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Diagonalização de uma matriz - Teoria

Vamos agora compreender como se dá a operação de diagonalização de uma matriz, entendendo como podemos realizar tal processo

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  • play_arrowDefinições de autovetores, autovalores e exemplos - Teoria

    lockDefinição do polinômio característico - Teoria

    lockEncontrando autovetores - Teoria

    lockIntrodução ao processo de diagonalização - Teoria

    lockDiagonalização de uma matriz - Teoria

    lockDiagonalização de uma matriz - Exercício

    lockAutovalores, autovetores e diagonalização - Resumo

  • E aí, pessoal. Tudo bom?
    Vamos lá então agora entender como que se dá a operação de diagonalização. Vamos entender como a gente viu, recordando a ideia, diagonalizar a matriz A e encontrar uma matriz P, que possui inversa tal que esse produto dê uma matriz diagonal.
    A gente vai entender como que eu obtenho essa matriz P, se eu obtiver a matriz P é só calcular a inversa aqui, então esse lado da equação já está resolvido e que matriz D que vai dar essa. No final, a gente vai entender isso.
    Então vamos lá. Vamos pegar então aqui como exemplo, vamos pegar aquela matriz que está caminhando com a gente há um bom tempo.
    Essa matriz A= 3, 0, 8 e -1. Beleza.
    Vamos usar ela. Por quê?
    Porque eu já sei os dois autovalores dela e os dois autovetores associados a esses autovalores. Se eu tiver aqui o autovetor 1 e 2, ele é o autovetor associado a esse autovalor λ = 3, e esse autovetor 0, 1, por exemplo, a gente pegou só um exemplo, eu poderia ter outros 0, e 2, etc, mas enfim, esse é o autovetor associado a esse autovalor λ = -1.
    Legal? Vamos lá.
    A gente vai entender é o seguinte, pessoal. Para quem é a matriz A.
    Eu quero obter essa matriz P. Que matriz P é essa?
    Vai valer sempre, não vale só para o caso 2x2, esse aqui é só um exemplo, mas essa matriz P pessoal, eu obtenho da seguinte maneira. Ela é a matriz em que as colunas dela são os autovetores da matriz A.
    Então, por exemplo, está aqui o autovetor 1 e 2, então uma coluna seria aqui 1 e 2, o outro autovetor 0 e 1. A outra coluna seria 0 e 1.
    Então o que eu fiz foi isso, eu coloquei o autovetor ali que eu chamei de P1 e aqui o P2 não é isso? Beleza?
    Eu poderia até trocar, você pode perguntar, eu poderia ter colocado 0 e 1 aqui? E 1 e 2 aqui?
    Poderia, não tem problema nenhum, ia mudar no final só essa matriz D. Mas a gente vai discutir isso no final.
    Beleza? Então vamos lá.
    Vamos fazer essa operação e ver que de fato da uma matriz diagonal e vamos entender que matriz diagonal que é essa. A matriz inversa da P, pessoal, eu não vou fazer aqui, tá?
    Eu vou colocar só o resultado, porque a gente já aprendeu calcular a inversa, não é o nosso objetivo agora. Mas essa matriz inversa, vai ser a seguinte: 1, 0, -2 e 1.
    Se você fizer aí na sua casa, você vai ver de fato que P x P-¹ se você fizer o produto vai dar a identidade. Legal?
    Então está aí. Essa é a inversa de P.
    Então, por hora nosso objetivo então é calcular esse primeiro membro aqui. Fazer a inversa de P, multiplicar pela A, depois multiplicar pela P e ver se vai dar uma diagonal e que diagonal que é essa.
    Então vamos fazer isso. Deixa eu colocar aqui embaixo então.
    Nosso objetivo agora. Vamos primeiro mexer com esse daqui.
    Eu faço P-¹ x A, vai dar uma matriz, depois pega essa matriz e multiplica pela P. Beleza?
    Então vamos lá. P-¹ que multiplica A.
