Autovalores, Autovetores e Diagonalização Aprenda tudo que você precisa

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Encontrando autovetores - Teoria

Agora que já sabemos encontrar autovalores, vamos encontrar os seus respectivos autovetores!

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  • play_arrowDefinições de autovetores, autovalores e exemplos - Teoria

    lockDefinição do polinômio característico - Teoria

    lockEncontrando autovetores - Teoria

    lockIntrodução ao processo de diagonalização - Teoria

    lockDiagonalização de uma matriz - Teoria

    lockDiagonalização de uma matriz - Exercício

    lockAutovalores, autovetores e diagonalização - Resumo

  • E aí, pessoal. Então vamos agora concluir essa parte de autovalores e autovetores.
    A gente já viu que, se eu tenho uma matriz, a gente viu isso em definição do que é um autovetor, o que é um autovalor, a gente já viu que se eu tiver uma matriz qualquer, a gente já entendeu como eu calculo os autovalores. E a ideia é que para cada autovalor, autovalores distintos, vão me dar autovetores distintos.
    Então, pense o seguinte. Se eu tenho dois autovalores diferentes, um autovalor lá vai me dar um autovetor, o outro autovalor um outro autovetor.
    Como que eu encontro isso? Agora, por incrível que pareça é a parte mais fácil, porque, olha só, eu já tenho uma matriz A.
    A matriz A é dada. A gente aprendeu como que calcula o λ.
    Então agora é só achar soluções dessa equação. Como assim?
    A minha incógnita agora é essa matriz X. Já sei quem é o λ, quem é o autovalor, eu já conheço a matriz A, então é só resolver essa equação.
    Vocês vão ver como é fácil. Vamos continuar aqui com essa matriz que a gente começou a mexer um tempinho, a gente viu que ela tem dois autovalores.
    Autovalores. Quais que são?
    Vou colocar aqui: λ1. Um era três e o outro vou colocar aqui λ2 era -1.
    Tá. E aí a ideia é a seguinte se eu colocar aqui o λ igual a 3, eu tenho uma equação λ igual a -1, eu tenho outra equação, então de cara a gente já vê o seguinte.
    Se eu tenho dois autovalores distintos, eles vão me dar autovetores distintos. Então para cada autovalor, eu vou associar um autovetor.
    Então esse autovalor vai me dar um certo autovetor, esse autovalor um outro autovetor, porque se eu colocar três aqui ou -1, a equação fica diferente, ela vai me dar diferentes vetores X. Tá legal?
    Vamos lá. Vamos começar então, vamos dividir, a gente quer achar soluções disso daí, vamos pegar aqui.
    Primeiro, a gente vai fazer o quê? λ1 igual a três.
    Pode ser? Então vamos lá.
    Vamos fazer então, o meu objetivo é achar a matriz X, o vetor X, a gente sabe que ele vai ser um vetor coluna, como a gente já discutiu e vai ser então um vetor com duas linhas, não é isso? Porque essa é uma matriz 2x2.
    Então vamos lá. Eu preciso que AX seja igual a λ X.
    Então vamos calcular essas duas coisas aqui. Vamos lá.
    Primeira coisa vai ser o seguinte, vou fazer aqui, A vezes X. O que vai ser A vezes X?
    Vai ficar aqui então, eu vou colocar 3 0 8 e -1, não é isso? Vezes o X que é quem eu quero descobrir, quero descobrir quem é o A e B, porque aí eu vou ter definido o meu vetor.
    Correto? Vamos lá.
    Vamos fazer esse produto. Vai ficar assim.
    Essa linha vezes essa coluna: 3xA=3A, 0xB=0. então vai ficar simplesmente 3A e aqui quando eu multiplicar essa linha por essa coluna 8A -1xB= -B.
    Então aqui eu vou ter 8A - B. Beleza?
    Então está aí o meu AX. E aí eu vou tirar aqui agora o meu λ X.
    Eu quero que AX seja igual a λ X. O que seria o meu λ X?
