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Gráficos e derivadas - Teoria

Noções sobre o crescimento/decrescimento de uma função, concavidade, máximos e mínimos locais e pontos de inflexão.

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  • play_arrowConceito de tangentes - Teoria

    lockEquação da reta tangente - Teoria

    lockDerivada como função - Teoria - parte 1

    lockDerivada como função - Teoria - parte 2

    lockRegras de derivação - Teoria - parte 1

    lockRegras de derivação - Teoria - parte 2

    lockRegra da cadeia - Teoria

    lockGráficos e derivadas - Teoria

    lockRegra de L’Hôpital - Teoria

    lockEsboço de curvas - Teoria

    lockProblemas de otimização - Teoria

    lockResumo - Derivadas - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto. Hoje, teremos uma aula muito importante a respeito de gráficos e derivadas.
    Inicialmente, vamos verificar o que f' nos diz a respeito de "f". Lembra-se que, na última aula e nas aulas anteriores, nós vimos o que "f" pode dizer sobre f'?
    Ou seja, a gente pegou o gráfico da "f", e aí, a gente montou o gráfico da f'. Mas e o contrário?
    E se nós tivermos f' e quisermos saber a respeito da função "f"? Uma coisa interessante diz respeito à questão do crescimento e do decrescimento de funções.
    Quando uma função é crescente? Nós vimos que uma função é crescente quando a gente traça pontos e esses pontos nos mostram retas tangentes com inclinação positiva, e intervalos de decrescimento, quando a reta tangente na função tem inclinação negativa.
    Então, vamos tentar verificar essas definições aqui. Se a função f'(x) Ou seja, se a derivada é positiva em um intervalo, então "f" é crescente nesse mesmo intervalo. Se f'(x) é negativa em um intervalo, então "f" é decrescente nesse mesmo intervalo. Para isso Ou seja, para verificar quando a função é f' é positiva e quando ela é negativa, é necessário realizar um estudo do sinal.
    Por exemplo, seja f(x)=2x³-4x. Verifique onde "f" é crescente e decrescente.
    Então, a gente já sabe que para verificar crescimento e decrescimento, a gente tem que achar a derivada f' e fazer o estudo do sinal dessa função. Portanto, f'(x) é igual a Utilizando a regra do peteleco 3 vezes 2, 6x²-4. Vamos fazer o estudo do sinal dessa função.
    6x²-4=0. 6x²=4.
    x²=4/6. Portanto, x²=2/3.
    E "x" é igual a ±raiz de 2/3. Vamos fazer o estudo do sinal?
    Essa função f' é uma função quadrática, uma função de segundo grau, como a gente já sabe. Então, ela é uma parábola.
    E o "A" dela é positivo, então a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a gente fizer aqui um esboço dessa concavidade voltada para cima, nós vamos cortar aqui o eixo nessas duas raízes, -raiz de 2/3 e raiz de 2/3.
    Portanto, o estudo do sinal nos afirma que, na "barriguinha", ela é negativa e nas extremidades a função é positiva. Portanto, como nós já sabemos, quando f'(x) for positiva, o intervalo diz respeito ao crescimento. Lembre-se que aqui estamos estudando f'.
    Só que, então a gente pode falar a respeito do comportamento de "f" nessas duas raízes. -raiz de 2/3 aqui, e a outra raiz é raiz quadrada de 2/3.
    Portanto, antes de f', antes de -raiz de 2/3, o que acontece com o sinal da f'? Positiva.
    Se f' é positiva, então "f" é crescente nesse intervalo antes de -raiz de 2/3. Entre -raiz de 2/3 e raiz de 2/3, f' é negativa.
    Portanto, a gente pode falar que "f" é decrescente nesse intervalo. Eu faço as setas para a gente verificar facilmente como há um intervalo de crescimento e decrescimento.
    Eu sugiro que você também faça essa analogia. E depois, daqui em diante, essa nossa raiz é positiva.
    Portanto, a partir desse intervalo, a função acaba por ser crescente. Então, nesse intervalo a gente tem que o crescimento da função, como ela está aqui, "f" é crescente no intervalo de -infinito aberto até -raiz de 2/3 fechado, ponto-e-vírgula.
    Raiz de 2/3 fechado, até +infinito. E podemos falar que "f" é decrescente em -raiz de 2/3 até +raiz de 2/3.
    A gente sempre representa intervalos de crescimento e decrescimento por intervalos assim, a não ser que seja -infinito e +infinito, que a gente sempre representa em intervalo aberto. E a gente não usa união na nomenclatura de crescimento e decrescimento.
