Derivadas - Problemas de otimização - Teoria | Aulas, resumos

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Problemas de otimização - Teoria

Utilização dos conceitos vistos nas aulas anteriores para resolução de problemas de otimização. Máximos e mínimos globais.

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  • play_arrowConceito de tangentes - Teoria

    lockEquação da reta tangente - Teoria

    lockDerivada como função - Teoria - parte 1

    lockDerivada como função - Teoria - parte 2

    lockRegras de derivação - Teoria - parte 1

    lockRegras de derivação - Teoria - parte 2

    lockRegra da cadeia - Teoria

    lockGráficos e derivadas - Teoria

    lockRegra de L’Hôpital - Teoria

    lockEsboço de curvas - Teoria

    lockProblemas de otimização - Teoria

    lockResumo - Derivadas - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto. Tudo bem?
    Hoje, nós vamos finalizar o nosso bloco de aulas a respeito de derivadas. Para isso, vamos observar o que são os chamados problemas de otimização.
    Para realizar esses problemas de otimização, que na verdade significam tornar ótimo ou ideal, extrair o melhor rendimento possível. Ou seja, vamos tentar resolver alguns problemas que maximizam ou minimizam determinados valores.
    São problemas de maximização ou minimização. E, obviamente, se você vem assistindo às aulas anteriores, pode perceber que isso tem muito a ver com derivada.
    A gente viu a última aula a respeito de máximos e mínimos locais, etc. Portanto, agora, a gente vai resolver problemas que estão relacionados a isso.
    Inicialmente, esses problemas de otimização estão relacionados com você compreender o problema para que depois seja possível fazer um diagrama e, finalmente, estabelecer uma notação nesse problema para depois resolvê-lo. Essas etapas são extremamente importantes para que você consiga realizar os problemas.
    Vamos verificar o primeiro exemplo. Um fazendeiro quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto, e tem 1200m de cerca.
    Não é preciso utilizar cerca ao longo de um rio, que está próximo a esse campo retangular. Quais são as dimensões máximas do campo que tem a maior área?
    Então, perceba que nós temos esse caso geral do nosso desenho. Sempre é importante a gente realizar o desenho do problema.
    Aqui, está o nosso campo retangular, e aqui a gente tem o nosso rio. É verificado que a gente não precisa cercar essa parte aqui onde passa o rio no campo.
    Ele fala aqui no problema que não é preciso utilizar cerca ao longo do rio. Isso significa que a gente não vai colocar nenhuma variável nessa parte do nosso retângulo.
    Então, a gente deseja maximizar, porque ele quer as dimensões máximas do campo que tem a maior área. Então, a gente deseja maximizar a área "A" do retângulo.
    Se "x" é a profundidade, e "y" é a largura do retângulo em metros, então, a gente pode expressar a área desse retângulo como sendo o produto de x.y A área de uma retângulo é o comprimento vezes a largura.
    Queremos expressar a função "A", que é a função da área, cujas dimensões a gente quer maximizar, como uma função de uma variável. Então, a gente vai ter que eliminar "y", expressando em termos de "x".
    Então, como ele fala que dispõe de 1.200m de cerca, significa que ele vai ter que cercar todo esse terreno retangular com 1.
    200m. Então, ele vai ter que passar a cerca aqui desse lado, aqui desse lado e aqui desse lado.
    Isso significa que eu posso escrever que 2x, a soma de x+x, mais "y", vai ter que usar os 1.200m de cerca.
    Concorda? E eu sei também que a área que eu quero maximizar é o produto de x.
    y. Mas, como a gente já viu, a gente precisa expressar a área como uma função de uma única variável, porque está me atrapalhando aqui.
    Então, a gente precisa eliminar "y" e expressá-lo em termos de "x". Então, eu vou isolar "y" dessa primeira equação.
    E y=1200-2x, concorda comigo? E agora eu vou pegar essa equação e vou substituir aqui embaixo no lugar de "y".
    Portanto, a área vai ficar igual a x(1200-2x), que é o valor de "y". Isso vai me dar, como área, 1200x-2x².
    Lembre-se que eu quero maximizar essa função aqui, a função área. Leiam o enunciado do exercício.
    Eu quero maximizar essa daqui. "Quais as dimensões máximas do campo que tem maior área?
    " Então, eu estou tratando da função "A". Observe que o domínio dessa função, a função área que eu quero fazer Repare que, para que a área exista, a gente tem que, obviamente, falar que essa dimensão vai de 0.
