Cônicas Aprenda tudo que você precisa

  • play_arrow 6 videos
  • subject1 Resumo
lock

Esse conteúdo é exclusivo para assinantes.

Assine o Plano Premium e tenha acesso ilimitado a todas as aulas

AssinarVeja aula grátis

Circunferência - Teoria

Acompanhe o estudo da nossa primeira seção cônica, a circunferência. Vamos ver sua definição, propriedades e equação.

  • thumb_down 0
  • Plano completo
  • Transcrição
  • play_arrowIntrodução às cônicas e definições - Teoria

    lockCircunferência - Teoria

    lockElipse - Teoria

    lockParábola - Teoria

    lockHipérbole - Teoria

    lockRevisão e comparação - Teoria

    lockResumo - cônicas - Resumo

  • E aí, pessoal. Vamos lá então, vamos começar agora o estudo da circunferência, não é?
    Que é a primeira seção cônica que a gente vai estudar, legal? Vamos lá então.
    O que é bom, pessoal, para todos, na verdade, para todas as seções cônicas, eu vou começar trazendo a definição geométrica, eu vou explicar daqui a pouquinho, porque ela vai ser muito importante, beleza? Qual que é a definição geométrica da circunferência?
    Uma circunferência de centro C e raio R é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que distam R de C. Como assim?
    O que significa? O que é lugar geométrico?
    O lugar geométrico você pode interpretar como sendo o conjunto dos pontos, então uma circunferência de centro C e raio R é o conjunto de todos os pontos que distam cuja distância até C é R. Então está aqui.
    Eu tenho um centro C e um raio R definido, então todos os pontos da circunferência a distância até esse centro C é R, essa é a definição geométrica é o conjunto de todos os pontos cuja distância até esse centro é igual a R. Beleza, isso provavelmente não deve ser uma novidade para você.
    Mas talvez as definições das próximas cônicas sejam e é importante a gente entender porque olha só, vamos para o que importa então da geometria analítica que é obter a equação disso. E o que a gente vai fazer é justamente usar a definição geométrica e a fórmula de distância entre pontos.
    Lembram? Uma das nossas primeiras aulas que eu falei que era uma fórmula muito importante, a fórmula de distância de ponto a ponto e eu não vou fazer para todas as cônicas, mas o método de obtenção da fórmula é o mesmo.
    A gente vai usar a definição geométrica e a fórmula de distância entre pontos. Como assim?
    Então vamos lá, vamos fazer primeiro aqui e vocês vão entender como que vocês farão as próximas demonstrações caso vocês queiram, beleza? Então digamos que eu tenho um ponto P de coordenadas xy qualquer, um ponto P que pertence a essa circunferência.
    E o ponto C, o centro dela, está ali, as coordenadas dele são A e B e o raio dela é R. Qual é a definição pessoal, vamos voltar então, a definição geométrica?
    Circunferência é o conjunto de todos os pontos cuja distância até C é R. Então, se isso é uma circunferência e eu peguei um ponto qualquer P, o que eu sei?
    A distância desse ponto P até o centro C tem que ser igual a R. Essa é a definição de circunferência, não é?
    Então beleza. Então vamos lá.
    Distância de P até C. A gente sabe que distância entre pontos, pessoal, é assim, não é?
    raiz quadrada de deltax² vamos lembrar da fórmula aí mais deltay² = então a r, não é? Beleza.
    Então vamos lá. Eu vou elevar ao quadrado os dois lados já tá, pessoal?
    Então vai ficar assim, vai cancelar essa raiz aqui vai ficar um r² se eu elevar isso ao quadrado, eu simplifico com essa raiz. Então fica deltax seria o x do ponto P que eu chamei de X menos o x do ponto C, então fica x - a² + deltay: y do ponto P, que é Y mesmo, menos o y do ponto C, y - B², isso é igual r².
    E a isso, pessoal, nós damos o nome de equação da circunferência daqui a pouco a gente vai discutir um pouco mais o que isso significa. Mas vamos lá.
    Isso aqui é o que a gente chama de equação reduzida, na verdade. Equação reduzida da circunferência.
    Equação reduzida da circunferência. Então vamos só entender, pessoal, o que a gente fez aqui.
    Eu peguei um ponto qualquer P e aqui eu impus a definição de circunferência, eu falei, "Ah, esse ponto é um ponto da circunferência, então a distância dele até o centro tem que ser igual ao raio e obtive essa equação". Então perceba que os únicos pontos que satisfazem essa equação são os pontos que pertencem a circunferência, são os pontos com distância até o centro é igual a r.
    E os únicos pontos então que de fato satisfazem a circunferência, pertencem a ela. E os pontos que não pertencem a circunferência um ponto aqui, não vai satisfazer essa equação.
    Então a isso é o que eu a gente tem o nome de equação da circunferência, porque somente os pontos que pertencem a circunferência, satisfazem, tem a propriedade de satisfazer essa equação, então vocês viram que não é difícil, pessoal. De novo, a gente usou definição geométrica e a forma de distancia entre pontos, então todas as outras formulas de cônicas, vocês podem obter dessa mesma maneira, legal?
    Então vamos lá. Vamos entender então melhor isso aqui em alguns exemplos.
    Então eu tenho esse exemplo aqui, olha: x² + y² = 16. Que circunferência que é essa?
