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Eletricidade - Exercícios

Vamos agora fazer uma aula de exercício! Iremos calcular o campo elétrico e potencial eletrico de esferas concêntricas.

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  • play_arrowCargas Elétricas - Teoria

    lockLei de Coulomb - Teoria

    lockCampo Elétrico - Teoria

    lockLei de Gauss - Teoria

    lockPotencial Elétrico - Teoria

    lockEletricidade - Exercícios

    lockEletricidade - Resumo

  • Oi, pessoal, tudo bom? Eu sou o Vitor, e hoje eu vou ensinar para vocês Física 3.
    A nossa aula de hoje é uma aula de exercícios. É a última aula desse tema atual.
    Quais são os pré-requisitos da aula de hoje? A gente precisa saber um pouco sobre cargas elétricas, sobre condutores e isolantes, saber um pouco de campo elétrico, potencial elétrico, vetores, integrais e geometria.
    Basicamente, aqui, vamos ver tudo que vimos nas outras aulas. E nesta aula vai ter um exercício só.
    Só que é um exercício bastante completo, um pouco difícil, mas vamos prestar atenção, porque esse é um exercício típico de prova. É um dos exercícios mais completos que tem aqui.
    Então, vamos lá. Qual é o nosso problema?
    A gente vai ter uma esfera carregada e isolante. Ela tem uma carga 3.
    q, uma densidade volumétrica de carga constante, e tem um raio RA. Depois, a gente tem uma casca esférica condutora que tem uma carga total -q e um raio interno RB, e raio externo RC.
    O que a gente precisa fazer? A gente vai ter que calcular o campo elétrico e o potencial elétrico em todo o espaço.
    Ou seja, a gente vai tentar calcular o campo e o potencial Vamos tirar aqui a provinha Com o raio da esfera, variando de menor do que RA até maior do que RC. Então, de 0 até o infinito.
    Vamos começar distribuindo essas cargas aqui. O primeiro conceito que a gente precisa saber, que é bastante importante, é que a carga de dentro é de um isolante.
    Então, as cargas estão paradas, não podem se movimentar. Já essa casca esférica aqui de fora é um condutor.
    Então, as cargas vão se distribuir de acordo com a influência de outras cargas no problema. Como essa carga de isolante tem uma carga 3.
    q, ela vai atrair uma carga -3.q nessa parede dentro.
    Então, vai ter uma carga -3.q na parede de dentro, e na parede de fora, para termos uma carga total "q", a gente vai ter uma carga +2.
    q. Então, -3.
    q com +2.q, a gente tem uma carga total -q.
    Então, essa é uma propriedade de condutores, e no meio do material não tem carga nenhuma. Então, vamos começar analisando o caso onde o raio de análise, que pode variar de 0 até o infinito, vai ser menor que o RA.
    Então, no caso, aqui tem uma esfera. Estou considerando dentro da primeira esfera isolante Para calcular o campo elétrico, vamos usar a Lei de Gauss.
    O que a Lei de Gauss diz? Ela diz que a integral de uma superfície fechada de um campo elétrico vezes dA é a carga interna dessa superfície dividida por épsilon 0.
    Só que qual é o nosso problema aqui? A carga interna à nossa superfície gaussiana é um pedaço da carga total.
    Para isso, a gente vai usar a distribuição volumétrica de carga. O que quer dizer a distribuição volumétrica de carga?
    Se a gente lembrar das aulas passadas, é a carga total dividida pelo volume total. Mas como esse valor é constante, podemos relacionar uma carga interna com o volume interno.
    Então, qual é a carga interna? A carga interna, manipulando essa expressão aqui, é a densidade volumétrica vezes o volume interno.
    Então, a carga interna vai ser rô, que é a densidade volumétrica, vezes o volume da esfera aqui dentro da superfície gaussiana, que é 4/3 de pi.r³.
    Então, como a gente já descobriu a carga interna, vamos continuar o exercício. Então, a carga interna é 4/3 de pi.
    r³ vezes rô. E aí, vamos voltar e resolver aqui a Lei de Gauss.
    Esse é o nosso caso aqui. O raio interno está dentro da carga de material isolante.
    Então, a carga interna, a gente conhece. O resultado dessa integral é fácil, porque o campo é constante no raio, e a área que a temos que calcular é a área da superfície gaussiana.
    Então, essa expressão vai virar isso aqui Campo elétrico vezes a área da superfície gaussiana, que é a área dessa esfera aqui dentro, é igual a 4/3 de pi.r³, que é a carga interna, vezes rô, dividido por épsilon 0.
    Então, vamos manipular aqui. A área da esfera é 4 pi.
    r², onde está o mesmo "r" que a gente tem que considerar, igual a tudo isso aqui. Então, a gente corta o 4 pi com o 4 pi.
    Esse r² com r³ vai sobrar um "r" aqui. Vai sobrar esse 3 aqui em baixo, o rô e o épsilon 0.
    Só que o rô é um negócio muito estranho. Vamos tentar escrever o rô em termos de coisas que conhecemos.
