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Hipérbole - Teoria

Agora é a vez de vermos a definição geométrica e a equação da hipérbole.

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    lockCircunferência - Teoria

    lockElipse - Teoria

    lockParábola - Teoria

    lockHipérbole - Teoria

    lockRevisão e comparação - Teoria

    lockCônicas - Resumo

  • E aí, pessoal. Beleza?
    Vamos discutir então agora sobre a hipérbole. Vamos lá.
    A definição geométrica, ela é bem parecida no geral, tudo isso aqui que a gente vai discutir, tem muitas semelhanças com elipse, a definição geométrica é parecida, as equações são bem semelhantes, então vamos fazer as associações com elipses. A definição geométrica é o seguinte: lembra que a elipse fala que qualquer ponto a soma das distâncias até os dois focos é uma constante?
    Aqui vai ser parecido, só que aqui é o seguinte. Eu tenho dois pontos: F1 e F2, que a gente vai chamar de focos, daqui a pouco eu vou definir isso daí.
    Mas a definição geométrica da hipérbole é o seguinte: É o lugar geométrico, o conjunto de todos os pontos, tais que, se eu pegar a distância desse ponto até um foco, vou chamar essa distância de D1. Depois pegar essa distância até o outro foco, vou chamar isso aqui de D2, a diferença entre essas distâncias é igual, é uma constante, que é igual a 2a.
    Ou o módulo da diferença até não é, pessoal? Quando fala do módulo aqui pode ser porque uma distância é maior do que a outra, então quando a gente fala em distância, a gente pega sempre o valor positivo, beleza?
    Então essa é a definição geométrica. Muito parecido, a única coisa que muda aqui é o sinal de negativo.
    Na parábola, é a soma das distâncias dos dois focos, é uma constante que vale 2a. Aqui é a diferença da distância aos focos, é uma constante que vale 2a.
    Muito semelhante, não é? Vocês vão ver que, por conta disso, as equações também serão muito parecidas.
    Mas, antes disso, vamos definir algumas coisas aqui. Vamos definir alguns elementos que vão ser importantes para a gente.
    Primeiro: F1 e F2 são focos. Não vou nem escrever.
    De forma semelhante e lá na elipse, beleza? São focos.
    E a distância entre eles é 2C. Vou colocar aqui daqui a pouco.
    Vamos lá. Aliás, vou colocar de uma vez, não é?
    Vamos lá, vamos descer isso daqui. Essa distância vale 2C.
    Vamos lá beleza. O ponto médio desse segmento, não é pessoal?
    Seria o quê? Seria o centro dessa hipérbole.
    Então é o ponto médio, a distância daqui é C, a distância daqui até aqui é C. Então eu vou até colocar.
    Aqui eu teria 1C apenas e aqui C. Beleza?
    Então isso aqui, esse ponto médio, recebe o nome de centro. Legal, o que mais turma?
    Bom, agora acontece o seguinte: isso daqui, esse pedacinho, seria o semieixo real, porque o que acontece? Diferente da elipse, onde eu tenho isso daqui, é claro até eu tenho um eixo menor em um eixo maior.
    Aqui não, aqui eu tenho um eixo que a gente chama de real. Esse eixo aqui seria o eixo real, essa distância aqui.
    Então, turma, é 2a. Vou colocar aqui: essa distância vale 2a.
    Vou colocar aqui embaixo, 2a. Então isso aqui eixo 2a, é o eixo real ou eixo transverso.
    Por que eixo real? Porque eu não tenho outro eixo.
    Eu até tenho, a gente vai definir daqui a pouquinho. Mas esse outro eixo não é, igual aparece na elipse, igual a gente viu, eixo menor e eixo maior.
    O outro eixo é o que a gente chama de eixo imaginário, que valeria 2b. Vou colocar aqui então 2b, no lugar do eixo menor, é que a gente teria um eixo que a gente chama de imaginário, porque ele não está de fato ali, eixo imaginário.
    E qual é a relação entre eles? Então teria aqui, sei lá, um b aqui, a coordenada -b ali, de tal maneira que se eu pegasse tudo isso aqui, isso aqui seria o 2b, seria o meu eixo então imaginário.
    Mas que b é esse? Como que a gente acha esse b?
    Como que a gente define esse B? Esse B, pessoal, a gente define de maneira tal que esse triângulo que aparece aqui, esse triângulo retângulo, olha só, eu vou destacar ele aqui.
    Esse triângulo retângulo aqui, a hipotenusa dele vale AC, é assim que a gente define o B. Então isso daqui tem que valer C, exatamente igual a distância focal, então em relação a isso, usando o teorema de Pitágoras, fica C² = A² + B².
    Por que ao quadrado? Esse ponto aqui não é o centro?
    Não é o ponto médio desse segmento? Se tudo isso mede 2a, esse segmento que está aqui mede apenas A.
    O importante é destacar que o triângulo retângulo, pessoal, é esse daqui. Isso mede A, isso mede B e aí o B é definido de tal maneira que nesse triângulo retângulo aqui, isso aqui vale C, a hipotenusa vale C, então vale essa relação, pessoal, para para hipérbole.
    Então está aí, de forma bem semelhante. 2a eixo real, 2b eixo imaginário e a relação para que a gente defina o B está aqui, o b é tal que: C² = a² + b², 2c de distância focal, f1 e f2 focos, nada muito diferente do que a gente viu lá na elipse, não é?
