente precisa? A gente sabe essa matriz P, as colunas da matriz P são os autovetores de A, então eu tenho que achar os autovetores de A para achar os autovetores que a gente faz um polinômio característico acho primeiro os autovalores.
    Então vamos lá, vamos fazer isso. Comecei aqui já o desenvolvimento do cálculo, a gente vai começar fazendo isso daqui.
    P de λ, polinômio característico, é o determinante de A menos λ i e eu quero P de λ igual a zero, achar as raízes desse polinômio, os valores de λ que fazem, que igualam ele a zero. Legal?
    Então está aqui. A menos λ i é o seguinte, essa é a matriz A e essa é a matriz identidade multiplicada por λ, vai ficar um escalar, que multiplica a identidade, a identidade tem três uns aqui, nós vamos multiplicar tudo por λ e vai aparecer λ, λ, λ.
    Multiplicando λ por zero, tudo aqui fica zero. Legal.
    Se eu fizer isso menos isso, eu vou obter isso aqui. Zero - λ, - λ, 0 - 0 = 0, -2 - 0 = -2 e por aí vai.
    Eu vou deixar vocês fazerem, caso vocês tenham vontade, eu vou só para a gente adiantar o processo aqui mesmo, o resultado vai ser esse daqui, esse A - λ aí. Beleza.
    O que é o meu P de λ? Está aqui embaixo, o meu P de λ é o determinante desse cara, da matriz A menos λ i, que é o que está de preto.
    Aqui eu só repeti já as duas primeiras colunas porque vai facilitar a nossa vida, na hora do cálculo do determinante, a gente tem feito isso aí já. Então vamos lá.
    Eu vou fazer o quê? Vou fazer este produto, este produto aqui nessa diagonal, esse produto aqui, vou somar esses três caras, não é isso?
    Então vamos lá. Esse aqui eu já vi que deu zero.
    0x1x1=0 -2x1x0=0. Então vai ficar só esse produto aqui: Vai ficar menos λ que multiplica dois menos lâmbida, que multiplica três menos λ, legal?
    Agora eu pego esse produto das diagonais no outro sentido, nesse sentido, aqui e aqui, não é isso? Esse daqui já vai zerar também.
    Menos λ vezes um vezes zero zerou. zero vezes um vezes três menos λ zerou, vai sobrar só esse cara.
    Menos dois que multiplica dois menos λ que multiplica um. Então vai ficar menos dois que multiplica dois menos λ e como eu troco o sinal, vai ficar dois que multiplica dois menos λ.
    Quem é esse camarada aqui que apareceu então? Esse aqui é o meu polinômio característico, vou colocar aqui no cantinho, esse é o meu P de λ, beleza?
    Vou tirar aqui, ficou um pouco apertado, né? Vamos trazer mais para cá.
    Esse então é um polimônio característico né, pessoal? P de λ.
    Beleza? Fechou.
    Vamos achar as raízes dele. Vamos fazer o seguinte.
    Um jeito prático aqui é colocar o dois menos λ em evidência. Coloquei dois menos λ em evidência, o que sobra aqui?
    Vamos ver. Nesse termo ali vai sobrar dois e aqui vai sobrar menos λ que multiplica três menos λ, certo?
    Então vamos lá. Vamos abrir esse cara um pouquinho mais.
    P de λ vai ser o que então? Eu tenho dois menos λ, que multiplica ali dentro dois menos três λ, mais λ ao quadrado.
    Eu quero então que isso seja igual a zero, eu quero achar as raízes, então se eu tenho um produto de duas coisas dando zero tem duas possibilidades ou isso é zero ou isso é zero. Se dois menos λ for igual a zero, eu tenho que λ é igual a dois.
    Certo? A outra opção seria isso daqui, λ ao quadrado menos três λ, mais dois é igual a zero.
    Aqui é o quê? É uma equação do segundo grau, não é pessoal?
    Se vocês fizerem, vocês vão achar o quê? Duas raízes, não é isso?
    Vocês vão achar, vou deixar para vocês fazerem aí. λ igual a dois, é uma raiz, e a outra raiz seria λ igual a um.
    Entao beleza na verdade eu tenho o quê? Eu tenho dois autovalores, que é o λ igual a dois e λ igual a um, porque dois é raíz de multiplicidade dois, dessa equação, se a gente desenvolver isso, dá uma equação de 3º grau, esse é o polinomio característico.
    Então está aqui autovalores, vou colocar do lado, autovalores, já achamos ai, é o quê? λ igual a um, vamos chamar de λ1 esse cara, e λ2 vai ser dois mesmo.
    Beleza? De boa?
    Então vamos lá, agora eu tenho que achar os autovetores associados a esses caras, então vamos lá. Primeiro passo nosso aqui.
    Vamos pegar λ1 igual a um. Eu quero achar o quê?
    Eu quero achar um autovetor. Então o que eu preciso?
    Resolver essa equação. AX é igual a λ X.