    A gente sabe que o rô é a carga total dividida pelo volume. A carga total dessa esfera aqui é 3.
    q. Então, a gente coloca 3.
    q aqui. E o volume total é o volume da esfera que vem com raio até RA.
    É 4/3 de pi.RA³.
    A gente vai pegar esse cara aqui e vamos jogar nessa equação. E aí, aqui em baixo vai ficar Aqui é o rô vezes "r" sobre 3 épsilon 0.
    Substituindo o rô, a gente vai ter aqui, então 3.q dividido por 4/3 de pi.
    RA³, que multiplica o "r" aqui, dividido por 3 épsilon 0. Esse 3 corta com esse 3, e sobra isso aqui, que é 3.
    q.r sobre 4 pi épsilon 0 vezes RA³.
    Só que se nos lembrarmos da segunda aula de Lei de Coulomb, 1/4 pi épsilon 0 é a constante eletrostática. Então, o campo elétrico nesse caso aqui, quando "r" é menor que RA, é igual à constante eletrostática, vezes 3 vezes a carga, vezes o raio, dividido por RA³, na direção radial.
    O próximo passo agora é a gente analisar quando o raio está entre RA e RB. Então, o raio está aqui no meio.
    A gente vai montar uma superfície gaussiana aqui no meio entre a esfera isolante e a esfera condutora. Usando a Lei de Gauss de novo, a gente sabe que a carga interna vale 3.
    q. A carga interna é essa superfície aqui.
    Tudo que está para dentro é a carga interna. Então, é esse 3.
    q. E aí, vamos resolver, então.
    Então, "E" vezes "A" é igual à carga interna, que é 3.q sobre épsilon 0.
    Qual é a área? A área da superfície gaussiana.
    Tem uma esfera que tem o raio "r". Então, é "E" vezes 4 pi.
    r², que é igual a 3.q sobre épsilon 0.
    Então, vamos rearranjar e isolar o campo elétrico aqui. O campo elétrico vai ser 3.
    q sobre 4 pi épsilon 0, vezes r² aqui, e 1/4 pi épsilon 0 é a constante eletrostática. A gente escreve aqui constante eletrostática vezes 3.
    q/r². Na forma vetorial, pois sabemos que a força elétrica é um vetor, é a constante eletrostática vezes 3.
    q/r² na direção "r". Olha que interessante isso aqui.
    Esse campo elétrico é o campo elétrico de uma partícula, uma partícula de carga 3.q, como calculamos anteriormente.
    Vamos para o próximo caso agora. O próximo caso é o seguinte Agora, a gente tem que analisar dentro da casca esférica condutora.
    Então, o raio está entre o RB e o RC. Então, está dentro da casca esférica condutora.
    Vamos usar de novo a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico. Veja que ela é bastante útil no caso de simetria esférica.
    Então, quem é a carga interna agora? A carga interna agora, a gente vai fazer uma análise.
    Para dentro da superfície, a gente tem a carga 3.q Aqui, não tem nada E na parede interna aqui, a carga -3.
    q. Então, olha que legal.
    3.q-3.
    q A carga interna à superfície gaussiana vai ser 0. O que isso quer dizer?
    Se a gente olhar a Lei de Gauss, a carga interna é 0, então, essa integral aqui dá 0. Resolvendo isso aqui, "E" vezes "A" é 0.
    Consequentemente, o campo elétrico tem que ser 0. Dentro de qualquer condutor Isso vale para qualquer condutor, não só para esse condutor esférico.
    Dentro de qualquer condutor, o campo elétrico é 0. Esse é um conceito bastante importante.
    Vamos agora para o próximo passo. Agora, a gente vai analisar fora da esfera condutora, quando o raio está fora de todo mundo aqui.
    A nossa superfície gaussiana vai estar aqui. É uma esfera com raio "r".
    Usando a Lei de Gauss, vamos analisar quem é a carga interna a essa superfície gaussiana. Então, olhando aqui dentro, quais são as cargas que existem aqui?
    A carga +3.q, a carga -3.
    q e uma carga 2.q aqui.
    Então, é 3.q-3.
    q+2.q.
    Esse corta com esse. Vai sobrar 2.
    q. Só que a gente pode também analisar pelo problema anterior, pelo começo do problema.
    A gente pega a carga total da primeira esfera, que é 3.q, e a carga total dessa segunda esfera, que a gente tinha falado, que era -q.
    Então, 3.q-q dá 2.
    q. Está vendo que o resultado é igual, como deveria ser?
    Então, a gente pode analisar ou pelas superfícies ou pela carga total. Aí, então, vamos resolver a Lei de Gauss, com a carga interna aqui.
    Ela é igual a "E" vezes a área da esfera da superfície gaussiana, que é essa aqui, que é igual a 2.q sobre épsilon 0.
    Vamos isolar o campo elétrico, como a gente fez nas outras partes, e o campo elétrico dá 2.q sobre 4 pi épsilon 0, vezes r².
    Transformando 1/4 pi épsilon 0 na constante eletrostática, a gente chega a essa expressão aqui. O que a gente tem até agora?
    A gente calculou o campo elétrico de todo mundo, e nós temos o seguinte Quando o raio é menor do que o raio da primeira esfera, o campo elétrico tem essa forma aqui. Quando o raio está entre a primeira e a segunda esfera, a gente tem esse campo elétrico.
    Quando o raio está dentro do condutor, ...

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