    O meu λ X no caso seria 3x, eu estou trabalhando com λ igual a três. O primeiro é autovalor então é 3x, o que seria o 3x?
    Ia ficar 3A e 3B, não é? Então vai ficar 3A e 3B.
    E agora? Agora eu posso igualar essas coisas.
    Eu não quero o quê? Eu não quero que AX seja igual a λ X?
    Então eu quero que isso daqui seja igual a isso daqui, então beleza, vamos desenrolar esse negócio aqui embaixo. Vai ficar o seguinte.
    Aquela matriz ali é o quê? Primeira é 3A, então eu estou resolvendo isso daqui, AX é igual a λ X para λ igual a 3.
    3A 8a - B, isso tem que ser igual a 3A 3B. 3A e 3B.
    Vamos lá. como que eu faço igualdade de matriz, pessoal?
    Eu vou igualar então termo a termo, então aqui. O primeiro termo aqui com o primeiro termo daqui, vai me dar o quê?
    3A = 3A e isso aqui não me dá muita novidade. Qualquer A que eu colocar aqui, se eu colocar igual a 2, dos dois lados, 3x2=6, a=0, vai ficar 0=0.
    Qualquer A satisfaz essa equação, então isso não me deu um valor definido de A, não me ajudou tanto. Agora a próxima equação vai ficar assim: 8A - B, que é esse elemento tem que ser igual a 3B, tem que ser igual a 3B.
    Essa equação já me dá uma informação um pouquinho melhor. Deixa eu desmanchar isso daqui, que informação vai me dar?
    Vamos desenvolver ela. Se eu somar B dos dois lados, eu vou ter que 8A é igual a 4B e agora eu tenho uma informação que é mais relevante.
    Se eu dividir por 4, como é que fica? B = 2A.
    Isso aqui já é um pouquinho mais relevante. Agora pensa comigo.
    Isso aqui não é estranho não, tá pessoal? Você pode comentar, "Eu não achei os valores de A e B", mas normalmente é assim que funciona.
    Na verdade, é assim que funciona. O meu vetor X, o meu objetivo não é achar o autovetor associado a esse cara?
    Não é achar esse X? Eu descobri que esse X agora, ele é dessa forma.
    A e B é igual a 2A. Na verdade, a ideia é que eu tenho infinitos autovetores associados a esse autovalor.
    Por exemplo, se eu pegar esse daqui e colocar no canto. Se eu colocar A = 1, se eu pegar 1 e 2, ele é um autovetor?
    É. Por quê?
    Porque o B aqui está sendo igual a 2A. Se eu pegar o próximo aqui.
    Se eu colocar A = 2, quem que seria o B? 2A, 2x2 = 4.
    É autovetor? É autovetor.
    A ideia é que a gente pega um representante só. Quando você desenvolver essa ideia, como eu falei, ela é bastante simples.
    Depois que você tem o autovalor, é só você jogar nessa equação, fazer o desenvolvimento que a gente fez e você vai encontrar de fato um formato para o seu autovetor. E aí você vai ter infinitos representantes e você escolhe um, certo?
    Você não pode só colocar a=0, porque ia ficar zero e zero. E nossa definição de autovetor fala que esse cara tem que ser um vetor não nulo.
    Então, por exemplo, eu vou pegar esse cara aqui. Vou pegar esse camarada aqui e vou falar que esse aqui então vai ser meu autovetor associado a esse autovalor λ = 3.
    Esse aqui seria também? Seria.
    A gente vai ver no processo de diagonização que eu preciso só de um cara, eu escolho um representante, vamos dizer, dessa classe, desse tipo de vetor. Antes de eu fazer então o próximo autovetor, que está associado ao λ = -1, que seria esse cara aqui, vamos fazer uma discussão só geométrica aqui dessa observação nossa.
    Então está aqui. O meu vetor tem que ser desse tipo A e 2A.
    O que é a ideia? Eu vi que se eu escolher A = 1, as coordenadas dele ficam um e dois, então eu teria esse pera aí ficou um pouco torto, eu teria esse vetor aqui.
    Vamos lá. Esse aqui seria o meu vetor.
    Mais ou menos esse. Beleza.