    As coisas são parecidas. Só essa questão do eixo imaginário aí, não é?
    Beleza. Então vamos lá, turma.
    Vamos ver as equações disso daqui. Então, pessoal, aqui são equações com o centro na origem, beleza?
    Então nesse caso aqui em que o eixo real for horizontal, certo? Se estiver sobre o eixo X, a equação é essa daqui: X²/ a² - y²/b² = 1.
    Quem é esse B? Esse B seria o semi-eixo imaginário.
    Então, de novo, eu posso até fazer aquele desenho, eu vou até fazer aqui, não é? Para ficar um pouco mais limpo, então aqui eu teria um B, aqui eu teria um -b, não é?
    E esse B é tal que, esse triângulo retângulo aqui, a hipotenusa mede C. Então eu poderia fazer o Pitágoras.
    A²+b²=c² Legal? Então perceba que é praticamente igual à equação da elipse.
    A diferença é que aqui é uma subtração e na da elipse era uma adição, não era? Só que aqui a gente tem uma subtração, é semelhante, não é?
    Agora vamos ver esse aqui, pessoal. O caso em que o eixo real, ele é vertical.
    Se o eixo real é vertical, ele é bem semelhante quando a gente tem lá na elipse, quando o eixo maior é vertical, eu troco, eu continuo tendo uma subtração aqui, só que aí fica Y²/a² - x²/b² = 1. Muito semelhante não é, pessoal?
    E, de novo, quem é o B? O B é o semieixo imaginário.
    Cadê o eixo imaginário? Está aqui, olha.
    Eu teria o menos B, aqui eu teria B de tal maneira que este triângulo retângulo que aparece aqui, a hipotenusa dele vale C. Então vai de novo: h² é a soma dos quadrados dos catetos não é isso?
    Beleza. Essa relação é importante para a hipérbole, viu pessoal?
    Então está aí, de novo, muito semelhante a elipse, não é? Legal.
    Vamos fazer um exemplo aqui então, turma. Qual é a equação da hipérbole de focos?
    F1 (3,0) e F2 (-3,0) e cujo eixo real vale 4. O eixo real, ou seja, 2a, eixo real, é igual a quatro.
    Então quem é o A, O semi-eixo real? O A é 2.
    Beleza. O que eu sei?
    Olha só, pessoal, vamos até fazer um desenho aqui para quem está com dificuldade de visualizar isso daí, seria isso daqui, olha. Teria o eixo Y, teria aqui um eixo X.
    Vamos colocar os focos. O primeiro foco está aqui, olha.
    3 e 0. E o outro foco está aqui -3 e 0, ou seja, quanto que é a distância focal?
    É seis. 3+3=6.
    Então o C que é a semidistância focal, a metade da distância focal, o C vale simplesmente três, não é? O C vale 3.
    Beleza. O que eu sei, pessoal?
    Aqui, nesse sentido, se os focos estão aqui, essa elipse, vamos olhar a nossa figura lá como é que fica? Olha aqui a figura que a gente desenhou.
    Quando os focos estão aqui, significa que o meu eixo real está nessa direção, então a minha elipse está dessa forma, beleza? Então se a gente fosse fazer um esboço mais ou menos, não sei exatamente como que está essa elipse, mas seria algo desse tipo aqui, não é?
    O que eu preciso saber pessoal? Se é essa elipse, vamos voltar o nosso rascunho está aqui, não é?
    Elipse com eixo real na horizontal, é essa equação, não é? Então vamos colocar.
    A minha equação aqui seria a seguinte. (X²/A²) - (Y² / B²), isso tem que ser igual a 1. Beleza, turma.
    E aí? Como que eu faço para descobrir o B?
    Agora a gente vai usar aquela relação do Pitágoras, não é? C² = A² + B².
    Lembram disso daqui? Então fica assim.
    Quem é C²? É 9.
    Não é? 3² está aqui.
    C é metade da distância focal que é 6. É igual a A² que é 4 + B², por que A² é 4?
    Porque o A é 2 não é, turma? Então beleza.
    Como que fica isso daqui? O B² é igual a 9-4=5.
    Eu não vou nem tirar a raiz aqui, pessoal, porque o que me interessa é o próprio B², não é? Se eu quisesse tirar a raiz, eu teria aqui o semieixo.
    O semieixo imaginário mede a raiz de 5, então se eu fosse pegar aqui, o que eu teria aqui? Aqui eu teria raiz de 5 menos raiz de 5 aquele ali seria o eixo imaginário, não é?
    Mas tudo bem, o que me interessa é o B², como ficaria a equação? (X²/A²). A²=4.
    (X²/4) - (Y²/5)=1. Então está aí, turma.
    Essa seria a equação daquela hipérbole ali, da hipérbole cujos focos são (3 e 0) (-3 e 0) cujo eixo real vale 4, inclusive eu posso até colocar aqui já, não é? Isso daqui é o eixo real, não é?
    Então esse ponto aqui é X² e aqui é o X=-2, de tal maneira que essa distância é 4, o eixo real vale 4. Foi nos dada essa informação, então já temos uma boa ideia aí, se a gente quiser de novo desenhar o triângulo retângulo, está aqui, não é?
    Se eu fizer isso daqui, eu vou ter o C, se eu fizer o Pitágoras aqui, não é? Beleza?
    Então está aí, turma. Isso aí é a hipérbole bem parecida com a elipse, muito parecido mesmo, a gente pode fazer essas analogias para entender como que a equação se comporta em cada caso e está aí, pessoal.
    Muito obrigado então pela atenção e até a próxima aula. ...

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