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Regra da cadeia - Teoria

Apresentação dos tipos de funções trigonométricas inversas, seus gráficos e domínios. Derivadas de funções trigonométricas inversas.

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  • play_arrowConceito de tangentes - Teoria

    lockEquação da reta tangente - Teoria

    lockDerivada como função - Teoria - parte 1

    lockDerivada como função - Teoria - parte 2

    lockRegras de derivação - Teoria - parte 1

    lockRegras de derivação - Teoria - parte 2

    lockRegra da cadeia - Teoria

    lockGráficos e derivadas - Teoria

    lockRegra de L’Hôpital - Teoria

    lockEsboço de curvas - Teoria

    lockProblemas de otimização - Teoria

    lockResumo - Derivadas - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto. Tudo bem com vocês?
    Hoje, nós vamos dar continuidade às nossas aulas de Cálculo I, falando sobre a regra da cadeia. Suponha que, em uma prova de cálculo, você precise derivar a seguinte função [x²+8x]^27.
    Perceba esse expoente aqui. Pelas regras que a gente já viu sobre derivação, para expandir esse polinômio, a gente teria que expandi-lo 27 vezes.
    Então, para derivar, nós temos que abrir esse produto notável, e isso, obviamente, seria extremamente trabalhoso. Eu ficar efetuando essas contas (x²+8x).(x²+8x)(x²+8x). Então, efetuar todos esses produtos aqui 27 vezes seria extremamente trabalhoso.
    Portanto, a regra da cadeia é sempre utilizada naquele exemplo que nós temos de funções compostas. Por exemplo, funções que são do tipo [G(x)]^n. Então, a função F(x) é a função que a gente chama de "grandona", é o pacote grande. E a função G(x) é uma função pequena que mora dentro da "G". Então, é como se a gente tivesse esse formato aqui, uma [G(x)]^n dentro de uma função maior. Essa é a função maior, e aqui dentro a gente tem a função pequena.
    Então, teoricamente, na hora que eu derivar isso aqui, ficaria n[G(x)]^(n-1).G'(x). É isso que fala a regra da cadeia.
    Se "g" for derivável em "x", e "f" for derivável em g(x), então a função composta f[g(x)] é derivável em "x", e F' é dada por esse produto A gente deriva o pacote grande, que é essa função exterior f'[g(x)], e multiplica pela derivada, que a gente chama de argumento g'(x). Esta é a chamada regra da cadeia.
    Então, a gente já sabe que toda vez que a gente estiver falando de regra da cadeia, a gente está tratando de funções que são compostas, funções desse tipo f[g(x)]. Vamos dar agora um exemplo com relação a esse exercício aqui.
    Qual seria a derivada de F(x)=(x²+8x)^27? Perceba que essa função pode ser escrita nesse formato, e ela é muito parecida.
    É exatamente igual àquele nosso exemplo. Nós temos uma função grande que equivale a essa de fora e uma função menor que está presente aqui dentro.
    Portanto, F'(x) é, nada mais, nada menos, que a derivada do pacote grande, que é a regra do peteleco. 27, eu repito o meu argumento, e aí o meu expoente diminui em uma unidade.
    Mas está faltando ainda a derivada desse argumento aqui de dentro, da função pequena. Então, para isso, eu preciso derivar x²+8x, que vai dar 2x+8.
    Muito simples, não é? Pronto, a gente acabou de fazer essa regra da cadeia, derivando o pacote exterior e o pacote interior.
    Outra função Sabendo que f(x)=sen[cos(x)], qual seria a derivada f'(x)? Para isso, nós temos uma função exterior grande e um argumento pequeno.
    Então, se eu derivo o pacote grande, a derivada do seno é o cosseno, e eu repito o argumento cos(x), vezes a derivada do pacotinho, que é a derivada de cosseno, que é -sen(x). Portanto, esta é a derivada dessa função, utilizando a regra da cadeia.
    Sabemos que as funções exponencial de "x" e ln(x) têm esse formato. A função exponencial cresce até o infinito e a l(n) vai também cruzando nesse ponto aqui, que é o ponto 1 de "x". As derivadas são também bem simples.