    Eu vi que se eu escolher esse aqui, aqui em cima mesmo, eu já fiz isso, se eu escolhesse o A = 2, ia ficar dois e quatro, então as coordenadas iam ser dois e quatro e aí o meu autovetor passaria a ser agora esse cara aqui. O que é a ideia?
    Geometricamente falando, para ficar mais fácil da gente ver, o que importa é a direção aqui e o sentido desses caras. Mas a direção na verdade, eu posso escolher até valores negativos, não tem problema nenhum.
    Poderia colocar A = -1, tenho -1 e -2, o que seria o -1 e o -2? O camarada que está aqui, correto?
    Então, assim, o que importa é essa direção. Então não interessa o tamanho do cara, porque no final das contas, dependendo dos valores aqui que eu escolho, o que eu estou fazendo é só aumentando esse vetor.
    Então não importa muito o tamanho, o que vai importar para a gente vai ser a direção, então essa interpretação geométrica é só para te ajudar a recordar. Legal?
    Então beleza. Já escolhi, por exemplo, esse aqui seria o meu autovetor.
    Então vamos escrever aqui embaixo. Vamos concluir essa nossa ideia então.
    Então vamos colocar aqui X = 1, 2 é autovetor de A, que é aquela nossa matriz de A = 3 e 0 8 e -1 associado a qual autovalor? A gente pode até concluir.
    Associado ao autovalor, vou colocar aqui embaixo. Associado ao autovalor λ = 3.
    Legal? Tranquilo?
    Então a ideia é isso. O que eu percebi então?
    Tenho dois autovalores. Quando eu peguei o autovalor aqui que é o λ = 3, eu encontrei na realidade infinitos autovalores e a gente escolheu um cara.
    Quando eu pegar agora o autovalor λ = -1, teria infinitos autovetores e a gente escolheria um cara então como eu falei diferentes autovalores vão me dar diferentes autovetores. Beleza pessoal?
    Então está aqui. Depois você faz o produto então, faz aqui: AX = 3X e vê se não vai dar a mesma coisa.
    Ou seja, pega esse A, multiplica por esse X e depois 3x. AX = λ e X meu λ e meu autovalor é 3.
    Então está aí. Vou deixar para vocês concluírem aqui para a aula não ficar tão longa, mas a segunda parte desse cálculo aqui para a gente fechar bonitinho essa matriz, ia ficar assim.
    A segunda parte. Vamos lá.
    Eu ia pegar λ2 é igual a -1, eu ia pegar agora o meu autovalor = -1 e aí o que eu ia ter que resolver para descobrir qual que é o autovetor associado a ele? Tinha que resolver isso daqui AX = λX.
    Então eu ia fazer a mesma coisa, eu ia vir chamar aqui X igual a um A B, ou poderia ter chamado C e D para a gente não confundir, seria outro A, B aqui, aí eu faço aqui. Esse lado aqui, deixa eu até mudar de cor então, vamos lá, o AX, na verdade, a gente até tem, o AX que a gente fez lá em cima.
    Aqui o AX não mudou. O AX é esse aqui 3a, 8a - B, então seria 3a, vou colocar essa matriz, vamos concluir aqui, acho que dá para a gente concluir 3a, 8a, -B e o λ é X ia ficar o quê?
    Eu ia fazer essa matriz X vezes o λ que é -1, então ia ficar o quê? -A -B, não é isso?
    E aí o que eu quero resolver? Eu quero que AX seja igual a λ X, então eu quero que isso seja igual a isso.
    Eu quero que AX = λ X, então vai ficar assim. Vamos concluir.
    Vai ficar rapidinho agora que a gente já fez o primeiro. Então vai ficar o seguinte.
    AX é 3a, 8a - 3b e o λ X é -A, -B, -A -B. Beleza.
    Vamos desenvolver isso daí então. Agora é igualar termo a termo.
    3A = -A é a primeira equação e a outra 8A - 3B = -B. Essa equação aqui já me é útil.
    Essa equação de cima. Por quê?
    Só existe um valor de A que eu posso colocar aqui, não é? A = 0.
    Se eu colocar A = 1, aqui fica três, aqui fica -1. ...

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