Autovalores, Autovetores e Diagonalização Aprenda tudo que você precisa

  • play_arrow 6 videos
  • subject1 Resumo
lock

Esse conteúdo é exclusivo para assinantes.

Assine o Plano Premium e tenha acesso ilimitado a todas as aulas

AssinarVeja aula grátis

Introdução ao processo de diagonalização - Teoria

Nessa aula vamos começar a entender o porquê do estudo de autovalores e autovetores: o processo de diagonalização de uma matriz

  • thumb_down 0
  • Plano completo
  • Transcrição
  • play_arrowDefinições de autovetores, autovalores e exemplos - Teoria

    lockDefinição do polinômio característico - Teoria

    lockEncontrando autovetores - Teoria

    lockIntrodução ao processo de diagonalização - Teoria

    lockDiagonalização de uma matriz - Teoria

    lockDiagonalização de uma matriz - Exercício

    lockResumo - autovalores, autovetores e diagonalização - Resumo

  • E aí, pessoal. Beleza?
    Vamos então aqui. É chegada a hora da gente falar aqui desse famigerado processo de diagonalização de matrizes.
    Essa aula vai ser só para gente revisar alguns conceitos importantes para a gente entender esse processo e entendermos o que é esse processo, por que a gente vai fazer ele e a definição dele. Nas próximas duas aulas, a gente vai fazer exercícios e entender melhor essa operação de diagonalizar.
    Beleza? Entao vamos lá.
    Primeiros vamos lembrar de um conceito simples, mas importante que é o de matriz diagonal. A gente fala que uma matriz é diagonal quando eu pego aqui a diagonal principal dela, que seria essa daqui, dessa minha matriz 2x2 e todos os elementos diferentes da diagonal principal que não estão da diagonal principal tem que ser iguais a zero.
    Então essa é uma matriz diagonal. Eu peguei a diagonal principal e todos os elementos que não estão nela são iguais a zeros.
    Vamos ver essa. Diagonal principal está aqui, não é?
    Se eu pegar os elementos que não estão nela, todos são iguais a 0. Então é um matriz em diagonal.
    Então vamos ver essa daqui. A minha diagonal, eu vou até traçar aqui, essa é a minha diagonal principal, não é?
    Eu tenho até um zero nela, mas não tem problema nenhum. Para ser diagonal, os elementos que não estão na diagonal principal tem que ser iguais a zero.
    O meu problema seria justamente esse -1 que está aqui. Ele não está na minha diagonal principal, ele teria que ser zero, mas ele não é.
    Então isso não é uma matriz em diagonal. Beleza?
    Por exemplo, matriz identidade sempre é diagonal, porque se eu pegar a diagonal principal, tudo é igual a 1 e os outros elementos são todos iguais a 0. Então está aí um conceito bem simples de matriz diagonal que vai ser útil para a gente aí.
    Se você não se recordava, está aí então. Legal?
    Beleza. Vamos entender então, porque é importante, por exemplo, porque é legal ter uma matriz diagonal.
    Vamos entender essa ideia de elevar uma matriz a um expoente. Por exemplo, se eu quiser fazer d³, tenho uma matriz D e quero fazer D³.
    O que seria D³? Pegar uma matriz D, multiplicar por ela e depois por ela de novo.
    E fazer DxDxD. A gente sabe que multiplicar matriz já é um processo um pouco chato, um pouco trabalhoso, bem mais complicado do que multiplicar números, não é?
    É um processo bastante exaustivo. O legal, na verdade, de eu ter uma matriz diagonal, é quando elevo ela a um expoente, fica muito simples, eu não preciso ficar multiplicando ela por ela mesmo várias e várias vezes.
    Basta eu pegar os elementos da diagonal principal e elevar a cada um deles a esse mesmo expoente e os que não estão na diagonal principal continuam sendo iguais a zero. Isso é muito útil.
    Se eu quiser fazer D elevado a 7, ao invés de eu pegar uma matriz e multiplicar por ela mesma sete vezes o que ia demorar muito tempo. Basta eu pegar aqui esse termo elevar a 7, esse termo e elevar a 7, ou seja, os termos da diagonal principal e elevar a 7 e o resto ia continuar sendo igual a zero.
    Então isso é muito útil. Se eu quiser elevar uma matriz a um expoente alto, fica muito trabalhoso fazer produto de matrizes, agora dessa forma, por exemplo, quando eu tenho uma matriz diagonal fica extremamente simples.
    O que a nossa ideia então? Nem toda matriz é diagonal como a gente bem sabe.
    A gente trabalhou com várias matrizes aqui que não são. A ideia é que eu faça, não que eu transforme a minha matriz em uma matriz diagonal, não tem como fazer isso, vamos supor que eu tenha uma matriz A aqui que não é diagonal, o nosso objetivo então é diagonalizar essa matriz.
    Vou colocar aqui, então a gente quer diagonalizar a matriz A. Beleza?
    O que significa isso? Transformar ela em uma matriz diagonal?