    Vai ser o quê? Então deixa eu pegar matriz P-¹ já está ali.
    Inversa de P. 1,0, -2 e 1.
    Certo? Vezes a minha matriz A.
    Vamos pegar a A ali em cima. 3, 0, 8 e -1.
    Então, vamos fazer esse produto. Como que vai ficar?
    Estou aqui. Linha 1, coluna 1.
    Linha 1, coluna 1. 1 x 3, 0 x 8 = 0, então vai ficar 1x3 simplesmente 3.
    Linha 1 agora coluna 2. Linha 1, colun 2.
    1 x 0 = 0, 0 x -1 = 0, então já zerou aqui. Linha 2, coluna 1.
    Linha 2, coluna 1, não é? -2 x 3= -6, 1x8 = 8, 8-6=2.
    Então eu estou aqui com a matriz resultado, minha matriz produto, linha 2, coluna 2. Linha 2, aqui, coluna 2.
    -2 x 0=0. 1x-1=-1.
    Então isso aqui é a minha P-¹a. Fiz essa primeira parte agora o que eu vou fazer?
    Eu vou fazer então P-¹A que é essa parte que eu já obtive vezes a P. Então vai ficar como?
    P-¹a, está aqui, acabei de calcular, deixa eu colocar, 3, 0, 2, -1, então aqui é P-¹A, esse primeiro membro. E agora eu vou colocar a P.
    Então, cade a minha P? Está ali.
    1, 0, 2 e 1. Beleza.
    Vamos lá então. Vamos ver que matriz que vai dar essa.
    Tá. Linha 1, aqui então, coluna 1, linha 1, está aqui, coluna 1.
    3x1=3, 0x2=0, então vai ficar três. Linha 1, coluna 2, não é?
    Então linha 1, coluna 2, 3x0=0, 0x1 = 0. Então zerou aqui agora.
    Linha 2, coluna 1, pessoal. Linha 2, coluna 1.
    2x1=2, -1x2=-2, 2+(-2)=0. Então agora linha 2, coluna 2.
    Linha 2, aqui, coluna 2. 2x0=0, -1x1=-1.
    Então de fato olha aqui. P-¹AP deu a matriz o quê?
    Diagonal. Era o que a gente queria provar.
    P-¹AP deu igual a D. Legal.
    Conseguimos ver então que de fato sendo essa matriz P, a matriz que tem aqui os autovetores e as colunas são os autovetores de A, eu achei uma matriz que deu diagonal, mas olha que legal, não foi qualquer diagonal não. Olha a diagonal que eu encontrei, deixa até eu colocar aqui do lado aqui.
    Acho que, deixa eu desmanchar isso daqui, que cabe aqui em cima. Agora a gente vai entender um processo interessante desse processo dessa operação de diagonalização.
    Deixa eu colocar em uma matriz D que eu obtive aqui. Qual que foi ela?
    Vamos lá. 3 0 0 e -1 3, 0, 0 e -1.
    Então está aí. Olha que legal.
    Eu escolhi a minha matriz P sendo o seguinte. Nessa coluna, eu tenho um autovetor, nessa outro autovetor.
    Olha o que deu, que legal, a minha matriz diagonal. Nessa coluna aqui, esse primeiro cara aqui é o autovalor associado a esse autovetor.
    E na outra coluna que eu tenho, o primeiro termo tem que ser zero aqui, porque é matriz em diagonal, mas o outro termo que aparece é o quê? -1.
    Quem que é menos 1? Olha ele aqui.
    Ele é o autovalor associado ao autovetor 0,1, que é o cara que está nessa coluna. Muito interessante isso.
    Então essa matriz D nem é qualquer uma não. É uma matriz tal que os elementos da diagonal principal são justamente os autovalores associados aos autovetores que aparecem aqui.
    Eu tinha até questionado o seguinte. Eu poderia escolher uma matriz P, deixa eu até dar uma separada aqui, deixa eu pegar uma outra cor para não ficar muito confuso.
    Vamos fazer assim. Deixa eu separar isso daqui.
    Eu perguntei para você o seguinte. Eu poderia escolher uma matriz P, vamos lá, vamos pegar aqui.
    Eu poderia ter escolhido uma matriz P que fosse a seguinte 0 e 1, 0 e 1 e depois 1 e 2, então as colunas continuam sendo o quê? Os autovetores só que agora eu troquei elas de ordem.
    E eu te respondo. Sim, poderia.
