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Lei de Gauss - Teoria

Veja como calcular o fluxo elétrico e como obter a Lei de Gauss. Aprenda a calcular o campo elétrico utilizado a lei de Gauss, para simetrias esférica, cilíndrica e plana.

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  • play_arrowCargas Elétricas - Teoria

    lockLei de Coulomb - Teoria

    lockCampo Elétrico - Teoria

    lockLei de Gauss - Teoria

    lockPotencial Elétrico - Teoria

    lockExercícios sobre eletricidade - Exercícios

    lockResumo - conceitos iniciais sobre eletricidade - Resumo

  • E aí, pessoal, tudo bem? Hoje, nós chegamos à nossa aula 4 do primeiro tema.
    Hoje, a aula é sobre Lei de Gauss. Quais são os pré-requisitos desta aula?
    Nós temos que entender um pouco sobre campos elétricos, linhas de campo, vetores e integrais. Esse é o conhecimento de que nós precisamos para continuar nesta aula de hoje.
    E hoje nós vamos ver fluxo elétrico, e vamos ver algumas simetrias de carga na Lei de Gauss, que é a simetria esférica, cilíndrica e plana. Então, vamos iniciar a nossa aula falando sobre fluxo elétrico.
    O fluxo elétrico está relacionado com a quantidade de linhas que atravessam a área. Vamos imaginar que em uma região temos um campo elétrico horizontal e uma área quadrada aqui.
    O fluxo vai depender, então, do números de linhas atravessando esse pedaço de área aqui. E para entender direito o fluxo elétrico, a gente precisa definir o chamado vetor de área.
    Então, se eu pego um pedaço de área aqui, o meu vetor de área é um vetor normal à superfície que estou analisando. Ou seja, em uma área quadrada, o vetor de área forma 90 graus com a superfície, ou em uma área circular, o vetor de área forma 90 graus com a superfície.
    Dessa forma, o fluxo elétrico pode ser definido da seguinte forma: O fluxo elétrico, dado pela letra fi "e", é definido como produto escalar entre dois vetores. Que vetores são esses?
    O vetor campo elétrico e o vetor de área. Como isso aqui é um produto escalar, a gente resolve esse produto escalar, considerando o módulo desses vetores.
    Então, eu multiplico o módulo do campo elétrico pelo módulo da área que nós consideramos, vezes o cosseno do ângulo entre esses dois vetores. Mas por que o cosseno do ângulo quando consideramos fluxo elétrico?
    O que acontece? Vamos pensar em linhas de campo paralelas.
    Se elas estiverem inclinadas em relação ao meu vetor de área, o fluxo elétrico vai dar alguma diferença. Existe um ângulo entre as linhas de campo e o meu vetor de área.
    Dessa forma, nós podemos ver, então, que, quanto mais o campo elétrico estiver na direção do vetor de área, maior vai ser o fluxo elétrico, porque eu vou ter mais linhas de campo que atravessam a mesma área. Agora, se o campo elétrico formar um ângulo de 90 graus, se estiver, por exemplo, passando paralelo a essa área, nenhuma linha de campo vai atravessar a área.
    Ou seja, vai formar um ângulo de 90 graus com o vetor de área, e o fluxo vai ser 0, porque, matematicamente, entendemos que o cosseno de 90 graus é 0. Isso para uma área plana.
    Mas se a nossa área for curva, ou seja, se ela for não plana, como que a gente considera o campo elétrico? Então, se a área não for plana, temos que considerar o fluxo elétrico em cada pedaço, em cada diferencial de área.
    Então, eu pego uma área curva, escolho um pedaço de área, e calculo o diferencial de área. Tenho que considerar a inclinação desse diferencial de área em relação ao campo elétrico nesse pedaço aqui, que vai ter um ângulo teta "i".
    Então, o nosso fluxo elétrico pode ser expresso da seguinte forma: Vai ser uma integral de superfície do meu vetor campo elétrico, produto escalar com o diferencial de área. E essa é a forma mais geral do nosso fluxo elétrico, Pode ser usada para várias superfícies, sejam elas planas ou curvas.
    Agora, então, vamos considerar uma partícula carregada positivamente que gera um campo elétrico, como nós vimos na última aula. O campo elétrico que sai dessa partícula vai atravessar uma superfície esférica.
    Vamos calcular qual é o fluxo elétrico que o campo dessa partícula carregada resulta em relação a essa área esférica. Então, o fluxo elétrico é a integral de superfície do vetor campo elétrico, vezes o nosso diferencial de área, que também é um vetor.
    Aqui está o raio. Nesse mesmo raio, todos os pontos da esfera externa estão a uma mesma distância "r", e nessa mesma distância "r", como nós sabemos que campo elétrico depende da distância, mas para uma distância fixa, o campo elétrico é constante, então, o campo elétrico é constante nessa superfície.
    Para qualquer ponto que nós considerarmos, o nosso vetor diferencial de área vai ser sempre paralelo ao nosso vetor campo elétrico. Então, esse produto escalar aqui vai depender do cosseno de 0, então, vai ser só o módulo desse cara, vezes o módulo desse cara.
