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Derivada como função - Teoria - parte 2

Continuação da aula anterior, apresentando mais técnicas de derivação: regra do produto e do quociente. Derivada de funções trigonométricas simples. Derivadas de ordem superior.

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  • play_arrowConceito de tangentes - Teoria

    lockEquação da reta tangente - Teoria

    lockDerivada como função - Teoria - parte 1

    lockDerivada como função - Teoria - parte 2

    lockRegras de derivação - Teoria - parte 1

    lockRegras de derivação - Teoria - parte 2

    lockRegra da cadeia - Teoria

    lockGráficos e derivadas - Teoria

    lockRegra de L’Hôpital - Teoria

    lockEsboço de curvas - Teoria

    lockProblemas de otimização - Teoria

    lockResumo - Derivadas - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto. Vamos para mais uma aula de Cálculo I.
    Vamos agora observar o teorema. Se "f" for diferenciável ou derivável em "a", então, a função "f" é contínua em "a".
    Essa é uma derivada importante. É um conceito muito importante.
    Mas, agora, quando uma função pode não ser diferenciável? Ora, percebam Nesse caso aqui, quando eu tenho uma quina no ponto x=a, nesse ponto aqui, a função não é derivável.
    Isso aqui é um indício sempre, de que quando você observar uma quina no gráfico da função, não é derivável naquele determinado ponto. Quando existe uma descontinuidade, exatamente aquele conceito de que a gente acabou de falar Uma função quando é descontínua em um ponto x=a, ela também não é derivável nesse ponto.
    Ela só vai ser derivável quando for contínua. E aí, esse terceiro ponto aqui nos afirma sobre a reta tangente vertical, que também é um outro caso aqui.
    Então, vou dar uma circulada nesse caso da descontinuidade, que é também importante ficar de olho. E aqui, quando tem uma reta tangente vertical.
    Também, é um caso que temos que observar. Aqui também, a função não pode ser diferenciável.
    Então, toda vez que a gente tiver graficamente esses três casos aqui, são exemplos em que uma função não pode ser diferenciável ou derivável. Agora, quando eu tenho uma função "f", como eu determino o gráfico de f'?
    Por exemplo, essa função aqui é f(x), essa função toda aqui. Como eu vou chegar nesse gráfico, que é o gráfico da função f'?
    Ora, é muito simples. Existem algumas observações que a gente precisa fazer aqui.
    Toda vez, que na função "f", eu tiver ou um ponto de mínimo local A gente vai definir isso melhor nas próximas aulas, mas perceba que quando a inclinação da reta tangente nesse ponto que nós temos aqui, que está entre 0 e 1, mas eu não sei exatamente que ponto é. Eu só sei aqui que a inclinação da reta tangente é 0, concordam?
    A reta tangente aqui não tem nenhuma inclinação. Outro caso, é aqui esse ponto "P", que a inclinação da reta também é 0.
    E, aqui, a inclinação da reta tangente no ponto "C" também é 0. Toda vez que a gente fala que a inclinação da reta tangente é 0, a gente pode falar alguma coisa sobre f', concorda?
    Lembra-se que eu falei nas últimas aulas que derivada é sempre sinônimo de inclinação da reta tangente? Eu falei isso para você.
    Mandei inclusive você escrever aí nas suas anotações, que derivada é sinônimo de inclinação da reta tangente em um ponto "P" qualquer. Lembra-se disso?
    Se eu estou falando exatamente isso, e se eu estou falando aqui que a reta tangente no ponto "A" não tem inclinação, significa que a derivada f' nesse ponto é 0, concorda? Então, observe aqui do lado que toda vez O ponto "A", que aqui estava como inclinação 0, a derivada corta aqui no 0.
    O ponto "B", cuja inclinação da reta tangente é 0 Portanto, a derivada também é 0, passa por esse ponto. E o mesmo, no ponto "C".
    Repare que a inclinação da reta tangente é 0. Então, o ponto "C" passa pelo 0.
    Sempre, essa é a primeira observação que a gente tem que fazer. Toda vez que a inclinação da reta tangente, em alguns pontos, do nosso gráfico de função "f", for 0, significa que a derivada f' também passa pelo 0.
    Ela corta o eixo. Ora, algumas outras observações podem ser feitas.
    Repare no seguinte Essa função aqui entre "P" e "C", por exemplo, é uma função, que se você for traçando várias retas tangentes em vários pontos quaisquer que eu tenha aqui Se eu traçar uma reta tangente aqui, ou aqui, ou aqui Perceba que todas essas retas entre "B" e "C" vão ser retas decrescentes. Concorda comigo?
    Ora, se são retas decrescentes, a gente já viu lá na primeira parte do curso que uma reta descrescente é uma reta cujo "A" é menor do que 0, concorda? O coeficiente angular, ou seja, a inclinação dessa reta é negativa.
    Mas você lembra que derivada é a inclinação da reta tangente? Então, se nesses pontos todos, a reta tangente tem inclinação negativa significa o quê?
    Que a derivada também é negativa. Por isso, que entre os pontos "B" e "C", f' está abaixo do eixo "y", justamente porque ela é negativa.
    Agora, observe, entre "C" e "P". Repare Se eu traçar aqui infinitos pontos, e em cada um desses pontos eu for traçando as retas tangentes, repare que todas essas retas tangentes vão ter inclinação positiva.
    Lembra-se do que é uma inclinação positiva? O "A" é positivo.
    É uma reta crescente. Se você for traçar a tangente aqui, em todos esses pontos até o "P", todas elas vão ser funções afins, a reta vai representar uma função de primeiro grau afim crescente.
    Portanto, não é magia negra, que a gente tem que, entre "C" e "P", a nossa curva vai estar sempre acima do eixo "x", a f'. Repare Ela está sempre positiva.
    Já as inclinações da reta tangente de "f" nesses pontos, também são positivos. A mesma coisa aqui entre esse ponto antes do "A".
    Você vai verificando aqui que se você pegar um ponto aqui e outro ali antes do "A", de novo, as retas tangentes vão ser decrescentes, o que justifica que, na f', a inclinação é negativa, justamente por isso. Ok, gente?
    Então, essa é uma observação inicial para a gente entender como determinar o gráfico da derivada, da função derivada y=f'(x), tendo o gráfico da função "f". Esse triângulo aqui nada mais é A gente sabe que ela vai estar crescente As retas tangentes que eu for traçando nos infinitos pontos vão estar crescentes, sempre com o "A" positivo.
    Então, obviamente, depois do ponto "P", elas vão continuar acima. A única diferença vai ser com relação à inclinação.
    Isso aqui é uma coisa que a gente vai trabalhar nas aulas futuras. É só pra mostrar aqui que aqui está um pouco mais íngreme que essa outra parte aqui nesse crescimento.
    Mas isso vai ser determinado nas aulas futuras. ...

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