Derivadas

Este grupo de aulas aborda um dos conceitos mais fundamentais para todo o Cálculo: o estudo das derivadas, desde sua interpretação geométrica e definição formal até a construção de gráficos de funções utilizando os conceitos e propriedades da derivada, passando ainda por todas as regras e técnicas de derivação.

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Aulas de Derivadas

Conceito de tangentes - Teoria

A ideia intuitiva de derivada. Interpretação geométrica do conceito de derivada. Revisão dos conceitos de reta tangente, reta secante e coeficiente angular da reta.

TRANSCRIÇÃO

Fala, pessoal do Passei Direto. Tudo bem com vocês?
Vamos dar continuidade às nossas aulas, agora entrando na segunda parte do nosso curso de Cálculo I. Vamos hoje falar sobre a introdução ao conceito de derivada, conceito extremamente importante de que você vai precisar para essa segunda parte do nosso curso.
Vamos começar, inicialmente, com o conceito de tangentes. Portanto, vamos considerar essa curva que temos aqui.
Observe somente essa curva preta. Essa curva preta nós vamos chamar de uma curva f(x) qualquer. E aí a gente vai marcar, nessa curva, dois pontos.
Esse primeiro ponto aqui, que nós chamamos de ponto "P", cujas coordenadas são "a" em "x" e ordenada, que é exatamente onde bate aqui no eixo "y", a ordenada dela é f(a). Como já afirma aqui esse nosso ponto.
Aqui no ponto "Q", nós temos, como coordenada, "x", o valor "x" que nós temos aqui, e, como ordenada, nós temos f(x). Esses são os pontos "P" e "Q" que estão sobre a curva.
Se eu quiser estabelecer uma distância entre esses pontos, ou seja, uma distância entre o ponto "P" e o ponto "Q", eu preciso determinar quais são esses valores dessas distâncias aqui, que formam esse triângulo. Para a gente fechar esse triângulo que é formado por essas distâncias.
Então, aqui eu tenho um dos catetos dele vai ser x-a, porque é exatamente a distância entre "x" e "a". E o outro cateto desse triângulo retângulo vai ser exatamente a diferença entre f(x) e f(a). Portanto, se eu quero estabelecer a distância entre os pontos "P" e "Q", e por isso eu estabeleceço aqui, com uma nomenclatura, "M" de "P" até "Q".
É exatamente o coeficiente angular dessa distância daqui. Ou seja, a inclinação desse negócio daqui nada mais é que f(x)-f(a), que é esse pedaço daqui, sobre x-a. É como se a gente estivesse fazendo aqui, mais ou menos, para a gente determinar isso, um coeficiente angular da reta, que é delta "y" sobre delta "x".
Lembram disso? Então, é mais ou menos isso que eu estou fazendo aqui, determinando essa distância entre os pontos "P" e "Q".
Observe agora que nós vamos formalizar o conceito de tangente. Vamos pegar aqui exatamente esse ponto "P" que nós temos aqui.
Essa reta "t" é a reta tangente à curva no ponto "P" . Então, o primeiro conceito de uma reta tangente que a gente precisa ter é que uma reta tangente só intersecta a curva em um único ponto.
Essa é a definição primordial e muito importante que você tem que ter em mente. Reta tangente só toca a curva como o nome já diz, ela vai tangenciar a curva em um único ponto, que é esse ponto "P" que temos aqui.
Essas outras retas aqui que nós temos são as chamadas retas secantes. Essas em azul são as retas secantes e essa aqui é a reta tangente.
Essas são as retas. E aí, o que acontece?
O conceito de reta tangente diz o seguinte Quanto maior o número de retas secantes Perceba que as retas secantes intersectam essa curva na nossa função f(x) várias vezes, não só uma única vez. Ela intersecta aqui, intersecta aqui Essa aqui também intersecta em mais de um ponto.
Percebam que ela intersecta a curva f(x) em mais de um ponto, ao contrário da tangente que só tangencia a curva em um único ponto "P" aqui representado. Portanto, quanto maior o número de retas secantes que eu for traçando aqui, cada vez que eu for traçando mais retas secantes, ou seja, quando eu traçar infinitas retas secantes, elas vão, cada vez mais, se aproximando da reta tangente, então, é como se eu falasse que o limite das retas secantes, quando eu traço infinitas retas, vão sempre tendendo à reta tangente "t".
E aí é que a gente diz sobre a definição de uma reta tangente. A reta tangente à curva y=f(x) em um ponto "P", cujas coordenadas são "a" e f(a), é a reta passando por "P" com inclinação "M". E aí essa inclinação "M" é exatamente dada por esse limite, o limite quando "x" tende a "a" de [f(x)-f(a)]/[x-a], que é exatamente as distâncias que a gente definiu entre esses pontos. Então, o limite das retas secantes, conforme eu for traçando inúmeras delas, vai chegar na chamada reta tangente.
Obviamente, isso acontece desde que esse limite exista. ...

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Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Expresse 1/9 como uma dízima periódica, utilizando uma barra para indicar os dígitos que se repetem. Quais são as representações decimais de 2/9? 3/9? 8/9? 9/9?

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiro, expressamos a fração como um decimal periódico:

Logo, identificamos os dígitos que se repetem, que nesse caso é o 1, e utilizamos uma barra sobre ese dígito:

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

No caso seguinte, o dígito que se repete é o 2, e colocamos um dígito sobre ele:

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

No caso que vem em seguida, depois de expressar a fração como um decimal, o dígito que se repete é o 3:

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ao expressar a fração como decimal, identificamos que o dígito que se repete é o 8:

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesse caso, a fração não dá um número decimal, e sim um inteiro: