Derivadas Aprenda tudo que você precisa

  • play_arrow 11 videos
  • subject1 Resumo
lock

Esse conteúdo é exclusivo para assinantes.

Assine o Plano Premium e tenha acesso ilimitado a todas as aulas

AssinarVeja aula grátis

Equação da reta tangente - Teoria

Continuação da aula anterior, apresentando agora a derivada como uma função f’(x), de maneira intuitiva. Início da formulação do conceito de função derivada.

  • thumb_down 1
  • Plano completo
  • Transcrição
  • play_arrowConceito de tangentes - Teoria

    lockEquação da reta tangente - Teoria

    lockDerivada como função - Teoria - parte 1

    lockDerivada como função - Teoria - parte 2

    lockRegras de derivação - Teoria - parte 1

    lockRegras de derivação - Teoria - parte 2

    lockRegra da cadeia - Teoria

    lockGráficos e derivadas - Teoria

    lockRegra de L’Hôpital - Teoria

    lockEsboço de curvas - Teoria

    lockProblemas de otimização - Teoria

    lockResumo - Derivadas - Resumo

  • Vamos dar continuidade à nossa aula, falando agora sobre a chamada equação da reta tangente. Então, de novo, a gente vai formalizar o conceito dessa equação da reta.
    De novo, nós temos aqui a nossa função f(x). De novo, nós temos o nosso ponto "P" e o nosso ponto "Q".
    Aqui, a gente traçou em azul uma reta secante, que passa pelos dois pontos. E essa reta "t" é a reta tangente que passa por "P".
    Só que agora a gente deu uma modificada. A gente agora chamou as coordenadas do ponto "P" como sendo "a" e f(a), e as coordenadas do ponto "Q" como sendo a+h e f(a+h). Lembre-se que f(a+h) é sempre o que está correspondente aqui no eixo "y". E aqui, f(a) obviamente está correspondido aqui. Então, vamos fazer a mesma coisa.
    A distância entre o ponto "P" e o ponto "Q" nada mais é do que a inclinação dessa reta que tá passando por "P" e "Q", nada mais é do que justamente aquilo que a gente já fez, [f(a+h)-f(a)]/h. Por que isso?
    Perceba que a distância De novo, vai ter esse triângulo aqui, que a gente vai formar, esse triângulo retângulo. Então, observe, a distância delta "y" que nós temos aqui é justamente a distância desse ponto daqui para esse ponto aqui.
    Por isso, o f(a+h)-f(a) aqui no numerador. Enquanto que aqui embaixo a distância desse outro cateto aqui vai ser justamente a+h-a.
    Então, a gente já sabe que a+h-a vai nos dar somente "h". É por isso que aqui embaixo só tenho "h".
    É como se isso aqui fosse delta "y" sobre delta "x". Mesma coisa.
    Ok, gente? A gente só mudou aqui essas ordenadas.
    Essas coordenadas aqui foram modificadas. Somente isso, porque essa vai ser a simbologia que a gente vai usar para calcular a derivada, para definir a derivada.
    Com essa nomenclatura aqui. Portanto, a derivada de uma função "f" em um número "a" qualquer, que a gente denota por f'(a), nada mais é que o limite quando "h" tende a 0 de [f(a+h)-f(a)]/h. Ou seja, ela vai ser nada mais que aquela analogia que nós fizemos na nossa interpretação geométrica, vai ser o limite das retas secantes até que elas cheguem à reta tangente.
    Então, obviamente isso vai acontecer se o limite existir. Então, essa é a principal característica, a definição principal de derivada.
    A gente também sempre vai formalizar, porque eu sempre gosto de formalizar e falar, que a derivada nada mais é do que o coeficiente angular, popularmente conhecido como inclinação da reta tangente. Então, toda vez que eu estou perguntando para você qual é a derivada em determinado ponto, eu estou determinando qual é a inclinação da reta tangente em um determinado ponto aleatório "P", por exemplo.
    Portanto, vamos determinar aqui e resolver um exemplo. Encontre a derivada da função f(x)=x²+5x+8 em um número "a" qualquer Então, eu não estou pedindo um número, mas uma coisa bem genérica em qualquer ponto "a", usando o conceito de derivada pela definição. Então, aquela fórmula que a gente viu antes é muito importante para você agora.
    A gente sempre tem que ter ela em mente. Que fórmula é essa?
    É aquela fórmula lá. O limite, quando "h" tende a 0, de [f(a+h)-f(a)]/h. Lembrar aqui que "a" é um valor de "x" qualquer.
    Está bom? Qualquer valor.
    Podia ser aqui o número 5, o número 7, 20, qualquer um. Só que aqui a gente está fazendo bem geral.
    Portanto, um número "a" real qualquer. A nossa função "f" é x²+5x+8.
    Portanto, como determinar esse conceito? Vamos lá.
    Eu preciso calcular esse limite, mas eu também primeiro preciso determinar quem vai ser o meu numerador e quem vai ser o meu denominador. Portanto, vamos resolver aqui.
    Eu vou ter limite, quando "h" tende a 0, de f(a+h). O que significa isso?