    A derivada da função exponencial é sempre ela mesma. Mas vale a regra da cadeia, tanto na função exponencial, quanto na função logarítmica.
    A gente sabe que a função f(x)=ln(x) tem como derivada f'(x)=1/x sempre. Mas, por exemplo, se eu tiver a função f(x)=ln(3x), eu, de novo, tenho uma função composta, um pacote grande e um pacote pequeno. Portanto, a derivada da função ln(x) é 1/3x, que é exatamente esse termo daqui, vezes a derivada do pacote pequeno, que é 3. Eu posso até depois cortar esses termos, mas essa é a derivada.
    Vamos fazer alguns exercícios, utilizando a regra da cadeia. Vamos derivar ln(5x+8). Nós já sabemos e devemos lembrar que a derivada do ln(x) Se eu quero derivar ln pura, eu sei que a derivada é 1/x. Portanto, ln(5x+8) vai ser 1/(5x+8) vezes a derivada do pacote pequeno. Eu tenho o pacote grande, que eu já derivei, e é isso aqui, vezes o pacote pequeno, derivada de 5x+8, que é 5.
    Essa é a derivada. Exponencial de 5x, mesma coisa.
    Eu tenho um pacote grande e meu pacote pequeno está aqui. A derivada da exponencial é ela mesma.
    Então, eu repito a minha exponencial e multiplico pela derivada desse argumento aqui, que é 5. Essa outra aqui tem um pacote grande e um pacote pequeno.
    Derivada dessa exponencial O 3, a gente repete. Então, vai ser 3e^(8x²), vezes a derivada desse argumento, que é 8x². Vai ser 16x.
    Aí, depois, eu posso até efetuar esse produto. 48xe^(8x²). E, finalmente, ln{cos[sen(x)]}. Perceba que essas são duas regras da cadeia dentro de um único exercício.
    A derivada do ln{cos[sen(x)]} Primeiro, eu derivo o pacote maior, depois o menor, depois o pequeno. Portanto, a derivada do ln do cosseno vai ser 1/{cos[sen(x)]} vezes a derivada do cos(x). Qual vai ser a derivada do cosseno?
    Vezes -{sen(x).[sen(x)]}, vezes a derivada do seno, que é cos(x). As funções trigonométricas inversas têm também suas derivadas.
    Essa função aqui é a função sen(x), que nós já conhecemos. O domínio varia de -pi/2 até pi/2, e a imagem varia sempre de -1 a +1.
    Se a gente traçar uma reta y=x, pegar a nossa função seno e espelhá-la na y=x, chegaremos à função arcsen(x), cujo domínio varia entre -1 e 1, e a imagem de -pi/2 até pi/2. Repare que arcsen(x) tem o domínio e imagem trocadas com relação a sen(x). Obviamente, que é uma função inversa.
    Mas, lembre-se, nós só chamamos de arco seno as funções cuja imagem varia de -pi/2 até pi/2, e o domínio, de -1 a 1. A função cos(x) tem esse jeito, e se a gente novamente espelha essa função em laranja na reta y=x, que funciona como um espelho, nós achamos a função arccos(x), que tem domínio variando de -1 a 1, e imagem, de 0 até pi. Finalmente, a função arco tangente.
    A gente tem a função tan(x), que tem domínio de -pi/2 até pi/2, e imagem, reais. De novo, quando espelhamos pela reta y=x, a gente tem essa função arctan(x). Observe que a função arctan(x) tem algumas peculiaridades. Ela apresenta duas assíntotas horizontais.
    Nós já vimos isso anteriormente. Nós temos uma assíntota horizontal aqui e uma assíntota horizontal aqui.
    Portanto, o limite, quando "x" tende a -infinito, para termos para cá, da tan(x), é -pi/2. E o limite, quando "x" tende a +infinito, da função tan(x), é pi/2. Lembre-se sempre também das derivadas.
    Se a gente voltar aqui para falar das derivadas Deixe-me voltar aqui à função Nós temos a função arcsen(x), que apresenta derivada y' Você vai sempre memorizar 1 sobre raiz de 1-x². Se a gente for falar de novo da função arccos(x), y' tem derivada -1 sobre raiz de 1-x². E, finalmente, a função arctan(x) apresenta derivada y'= 1/(1+x²). Em todas elas, é válida a regra da cadeia.
    Bem, pessoal, por hoje a gente termina aqui. Na próxima aula, nós vamos dar continuidade ao estudo das derivadas.
    Até a próxima. ...

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