    Os intervalos são separados sempre por ponto-e-vírgula. O teste da primeira derivada.
    Seja "c" um número crítico de uma função. Isto é, o valor de "x" para o qual a reta tg é horizontal.
    Número crítico nada mais é do que a gente pegar, de uma função "f", o valor que a gente obtém quando iguala f' a 0. Aqui, a gente tem um valor de x=c quando a gente faz isso.
    Por isso, é um número crítico. Se o sinal de f' mudar de positivo para negativo em "c", então "f" tem um máximo local em "c".
    Perceba que aqui a gente tinha um sinal que era positivo, a reta tangente tinha uma inclinação positiva e passou a ter uma inclinação negativa aqui. Então, a gente tem um máximo local aqui nesse ponto, que é o "c".
    Se o sinal de f' mudar de negativo para positivo em "c", então "f" tem um mínimo local em "c". Repare que ela tinha uma inclinação negativa e passou a ter uma inclinação positiva.
    Então, aqui, a gente tem um ponto de mínimo em "c". E se não acontecer, se f' não mudar de sinal em "c", então "f" não tem nem máximo, nem mínimo.
    Perceba que, se não houver mudança de sinal, se aqui ela continuar com a inclinação positiva, e aqui também, significa que aqui não ocorreu nada, não tem nem máximo, nem mínimo. Agora, o que f'' diz a respeito de "f"?
    Se o gráfico de "f" estiver acima de todas as suas tangentes em um intervalo I, então ela é dita côncava para cima neste intervalo. Caso contrário, é dita côncava para baixo.
    Então, toda vez que f'' for positiva, a gente vai falar que a função é côncava para cima, CVC. Quando f'' for negativa, a gente vai falar que a função é CVB, côncava para baixo.
    Para isso, a gente vai ter que sempre fazer, assim como a gente fez no intervalo de crescimento e decrescimento, o estudo do sinal. Mas é o estudo do sinal da f''.
    A f', a gente fazia para o crescimento e decrescimento. Toda vez que a gente estiver falando de crescimento e decrescimento Vou fazer uma observação aqui.
    Crescimento e decrescimento, você sempre associa a f'. Concavidade, você sempre associa a f''.
    Portanto, se f'' é positiva, o gráfico de "f" é côncavo para cima em "I". Se f'' é negativo, então o gráfico de "f" é côncavo para baixo em "I", como nós já dissemos no slide anterior.
    Esse côncavo para cima, a gente usa o sinal de CVC, e côncavo para baixo, de CVB. Não se esqueçam dessa nomenclatura, que é muito importante para a verificação dos conceitos.
    Um ponto P na curva y=f(x) é chamado de ponto de inflexão se "f" é contínua no ponto e a curva muda de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa em "P". Então, se nós tivermos um intervalo de, por exemplo, f'' Vou colocar aqui um intervalo, um valor "a" e um valor "b".
    Se aqui a gente tem positivo, negativo e positivo, significa que, antes de "a", "f" era côncava para cima, CVC, porque a f'' era positiva. Se virou negativa, é porque virou côncava para baixo.
    E se de novo for positiva, a gente a tem côncava para cima. Portanto, os pontos "a" e "b" são pontos onde há mudança da concavidade.
    Era côncava para cima, virou côncava para baixo. Era côncava para baixo, virou côncava para cima.
    Então, a gente pode falar que os pontos, nesse exemplo genérico que eu tenho aqui, "a" e "b" são os chamados "pontos de inflexão do gráfico", porque há essa mudança de concavidade. O teste da segunda derivada nos afirma que se f'' é contínua nas vizinhanças de "c", então Se f'(c)=0 e f''(c) é positiva, então nós temos o chamado mínimo local. E se f'(c)=0, porém f''(c) é negativa, nós temos o máximo local. São propriedades importantes que a gente vai utilizar em alguns exercícios futuros, esse teste da segunda derivada, assim como nós temos também, como já foi apresentado nos slides anteriores, o teste da primeira derivada.
    Ok, gente? Por hoje é só.
    Na próxima aula, nós vamos começar a falar sobre os problemas de otimização, uma aula muito importante, finalizando esse segundo bloco de aulas da segunda parte do curso. Eu espero você.
    Até lá. ...

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