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Esboço de curvas - Teoria

Determinação de gráficos de funções complicadas através dos conceitos de derivação. Construção de um roteiro para realização destes esboços gráficos. Recordação dos conceitos de aulas anteriores: crescimento/decrescimento, concavidade, mínimos e máximos, pontos de inflexão.

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  • play_arrowConceito de tangentes - Teoria

    lockEquação da reta tangente - Teoria

    lockDerivada como função - Teoria (parte 1)

    lockDerivada como função - Teoria (parte 2)

    lockRegras de derivação - Teoria (parte 1)

    lockRegras de derivação - Teoria (parte 2)

    lockRegra da cadeia - Teoria

    lockGráficos e derivadas - Teoria

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    lockEsboço de curvas - Teoria

    lockProblemas de otimização - Teoria

    lockDerivadas - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto,. Tudo bem com vocês?
    Vamos agora determinar o esboço de curvas utilizando os conceitos de derivação. Para isso, nós precisamos elaborar um roteiro para que essas curvas sejam feitas.
    A gente sempre vai seguir esse roteiro na hora de a gente esboçar esse gráficos. Eu sugiro que você faça o mesmo.
    Inicialmente, a gente sempre determina, para esboçar curvas de uma determinada função, o domínio da mesma. Depois, as interseções com os eixos.
    A simetria, somente em alguns casos, para auxiliar no nosso traçado. A verificação de assíntotas.
    Intervalos de crescimento e decrescimento. Lembrem-se que a gente viu que os intervalos de crescimento e decrescimento são obtidos através do estudo do sinal da função f' da primeira derivada.
    Concavidade e ponto de inflexão, visto nas aulas anteriores, que isso daqui é sinônimo sempre de f''. E, finalmente, o esboço da curva.
    A gente também pode lembrar que as assíntotas podem ser de dois tipos. Quando a gente fala das assíntotas horizontais, a gente está fazendo o limite da função quando "x" tende ao infinito.
    E as verticais, que a gente também tem que lembrar, porque elas são importantes, é quando algum elemento foi excluído do domínio. A gente sempre tem que olhar para o domínio da função e verificar aquele cara que foi excluído do domínio para a verificação das assíntotas.
    Então, com base no roteiro anterior, vamos esboçar a curva de f(x)=x.e^x.
    Para isso, vamos seguir o roteiro exemplificado. Inicialmente, pelo primeiro tópico do nosso roteiro, precisamos verificar, nessa função f(x)=xe^x, qual é o domínio da mesma. Note que o domínio dessa função é o próprio conjunto dos números reais.
    Não existe nenhum impedimento aqui que nos afirme que existe uma indeterminação ou algo do tipo. Nessa função, a exponencial é contínua em todos os seus domínios, não tem nenhuma descontinuidade, a função "x" também.
    Portanto, o domínio é reais. O segundo tópico fala sobre a intercessão com os eixos.
    Então, a gente vê a intercessão com o eixo, e tem que fazer primeiro f(x) ser igual a 0, para fazer uma das intercessões com os eixos. Com isso, a gente tem que e^x é sempre diferente de 0.
    Com isso, a gente descobre que "x" é sempre igual a 0. E, finalmente, nós temos quando o "y" vai ser igual a 0.
    Se x=0, também y=0. Então, a intercessão com o eixo é essa, no ponto "P" igual a (0,0). O terceiro tópico fala a respeito da simetria, e nesse caso não existe nenhuma simetria nessa função.
    Essa função não tem nenhuma particularidade de ser uma função par ou ímpar. Portanto, não é necessário utilizar essa parte aqui que diz respeito à simetria.
    O quarto tópico fala a respeito das assíntotas, que é muito importante a gente verificar. Então, vamos fazer aqui para verificarmos as assíntotas horizontais.
    Devemos determinar o limite quando "x" tende a infinito da função f(x). E aí, se você resolve esse limite, a gente vai obter o limite, quando "x" tende a infinito, de x.
    e^x. E aí, a gente vai acabar transformando, para resolver, porque esse produto é uma indeterminação.
    Na verdade, não é uma indeterminação, porque eu tenho "x" tendendo ao infinito, e o exponencial também tendendo ao infinito. Então, esses valores acabam indo para o infinito.
    Esses caras aqui vão para o infinito. Agora, o limite, quando "x" tende a -infinito, da função f(x) Vai ficar o limite, quando "x" tende a -infinito, de x.e^x.