    Ela começa em 0, porque eu não posso ter dimensão negativa disso aqui. E aí eu tenho que resolver qual vai ser o domínio disso aqui.
    O domínio disso aqui vai nos afirmar que 1200x-2x² tem que ser maior ou igual a 0. Essa área também tem que existir.
    Essa área "A" que eu tenho aqui para cercar o terreno tem que ser maior ou igual a 0, senão não tem problema. Essa área tem que existir e tem que ser maior ou igual a 0.
    Portanto, -2x² é maior ou igual a 1200x, e aí eu vou obter que "x" vai ter que ser menor ou igual a 600. Então, meu domínio varia de 0 até 600.
    Ok, gente? Esse é o domínio da minha função A(x). Portanto, se eu quero determinar o que eu tenho a maior área, eu tenho que achar os valores críticos dessa função.
    Porque, se eu acho os valores críticos de "A", eu consigo determinar como ela vai ser máxima ou mínima, como eu maximizo ou não, ou minimizo essa função. Repare no seguinte Essa função é quadrática.
    Ela é de segundo grau. E repare em outra coisa.
    Se eu tivesse que esboçar o gráfico dessa função aqui, a função "A", como seria sua concavidade? Eu sei que ela é quadrática.
    Eu vou esboçá-la aqui mais ou menos, não vou esboçá-la corretamente. É só para se ter uma ideia.
    Essa função tem "a" negativo. Portanto, ela tem uma concavidade virada para baixo.
    Vamos supor que seja uma coisa mais ou menos desse jeito aqui. É uma função mais ou menos com concavidade virada para baixo.
    Portanto, repare que ela tem um ponto realmente de máximo local. E é exatamente isso que eu quero.
    Eu quero saber exatamente o valor de "x", que são as dimensões do terreno, que maximizam essa função área aqui. Realmente, ela está plausível.
    A função está muito plausível com a realidade do enunciado do problema. Eu tenho que maximizar essa função, e a função "A", pelo que sabemos, mais ou menos, só de observá-la, a gente verifica que ela realmente tem um máximo, já que a sua concavidade é voltada para baixo, pelo seu "a" negativo.
    Então, para eu achar o valor crítico de A(x), eu tenho que fazer, como a gente já sabe, A'(x)=0. Eu tenho que derivar a função área e igualar a 0.
    A derivada dessa função vai ser 1200-4x. Então, se eu averiguo isso aqui e igualo a 0, eu vou determinar x=300.
    Certo, gente? E isso, então, vai acontecer quando a função for máxima.
    Isso vai ser uma das dimensões que vai maximizar a nossa função. Só que é importante também notar que o valor máximo de "A" deve ocorrer ou nesse número crítico que a gente acabou de achar aqui, x=300, ou na outra extremidade do intervalo, que é quando "A" é igual a 0, e quando "A" é igual a 600.
    Então, toda vez que a gente tiver domínios que sejam fechados, como é o caso daqui, eu tenho que testar os extremos, sempre que eu tiver esses domínios da função fechados, que eu quero maximizar ou minimizar, eu tenho que testar os extremos. Portanto, vamos testar.
    A(0) É só substituir o 0 aqui. É 0.
    A(300), eu preciso fazer 1200.(300)-2.(300²). Isto daqui vai dar 180.
    000. E A(600), eu tenho que fazer 1200.(600)-2.(600²). Isso daqui vai me dar 0.
    Portanto, a gente já achou o valor que maximiza. Dentre esses três valores, esse é 0, esse é 180.
    000, e esse é 0. Qual é o valor de "x"?
    Qual é o valor da dimensão desse terreno que maximiza a função? A gente obviamente verifica que é 300.
    Então, as dimensões máximas do campo para que ele tenha a maior área vai ser quando "x" for igual a 300, e quando "y" Aí, é fácil achar o valor de "y". A gente tem aqui que y=1200-2x.
    Se eu sei que "x" vale 300 eu realizo essa operação e acho que 1200-600 vai dar 600. Então, aqui, a gente tem 300m, e y=600m.
    Esses são os valores que vão maximizar a nossa função área. Outro exemplo importante e muito ilustrativo com respeito aos problemas de otimização diz respeito a esse exercício, exemplo 2.
    Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.
    Perceba que a minimização do custo do metal..
    Quando ele fala custo Nesse caso aqui, perceba que eu tenho uma lata cilíndrica de raio "r", altura "h", área da base, como sendo pi.r².
    Portanto, a área da base e da tampa vai ser 2.pi.
    r², e a área lateral vai ser (2.pi.
    r.)h. Então, quando eu falo "custo do metal", eu estou me referindo à área total da minha lata cilíndrica.
    E a gente sabe, obviamente, que uma lata cilíndrica ...

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