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Regra de L’Hôpital - Teoria

Cálculo de limites indeterminados do tipo 0/0 e infinito/infinito utilizando a tradicional e clássica Regra de L’Hôpital, de modo a otimizar o cálculo destes tipos de limites.

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  • Fala, pessoal do Passei Direto. Tudo bem com vocês?
    Hoje, nós teremos uma aula muito importante a respeito do Cálculo I, que diz respeito à Regra de L'Hôpital, que é uma das aplicações dos nossos conceitos de derivação. A Regra de L'Hôpital serve para resolver limites.
    Lembra-se que nós vimos anteriormente, lá nas aulas da primeira parte do curso? Pois é, hoje a gente vai aprender a resolver todos esses exercícios de limites utilizando essa Regra de L'Hôpital.
    A primeira observação que é muito importante é que a regra serve somente para indeterminações do tipo 0/0 ou infinito sobre infinito, e suas variações, -infinito sobre -infinito, -infinito sobre +infinito, e assim sucessivamente. A definição afirma que suponha que "f" e "g" sejam funções deriváveis, e g'(x) seja diferente de 0, em um intervalo em aberto que contém "a". Suponha que o limite de f(x), quando "x" tende a "a", e é igual ao limite, quando g(x), da função g(x), quando "x" tende a "a" também sejam iguais a 0. Ou que o limite de f(x), quando "x" tende a "a", seja ±infinito, ou o limite de g(x), quando "x" tende a "a", também seja ±infinito. Então, podemos afirmar que o limite, quando "x" tende a "a", o quociente entre as funções f(x)/g(x) é a mesma coisa que o limite, quando "x" tende a "a", da derivada da função "f" Eu acabo efetuando a derivada de "f", que acaba virando f'(x), e eu pego a função g(x) e derivo e obtenho a g'(x). Repare no que é feito para determinar esse limite.
    Lembre-se, a Regra de L'Hôpital só serve para funções do tipo 0/0 ou infinito sobre infinito, se o limite, obviamente, existir também. Então, por exemplo Antigamente, para a gente resolver esse limite aqui Perceba, quando "x" tende ao infinito, esse numerador aqui vai tender ao infinito e esse cara ao quadrado também tende ao infinito.
    É uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito. Portanto, é importante utilizarmos a Regra de L'Hôpital aqui.
    Percebam Limite, quando "x" tende ao infinito Portanto, eu vou indicar que estou usando L'Hôpital, para resolver. E L'Hôpital nos diz A gente pode escrever com esse "s" ou sem o "s".
    Não tem problema nenhum. As nomenclaturas variam mesmo.
    E aí, a gente afirma que o limite, quando esse cara e esse cara aqui, essa função f(x) Vamos fazer a derivação, então, usando a Regra de L'Hôpital? Então, derivando o numerador, nós vamos ficar com a derivada da função exponencial, ela mesma.
    E a derivada de x² é sempre 2x. Concorda comigo?
    Vamos ver se a indeterminação foi resolvida? O numerador continua indo para o infinito.
    E o denominador também. Portanto, a indeterminação matemática que nós tínhamos continua, ela ainda persiste.
    Não tem problema, vamos usar L'Hôpital de novo. A nossa estratégia é sempre usar a Regra de L'Hôpital até que a nossa indeterminação seja completamente solucionada, completamente extirpada do problema.
    A derivada da função exponencial é a exponencial de "x", ela mesma. E a derivada de 2x é 2, concordam?
    Vamos ver se a nossa indeterminação foi terminada ou não, se a gente conseguiu eliminá-la? A exponencial, quando "x" tende ao infinito, vai para o infinito, e o 2 vai para 2.
    Infinito sobre 2 equivale a +infinito. Não é indeterminação.
    Portanto, nós conseguimos resolver esse limite aqui. A indeterminação foi completamente eliminada e a gente não precisou recorrer àquelas propriedades de abertura de produto notável ou multiplicação pelo conjugado para resolver, utilizando simplesmente essa regra que auxilia muito a nossa vida.
    Outro limite é o limite, quando "x" tende a 1, de ln(x)/(x-1). Precisamos determiná-lo para calcular o valor desse limite.
    Perceba que, quando "x" tende a 1, o ln(1), a gente sempre sabe que é 0. 1-1 aqui embaixo também vai para 0.
    Portanto, o limite, quando "x" tende a 1 Vamos fazer as derivações A derivada de ln(x) é 1/x. A derivada de x-1 é 1.
    Então, isso aqui é o mesmo que falar que o limite, quando "x" tende a 1, de 1/x, concorda comigo? E aí, a indeterminação fica simples, concorda?
    Eu substituo o 1 aqui no lugar de "x", não fica indeterminado, e aí eu utilizo a resposta 1. Ok?
    Muito tranquilo de resolvermos esse limite de forma muito simples também. ...

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