    Eu vou pegar, e na função "f", que é essa daqui, no lugar de "x", eu vou substituir por a+h. Tudo bem?
    Então, vamos lá. Vai ficar (a+h)²+5.(a+h)+8. E agora, f(a). f(a) significa que no lugar de "x", na nossa função "f", eu vou colocar o valor "a". Então menos Aí, tudo isso vai ficar o quê?
    Vai ficar a²+5a+8. Tudo isso daqui vai ficar sobre "h".
    Está bom? Então, vamos continuar aqui.
    Limite, quando "h" tende a 0 Vou abrir esse produto notável. a²+2ah+h².
    Efetuando a distributiva aqui, vamos ficar com 5a+5h+8 menos Vamos inverter todos esses sinais aqui. -a²-5a-8.
    E aí, tudo isso daqui vai ficar sobre "h". A gente pode também efetuar alguns cortes e simplificações.
    Esse a² vai cortar com esse a². Esse 8 corta com esse 8.
    Esse que nós temos aqui Acho que é só isso. Não, temos esse 5a também que corta com esse 5a.
    Bom, então, a gente vai ficar Finalizando aqui, [h²+2ah+5h]/h. Repare que aqui que todos os termos desse limite estão em função de "h".
    Portanto, é possível colocar em evidência esse "h" daqui. Então, a gente coloca em evidência.
    [h(h+2a+5)]/h. Esses "h" cortam, e aí a gente fica com o limite, quando "h" tende a 0, de obviamente h+2a+5, que foi o que sobrou.
    Repare que aqui o "h" tende a 0. Portanto, a resposta é 2a+5.
    Então, lembrando, a gente observa que isso aqui não é um número, por quê? Porque eu estou fazendo de forma genérica.
    Vou colocar aqui: "Onde 'a' é um número qualquer." Eu posso colocar qualquer valor de "a" aqui e vou determinar a derivada naquele ponto.
    Mas como, por enquanto, não estou atribuindo valores específicos para "a", o valor da nossa derivada vai ficar em função dele. Então, a resposta é 2a+5.
    Então, observe que aqui é somente uma questão de ir com calma. É bem simples.
    É um pouquinho trabalhoso, mas basta você substituir os valores da função para determinar qual vai ser a derivada pela definição. Então, toda vez que ele falar "derivada pela definição", você já sabe que precisa, obrigatoriamente, usar essa fórmula aqui de limite.
    Vamos determinar que a equação da reta tangente pode ser escrita dessa maneira aqui também. Essa é a forma mais usual depois daquela definição para a gente definir uma reta tangente.
    y=f'(a).(x-a)+f(a). Vamos, por exemplo, determinar a equação da reta tangente à curva f(x). A mesma coisa que a gente fez antes.
    x²+5x+8, igualzinho ao exercício anterior, no ponto x=1. Ora, então, o que a gente vai determinar aqui?
    Primeiramente, eu preciso determinar essa equação aqui e qual ponto que eu tenho. Quando a gente fala x=1, olhando para a nossa fórmula da equação da reta tangente, esse ponto de que ele está falando é exatamente o "a", aquele número real que eu disse.
    No outro exercício, a gente não tinha. Ele pedia um ponto "a" qualquer.
    Mas agora nós temos esse ponto "a". Portanto, eu posso falar aqui que a=1.
    Quando ele fala x=1 é o mesmo que falar que a=1. Então, montando essa equação, eu já sei que vou ter y=f'(1).(x-1)+f(1). Tudo bem, gente?
    Agora, quanto que é f'(1), esse primeiro termo daqui? A gente tem que abrir um parênteses aqui rapidamente.
    Por quê? Repare o seguinte.
    Nós vimos pelo exercício anterior Observe nas suas anotações que f'(x) em um ponto "a" qualquer, para aquela nossa função, valia exatamente 2a+5, para um número "a" qualquer. Só que agora, nós sabemos quem é esse "a".
    Esse "a" vale 1. Então, na verdade, quando eu quero calcular f'(1), eu estou calculando 2.(1)+5. Portanto, f'(1) nada mais é do que 2+5=7. Então, eu já sei quanto vale f'(1). Obviamente, essa função aqui é igual à do exercício anterior.
    Então, basta eu pegar a resposta que eu tinha antes e substituir. Mas se fosse uma função diferente, eu teria que fazer aquele mesmo processo que a gente fez antes, calcular aquele limite todo e chegar àquele valor.
    Obviamente, daqui a pouco nós vamos melhorar nossa definição e, então, vamos realizar de outra maneira essa obtenção da derivada, mas por enquanto é assim. E falta determinar quem é f(1). f(1) é fácil, não precisa fazer conta nenhuma. É só substituir aqui na função.
    ...

Tópicos relacionados

Revisão - Números, sequências e funções

Revisão - Números, sequências e funções

5 Vídeos 1 Resumo
Limites

Limites

9 Vídeos 4 Exercícios 1 Resumo
Integrais

Integrais

9 Vídeos 1 Resumo

Temos o plano de estudo perfeito para você!

R$ 29,90 /mêsCancele quando quiser, sem multa

E mais

  • check Soluções passo a passo
  • check Resumos por tópicos
  • check Salve para ver depois
  • check Disciplinas ilimitadas
  • check Filtros exclusivos de busca