    Nesse caso, o meu λ é um. Então vai ficar AX é igual a X.
    Quem é o X? X é o que eu quero descobrir.
    É o meu autovetor, que vai ficar assim, A, B, C, como eu estou falando de uma matriz de ordem três, ele tem então aqui três linhas. Legal?
    Entao vamos lá. Quem que vai ser AX?
    Vamos pegar essa matriz A ali em cima, vamos colocar aqui, deixa eu ver, vamos colocar aqui embaixo, acho que dá para a gente fazer aqui. AX vai ser o seguinte: A matriz A, vou trazer ela de novo aqui, 0 1 1, 0 2 0, vamos lá então, 0 1 1, 0 2 0 e a outra seria -2 1 3, não é?
    -2 1 3. E aí eu vou multiplicar aqui por quem?
    Por X. A B C que é o meu autovetor, que eu quero achar.
    Legal. O que vai dar isso daqui então?
    Vamos fazer. Isso daqui vezes isso daqui, zero vezes A, zerou, zero vezes B, -2 vezes C, eu vou ter então -2C.
    Então a gente vai fechar aqui. Agora essa linha vezes essa coluna.
    1 x A = A, 2 x B = 2B, 1 x C = C então vai ficar A + 2B + C. Agora essa linha mais essa coluna.
    1 x A = A, 0 x B = 0, 3 x C = 3C. A + 3C.
    Vamos guardar esse cara. Esse é o meu AX.
    O que eu quero aqui então? Eu quero que AX, nesse caso, o meu ainda está aqui.
    AX é igual a λ X, como o meu λ é 1, AX é igual a X. Então se eu quero AX = X, eu vou colocar aqui, eu quero então que o AX, que é menos 2C, A + 2B + C e A + 3C, então esse é o AX, eu quero que ele seja igual a AX que é o quê?
    A, B e C, correto? Então vamos lá.
    Agora é só a gente desenvolver isso aí, pessoal. O que a gente vai obter?
    Igualo, igualdade de matriz, igual o elemento a elemento. A é igual a menos 2C é o que eu obtenho aqui, não é?
    Na segunda equação, eu vou ter que A + 2B + C = B. Correto?
    E a terceira A + 3C = C. A + 3C = C.
    Aí eu vejo o que esse sistema aqui vai me dar. Essa última equação dá para ver daqui ela é igual a primeira.
    Se eu jogar o -3C para lá, o que isso aqui vai me dar? A = -2C.
    Então a princípio essa informação que eu tenho aqui dessa equação é igual a que eu tenho aqui. A é -2C.
    Então vamos substituir essa informação nessa equação no meio. Como que vai ficar a equação do meio então?
    Vai ficar A, quem que é A? -2C + 2B + C, que é C mesmo, isso é igual a B.
    Então aqui eu vou ter o quê? Eu vou ter -2C + C = - C, então vai ficar 2B - C, vou passar esse B para lá, - B = 0.
    Ou seja, fica assim, 2B-B=B, passa o C para lá, B=C. Então eu sei que o B é igual a C.
    O A é -2C. E o C?
    O C é o C mesmo, então já dá para eu achar um outro vetor. Como assim?
    Você não enxergou. Olha só.
    X é igual a quem que é o A? -2C, quem que é o B?
    C, e quem que é o C? C mesmo.
    Então é só colocar um valor para C que a gente já viu. Eu posso pegar um representante desse cara, então, por exemplo, se eu colocar C = 1, se eu coloco C = 1, aqui fica -2, aqui fica 1 e 1.
    Então aqui. -2 1 e 1.
    Então eu já peguei um autovetor. Então esse aqui é um autovetor associado a um autovalor, ou λ igual a 1.
    Fechou pessoal? Então demorou.
    Agora a gente precisa pegar o quê? Mais um autovetor, mais dois na verdade, autovetores, não é isso?
    Para a matriz ser diagnolizável, eu preciso de três autovetores Li. Entao vamos para o segundo passo que é pegar agora aqui esse autovalor λ igual a 2.
    Entao vamos fazer isso aí. O nosso segundo passo.
    Está aqui agora. Vou pegar λ é igual a dois e quero resolver a seguinte equação.
    AX = λ X. Nesse meu caso então, vai ficar AX = 2x, não é?
    Já que o meu λ agora é dois. Então vamos resolver esse camarada aqui.
    Bom, isso aqui não vai dar tanto trabalho para a gente porque, olha só, o AX já está aqui em cima. Quem que é o AX?
    AX, olha só, é essa matriz não é? -2C, A + 2B + C, então vamos lá, se eu pegar isso daqui, AX, vamos lá, AX = 2X, vai ficar assim, o AX está ali.
    É -2C, A + 2B + C e A + 3C. Correto?
    Isso tem que ser igual a 2X, se o X é esse aqui, ABC, 2X vai ficar 2A, 2B e 2C, beleza? ...

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