    A exponencial, quando "x" tende a -infinito, vai para 0, e o "x" vai para -infinito. Isso daqui é uma indeterminação matemática.
    O produto 0 vezes o infinito, o que faz com que nós tenhamos que reescrever o limite da seguinte forma Limite, quando "x" tende a -infinito, de x/(e^-x). O que eu fiz aqui nada mais foi que transformar esse produto em um quociente.
    Eu não mudei nada. Eu simplesmente passei o exponencial para o denominador, trocando o sinal da mesma.
    É a mesma coisa. E aí, sim, eu posso usar L'Hôpital.
    Porque esse cara daqui vai acabar sendo esse valor aqui. A gente vai conseguir calcular.
    Esse cara vai ser 0. E, com isso, vai ser possível determinar.
    Isso daqui é a mesma coisa que o limite, quando "x" tende a -infinito, de 1/(-e^-x). Então, eu vou achar 0 aqui, como resposta desse limite.
    Portanto, eu já sei que y=0 é uma das assíntotas horizontais da curva que nós temos. Com respeito às assíntotas verticais, repare que nenhum elemento foi excluído do nosso domínio.
    Portanto, se nenhum elemento foi excluído do nosso domínio, não há assíntotas verticais que nós tenhamos aqui. Podemos afirmar isso aqui porque nenhum elemento foi excluído do nosso domínio.
    O quinto tópico está relacionado aos intervalos de crescimento e decrescimento. Então, a gente vai fazer isso derivando.
    Lembra-se? Eu preciso fazer a derivada f'.
    Repare que esse é um produto de funções. Portanto, precisamos, ao realizar a primeira derivada, efetuar a regra do produto.
    Derivada do primeiro com relação a "x", que é 1, vezes a normal do segundo, mais derivada do segundo, que é própria exponencial, vezes a normal do primeiro. Portanto, f'(x) é e^x+x.e^x.
    Aí, observe que a gente também pode falar, reescrevendo essa f'(x) como sendo x+1, pondo em evidência, vezes e^x. e^x é uma função sempre positiva.
    Portanto, só nos resta estudar o x+1. E o x+1 Como esse cara é sempre positivo, só resta estudar isso daqui.
    x+1 é uma função obviamente crescente que corta em -1. Aqui eu tenho "menos", e aqui eu tenho "mais".
    Então, se esse daqui eu tenho -1 com a minha raiz. Aqui, eu tenho o sinal da f', aqui eu tenho o comportamento da "f".
    Se antes de -1, a f' é negativa, e depois, positiva, significa que a "f" é decrescente nesse ponto, e aqui, crescente. Eu tenho, em -1, um ponto de mínimo local.
    Isso é muito importante de se verificar. Então, a gente pode falar que "f" é crescente em -1 até +infinito, enquanto "f" é decrescente em -infinito até -1.
    A concavidade, que é o sexto ponto, que a gente vai utilizar, vai ser a partir da realização de f''(x), sendo igual a 0. Eu preciso derivar isso aqui novamente, de novo, utilizando a regra do produto.
    Se eu faço essa derivação, eu vou encontrar (x+2).e^x, a segunda derivada.
    Mesma coisa, tá, gente? A exponencial é sempre positiva, e nos resta estudar o quê?
    x+2, concorda comigo? Aí, a gente já sabe que x+2 é uma função afim crescente que corta no -2, aqui menos, aqui mais.
    E, de novo, a gente pode falar. Se f'' Eu tenho aqui, a minha raiz é -2, antes do -2, eu tenho negativo, e depois, positivo, o comportamento de "f" é que a concavidade é para baixo, CVB, e aqui, a concavidade é para cima, CVC.
    A gente acaba de verificar que o x=-2 é o chamado ponto de inflexão, porque você tem uma mudança na concavidade Na verdade, o ponto mesmo é um ponto "P" cujas coordenadas vão ser -2 e -2.e².
    Lembre-se sempre que ponto não é só a coordenada "x". Eu preciso pegar tanto a coordenada "x", quanto a coordenada "y" correspondente a esse ponto.
    E aí, finalmente, eu posso falar que "f" é côncava para cima em -2 até +infinito. E "f" é côncava para baixo no intervalo de -infinito até -2.
    Com isso, é possível fazer um esboço do gráfico da nossa curva, atentando para todos os itens anteriores que foram vistos. Esse esboço aqui, obviamente, não é um esboço maravilhoso.
    Vocês, tenho certeza, conseguem fazer melhor, com régua, com a simetria, observando direito a escala, etc. É possível observar que o gráfico tem que passar pelo (0,0) conforme já foi visto. E ele tem mais ou menos esse jeito aqui.
    Ok, gente? Essa é mais ou menos a curva "f" da nossa função x.
    e^x. Refaça os exercícios dessa aula para que você tenha maior conhecimento a respeito e pratique outros exercícios de esboços de curvas.
    Eu espero você na próxima aula, que vai falar sobre os problemas de otimização. Até lá.
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