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Derivada como função - Teoria - parte 1

Definição formal de uma função derivada. Derivada pela definição. Apresentação das técnicas de derivação simples (funções constantes e funções potência). Diferenciabilidade e continuidade: relações. Gráfico de f e f’ e suas relações.

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    lockResumo - Derivadas - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto. Vamos para mais uma aula de Cálculo I.
    Hoje, nós vamos falar sobre a derivada como uma função. Recordando um pouco da nossa aula passada, lembra dessa fórmula?
    Ela foi muito importante na nossa última aula, lembra? Nós definimos o que a gente chama de derivada pela definição.
    Ou seja, definimos como a gente usa a derivada utilizando aqueles conceitos de limite. E observamos também a questão da interpretação geométrica dessa derivada.
    Então, isso daqui que a gente viu na última aula é a chamada derivada pela definição. E agora hoje a gente vai fazer alguma coisinha, uma modificação muito pequena.
    Lembra aqui que a gente estava usando para esse valor aqui de "a" um número real qualquer, lembra? Eu quero um número real qualquer onde eu gostaria de saber onde que estava essa minha derivada.
    Por exemplo, eu queria descobrir onde era a derivada no ponto x=5, x=3, etc. E aí eu até falei pra vocês durante a resolução de exercícios que a gente poderia substituir esse "x" por um "a" qualquer.
    Agora, a gente vai mudar essa nomenclatura. Nós vamos deixar o número "a" variar e vamos substituir por "x", para ficar mais fácil na hora de determinar aqueles exercícios, não precisar ficar substituindo, sabendo que "a" é um número, e tal.
    Simplesmente, a gente deixa "x". Então, aqui eu só vou fazer o seguinte No lugar de "a", eu vou colocar "x".
    Pouca coisa é essa. A fórmula é a mesma.
    É só uma questão de nomenclatura. Então, do "a", eu mudo para "x".
    E aí eu vou ficar com f'(x) que é igual ao limite, quando h tende a zero, de [f(x+h)-f(x)]/h. Então, eu nada mais, nada menos, fiz aqui do que substituir o meu "a" por "x".
    Vai ficar mais fácil na hora de a gente resolver os exercícios. Então, não houve nenhuma modificação nesse sentido.
    Por exemplo, vamos determinar agora e resolver esse exercício. Se f(x)=x²-4x, encontre uma fórmula para f'(x) pela definição de derivada. Então, a gente já sabe, quando ele fala "pela definição de derivada", eu já sei que eu tenho que usar o limite, quando "h" tende a 0, de Só que vamos usar aquela nova nomenclatura nossa?
    [f(x+h)-f(x)]/h. Então, primeiro, a nossa função é f(x)=x²-4x. Então, no lugar desse "x", eu coloco x+h.
    Portanto, vai ficar o limite, quando "h" tende a 0, de (x+h)²+4(x+h)-f(x) f(x) é a própria função, então eu não preciso substituir mais nada. Só colocar o sinal de menos e dentro do colchete repito a função x²-4x.
    Tudo isso sobre "h". Portanto, agora vamos abrir aqui o nosso produto notável.
    Limite, quando "h" tende a 0, de x²+2xh+h²- Efetuo a distributiva -4x-4h-x²+4x. Repare que esse sinal de menos vai inverter todos os sinais aqui de dentro.
    Tudo isso vai ficar sobre "h". Então, agora, a gente vai efetuar algumas simplificações Esse x² vai cortar com esse x².
    Esse 4x vai cortar com esse 4x. E é isso aí.
    Vai sobrar aqui em cima no numerador as seguintes coisas Sobra [h²+2xh-4h]/h. Como eu só tenho termos em função de "h" em cima, eu posso colocá-lo em evidência no numerador, como a gente já vem fazendo em outros exercícios.
    Então, "h" aqui em cima, que multiplica [h+2x-4]/h. Esses "h" se cancelam, e aí vai sobrar aqui o limite, quando "h" tende a 0, de h+2x-4.
    Repare que o limite é quando "h" tende a 0. Portanto, esse "h" aqui vai para zero e aí a resposta da nossa derivada é 2x-4.
    2x-4 é, portanto, a derivada da função f(x)=x²-4x. E, obviamente, a gente não precisa de ponto nenhum agora, porque ele não está pedindo.
    Ele só quer uma fórmula para f'. Então, essa é a nossa fórmula para f'(x). ...

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