    O campo elétrico sendo constante, ele cai fora da integral. Então, nós podemos escrever a seguinte expressão Devido à orientação, esse produto escalar vira esse produto simples, e o campo elétrico, que é constante, sai da integral.
    Podemos escrever, então, o fluxo elétrico dessa forma, uma integral de superfície de um elemento de área. Essa integral nada mais é do que a área de superfície.
    Então, o fluxo elétrico é o campo elétrico vezes a área da superfície. Qual superfície?
    A esfera. Então, a gente substitui os valores aqui.
    O campo elétrico é a constante eletrostática vezes a carga da esfera, dividido pelo raio ao quadrado, que é a carga da partícula carregada, que é o raio da esfera, onde nós queremos calcular o campo elétrico. E aqui é a área da esfera, 4 pi.
    r². Se nós cortarmos, então, r² com esse r² aqui, nos resta, então, que o campo elétrico Considerando também que a constante eletrostática é 1 sobre 4 pi épsilon 0, substituindo esse valor nessa expressão e cortando esses números, temos que o fluxo elétrico é igual a 1 sobre 4 pi épsilon 0, vezes 4 pi, vezes "q".
    Cortando 4 pi com 4 pi, nos resta que o fluxo elétrico gerado por essa carga na esfera é igual à carga sobre épsilon 0. Esse valor foi calculado para uma superfície esférica, mas ele é válido para qualquer superfície fechada, onde a carga que nós consideramos é a carga dentro dessa esfera.
    Com esse resultado, nós chegamos a uma expressão muito importante. Nós chegamos aqui à Lei de Gauss.
    Então, o que é a Lei de Gauss? Ela relaciona fluxo elétrico, que é uma integral de superfície fechada É isso que essa bolinha da integral quer dizer.
    Mas diz também que o fluxo elétrico é igual à carga interna a uma superfície dividido por épsilon 0. Então, nós agrupamos essas expressões, escrevendo a seguinte coisa O fluxo elétrico nada mais é do que a integral superfície do campo elétrico vezes o diferencial de área, que é igual à carga interna sobre épsilon 0.
    Essa é a Lei de Gauss. E aqui, a gente considera a área de uma superfície gaussiana.
    O que é a Lei de Gauss? A Lei de Gauss é uma lei.
    Ela serve sempre. Sempre nós vamos conseguir determinar o campo elétrico pela Lei de Gauss.
    Mas ela só vai ser realmente útil nos casos em que temos simetrias, porque a Lei de Gauss é uma integral. E se o campo elétrico não for constante, ele tem que entrar nessa integral, e nós temos que calcular a integral.
    E algumas vezes essa integral pode ser difícil de calcular. Então, se o campo elétrico for constante, ele cai fora da integral, e nós temos que resolver uma integral de área só.
    Então, nos casos em que existem simetrias e o campo elétrico pode ter um valor constante, nós ficamos felizes e usamos a Lei de Gauss. Já a superfície gaussiana é uma superfície imaginária, que nós criamos para ajudar a gente a calcular o campo elétrico em uma região do espaço.
    Agora que nós entendemos o que é a Lei de Gauss, vamos entender quais são os casos em que ela é útil para a gente. A Lei de Gauss é útil em casos de simetria de carga.
    A primeira simetria que nós vamos estudar é a simetria esférica. Quando nós pensamos em simetria esférica?
    Quando existem partículas carregadas ou esferas carregadas. A superfície gaussiana que nós vamos criar para calcular o campo elétrico é uma esfera.
    Então, é o mesmo exemplo que nós vimos anteriormente. Eu tenho uma partícula carregada com uma carga "Q", e a superfície gaussiana é essa esfera vermelha aqui.
    Então, se nós aplicarmos a Lei de Gauss, a integral de superfície fechada do campo elétrico vezes o diferencial de área é igual à carga interna à superfície dividida por épsilon 0. Nesse caso aqui de simetria esférica, o campo elétrico é sempre paralelo ao nosso vetor de área, a carga interna é a carga da partícula aqui dentro da superfície gaussiana, e o campo elétrico é sempre constante nesse raio.
    Usando essas propriedades e observações do problema, a Lei de Gauss se torna essa expressão simples. Então, nós queremos descobrir o campo elétrico.
    Essa é a variável que nós queremos procurar. Essa aqui é a área da superfície gaussiana, que, no caso, é uma esfera, igual à carga interna sobre épsilon 0.
    Então, o campo elétrico vezes a área da esfera é igual a "Q" sobre épsilon 0. Isolando, então, o campo elétrico, que é o que nós queremos descobrir, nós chegamos à seguinte expressão: O campo elétrico é igual a "Q" sobre 4 pi.
    r² épsilon 0. Se nós lembrarmos que 1 sobre 4 pi épsilon 0 é a constante eletrostática, nós reescrevemos essa expressão da seguinte forma: Campo elétrico é igual a Ke.
    Q/r². E esse é o campo elétrico de uma partícula como deveria ser.
    Aqui, nós temos a expressão vetorial do campo elétrico de uma partícula. ...

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