    Não. Não é bem isso não.
    É o fazer algo parecido. Se a minha matriz A não é diagonal, quando eu falo que eu quero diagonalizar ela, significa encontrar uma matriz P tal que isso aqui aconteça.
    Daqui a pouco a gente discute. P-¹ AP seja igual a uma diagonal.
    Então deixa eu deixa eu destacar isso daqui, daqui a pouco a gente discute isso daqui. Vamos lá.
    Diagonalizar uma matriz é fazer isso. É achar uma matriz P que possua inversa, que seja invertida, porque aqui aparece a inversa de P, então diagonalizar uma matriz é encontrar uma matriz P tal que se eu fizer P-¹ (a inversa de P) vezes a matriz A, vezes a P dê uma diagonal. Então isso aqui é uma matriz, vou colocar aqui do lado, é uma matriz diagonal.
    Nosso objetivo ao diagonalizar uma matriz vai ser justamente encontrar essa matriz P tal que esse produto aqui dê uma matriz diagonal. Isso é diagonalizar uma matriz não tem como pegar uma matriz A que não é diagonal e transformar em uma diagonal.
    Tem como eu encontrar uma matriz P tal que satisfaça isso daqui. Legal?
    Então vamos lá. Por que isso aqui é útil?
    Só para a gente entender essa ideia aqui, do produto de matrizes. Se eu tenho isso daqui, o legal é que eu posso elevar a qualquer expoente dos dois lados, mas eu não precisaria elevar o P-¹ nem a P.
    Como assim? Por exemplo, vamos dizer que eu quero elevar a n.
    Então vai ficar P-¹, A na n, P = D na n. Então isso aqui é muito legal.
    Se eu quisesse fazer A elevado a 50, ao invés de eu pegar a matriz A e multiplicar por ela 50 vezes, basta eu fazer aqui D elevado a 50 que é simples, a gente viu aqui e eu faço uma certa álgebra. Eu multiplico por P dos dois lados, por P-¹ e tal e eu acho o meu A elevado a n, então a gente usa essa ideia de elevar uma matriz em diagonal a um expoente alto fica simples e aí a gente, se a gente conseguir diagonalizar essa matriz, encontrar uma matriz P e ver que existe uma matriz P e encontrá-la tal que isso aconteça, eu posso pegar essa ideia de elevar a matriz no expoente, elevar a matriz diagonal no expoente, que vai facilitar a minha vida.
    Então está aqui. Por exemplo, a gente não vai chegar a fazer exercício desse tipo, mas, se você quiser, essa ideia de diagnalização é muito util para isso.
    Beleza? Então está ok.
    Então isso aqui pode deixar de lado por enquanto, vamos focar nisso daqui que é a definição de diagonalização. Encontrar essa matriz P que seja invertível e que satisfaça isso daqui.
    Esse produto que deu uma matriz diagonal e a ideia de facilitar a nossa vida nesse tipo de processo. Apesar de que a gente não vai trabalhar nele.
    Legal? Vamos só então agora aqui que a gente entendeu o que é diagonalização, e por que isso pode ser útil, vamos só entender quando que eu posso diagonalizar uma matriz.
    Não é qualquer matriz que eu pego, de novo, a gente está no campo as matrizes quadradas. Mas não é qualquer matriz quadrada que eu pego que eu vou poder diagonalizar, vamos ver quando eu poderei.
    Está aqui a nossa definição. Tem uma matriz A, n x n, quadrada, não saímos do campo das matrizes quadradas, ela vai ser diagonalizável se essa matriz A possuir n autovetores linearmente independentes, ou seja, LI.
    Como assim? Se eu tiver uma matriz de ordem 3, 3x3, eu preciso ter três autovetores LI, se eu tiver uma 2x2, na aula passada, a gente pegou uma matriz 2x2, ela nos deu o quê?
    Dois autovetores. A gente não discutiu se eles eram LD ou LI, mas se fossem LI, então ela seria diagonalizável e por aí vai.
    Se tiver uma 4x4, ela tem que me dar quatro autovetores que são LI. E por aí vai.
    Só nesse caso que essas matrizes vão ser diagonalizáveis e diagonalizá-las é buscar essa matriz P que satisfaça essa equação. Legal?
    Então é isso, pessoal. Espero que tenha ficado claro.
    Nas próximas aulas, a gente vai fazer exercícios para entender melhor a operação da diagonalização e fazer essa operação de fato e ver como que eu acho essa matriz P e tudo o mais. Beleza?
    Então é isso. Espero que tenha ficado claro, tenha em mente isso daqui e principalmente as ideias de autovetores e autovalores que nós vamos usar lá.
    Então é isso, pessoal. Obrigado pela atenção de vocês.
    E até a próxima aula. ...

Tópicos relacionados

Matriz e Sistema Lineares

Matriz e Sistema Lineares

6 Vídeos 1 Resumo
Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

6 Vídeos 1 Resumo

Planos de estudo com tudo o que você precisa

R$29,90/mês

Cancele quando quiser, sem multa

Aproveite também

  • check Exercícios passo a passo
  • check Resumos por tópicos
  • check Disciplinas ilimitadas
  • check Ferramentas para otimizar seu tempo