    A inversa ia dar diferente logicamente, isso aqui é uma outra matriz e a diagonal também dá diferente. Quem que ia ser a diagonal agora?
    A diagonal nesse caso ia ficar assim: -1, 0, 0 e 3. Como agora o primeiro autovetor é o 0 e 1, o primeiro autovalor que aparece aqui que são os elementos da diagonal principal vai ser o autovalor associado a esse autovetor que é -1.
    Então a matriz diagonal sempre é assim. Os elementos da diagonal principal são os autovalores e eles aparecem em ordem tal que é conforme a ordem que aparece os autovetores aqui.
    Se a primeira coluna que está aqui, é um determinado autovetor, o primeiro elemento da diagonal principal vai ser o autovalor associado a esse autovetor. A segunda coluna aqui, eu tenho outro autovetor, o segundo elemento então da diagonal principal vai ser o autovalor associado a esse autovetor, entenderam?
    Então a gente vê que o processo da diagonalização tem tudo a ver com o que a gente fazia. Essa matriz P que eu estou procurando é justamente a matriz composta pelos autovetores, as colunas são os autovetores da matriz A, essa diagonal que aparece, os elementos da diagonal principal são os próprios autovetores, desculpa, autovalores da matriz A, e eles vão aparecendo nessa ordem, de acordo com a disposição dos autovetores aqui.
    E morreu a inversa de P, uma vez que eu já tenha a P que é composta pelos autovetores calculo a inversa normal. Então morreu o nosso processo de diagonalização.
    Tem tudo aver então com os autovalores e os autovetores. Tranquilo, pessoal?
    Então só para dar uma generalizada. Vou pegar um caso 3x3 só para gente entender de novo e resumir essa ideia.
    Finge que eu tenho uma matriz 3x3 que é diagonalizável. Entao tem aquela historia que a gente discutiu, ela tem três autovetores Li.
    Beleza? Entao vamos dizer que os autovetores são, desculpa, que os autovalores são λ1, λ2 e λ3.
    E os autovetores associados a eles são respectivamente o P1 que está aqui ABC, o P2, XYZ, e o P3 RST. Então quem que seria se eu quero diagonalizar de novo, pense nisso daqui, P-¹AP, tem que dar uma diagonal e o meu objetivo é encontrar essa matriz P.
    Quem que é a matriz P? É a matriz cujas colunas são o que são os autovetores da matriz A.
    Então eu peguei o P1, A,B,C da primeira coluna, o P2, XYZ, segunda coluna, o P3, RST, terceira coluna. Quem que ia dar então a minha matriz D?
    A minha matriz de diagonal que aparece aqui? Uma matriz diagonal tal que os autovalores vão aparecer de tal maneira que o primeiro autovalor que aparece aqui, o primeiro termo da diagonal principal é o autovalor associado a quem?
    A esse autovetor aqui. Que é o P1, que é o λ1, o autovalor associado a ele, o próximo elemento da diagonal principal seria o quê?
    O λ2. É o autovalor associado ao autovetor que está aqui na segunda coluna XYZ, o autovalor é λ2.
    Por aí vai, terceiro elemento da diagonal principal é o autovalor associado a esse autovetor que está aqui. Beleza?
    Eu poderia escrever AP diferente? Poderia.
    Não tem problema nenhum, o que ia mudar é só a diagonal conforme a gente já viu. Beleza?
    Então é isso, pessoal. Espero que tenha ficado muito claro, espero que vocês tenham entendido como os autovetores e autovalores se relacionam e agora o processo ficou simples.
    A gente entendeu, a gente já domina essa ideia de diagonalização. Na próxima aula, a gente vai fazer um exercício só para certificar que a gente entendeu tudo.
    Então é isso, pessoal. Muito obrigado e até a próxima aula.
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