    Para facilitar a visualização, pessoal, vamos colocar assim, olha: y - 0² = 4². O que é isso?
    É uma circunferência de fato, o centro está aqui, olha. O centro dela está na origem, não é?
    O ponto de coordenada 0 é zero. E quanto que vale o raio dela?
    4, não é? raiz disso daqui não é, pessoal?
    Isso aqui é o raio ao quadrado vamos lembrar, então se eu fosse representar seria isso daqui, olha. Aqui em 4, centro na origem, não é?
    4 - 4 aqui e -4. Então a minha circunferência estaria aqui, a circunferência seria mais ou menos isso daqui, olha: não é?
    Passando aqui. Então essa seria a minha circunferência o centro na origem, o ponto de coordenada 0 e 0 e raio 4.
    Beleza? Vamos pegar mais um então.
    Vamos fazer o contrário agora, agora eu tenho a minha circunferência e quero obter a equação dela, então vamos lá, vou pegar o centro. Quais são as coordenadas do centro?
    X é -2, y é 3. Quanto é o raio?
    O raio é 3, então vamos lembrar da nossa fórmula, pessoal. A nossa fórmula é assim: x menos a coordenada do centro, não era?
    ao quadrado. Mais y - b que era a coordenada y do centro, ao quadrado é igual a r².
    A circunferência vai ficar como então? X menos o x do centro vai ficar - (-2), então vai ficar +2, tem que tomar cuidado com isso não é, pessoal? Ao quadrado mais y menos o y do centro, o y do centro é 3, então -3² isso é igual a raio² que seria então 3², não é?
    Aqui 9. Então isso aqui seria a equação reduzida dessa circunferência, pessoal.
    Então todos os pontos que eu pegar da circunferência em qualquer ponto dela, não é? Vão satisfazer essa equação.
    E qualquer ponto também que eu pegar também fora dela não vai satisfazer essa equação. Como assim?
    Se eu pegar um ponto qualquer aqui, se eu pegar o x dele aqui, o y dele aqui, e fizer essa operação, vai dar tudo igual a 9 aqui, entendeu? Então somente os pontos dessa circunferência satisfazem essa equação, por isso a gente dá o nome disso de equação da circunferência.
    Legal? Vamos para mais um exemplo então.
    Ah, esse aqui é legal. Vamos lá.
    Que circunferência que é essa? Bom, é um pouco difícil não é, pessoal?
    A gente enxergar, está um pouco diferente o formato, mas não tem problema aqui a gente vai fazer um negócio que chama completar quadrados que é tentar fazer com que isso aqui volte para aquele formato que a gente conhece da equação reduzida da circunferência. Isso não é muito difícil, pessoal.
    Olha, vamos fazer assim. x² - 2x + y² - 4y = 9.
    Isso é o que a gente tem, não é? Olha o que a gente vai fazer, a nossa estratégia aqui vai ser a seguinte: somar ou subtrair termos dos dois lados para que a gente possa voltar ao que a gente quer, ao formato reduzido.
    Então olha o que eu vou fazer. Aqui, pessoal, a gente tem que conseguir enxergar um produto notável.
    Olha só. Se eu tiver +1 aqui, isso daqui se reduz a x-1², vocês lembram do produto notável.
    Se eu pegar x-1² e expandir eu vou ter justamente isso x² - 2x + 1. Só que eu não posso simplesmente somar um aqui.
    Isso aqui é uma igualdade, então eu posso fazer qualquer coisa de um lado e esse aqui eu faço do outro, então eu venho e somo um aqui também, para permanecer igual. Aqui a mesma coisa, pessoal, se eu, por exemplo, somar +4 de um lado, para que isso apareça um produto notável, a gente tem que desenvolver essa habilidade de percepção, eu tenho que somar 4 do outro lado também.
    E aí o que vira isso daqui? Isso é y-2².
    Expande aí depois, faz o produto notável quadrado do primeiro -2x o primeiro vezes o segundo -4y + o quadrado do segundo + 4 vai dar justamente então isso aqui é exatamente igual aquilo. Então agora o que a gente está fazendo peguei isso tudo aqui que é isso mais isto daqui que é isso.
    É igual a quanto que vai dar isso daqui? 9+1=10=14.
    Legal, então agora sim ficou fácil não é, pessoal? Que circunferência que é essa?
    Vou colocar até maior aqui, olha. x-1² + y-2² = 14.
    Que circunferência que é essa aqui, pessoal? É a circunferência de centro 1 e 2, aqui, olha, x do centro y do centro e quanto que é o raio dela?
    É a raiz de 14 não é, pessoal? O raio da circunferência é a raiz de 14.
    Lembrando que esse aqui é o raio², então beleza, turma, está aí, isso aqui talvez seja o caso mais difícil que possa parecer, não é? A gente tem que conseguir fazer voltar desse formato para esse formato, o formato reduzido, que é o melhor, que é o mais fácil, que é quando a gente consegue ver claramente onde que está saindo a circunferência, qual o raio dela, então a gente consegue saber exatamente de que circunferência estamos falando.
    Beleza, turma? Então é isso, pessoal.
    Espero que tenha ficado claro, muito obrigado pela atenção e até a próxima aula. ...

Tópicos relacionados

Ponto

Ponto

4 Vídeos 1 Resumo
Reta

Reta

8 Vídeos 1 Resumo

Planos de estudo com tudo o que você precisa

R$29,90/mês

Assine o PremiumCancele quando quiser, sem multa

Aproveite também

  • check Todos os materiais compartilhados
  • check Biblioteca com 5.000 livros, escolha 5 por mês
  • check Exercícios passo a passo
  • check Videoaulas e resumos