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Regras de derivação - Teoria - parte 1

Recordação do conceito de funções compostas. Aplicação da Regra da Cadeia para derivar funções compostas. Derivada de funções exponenciais e logarítmicas. Funções trigonométricas inversas e suas derivadas.

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    lockEquação da reta tangente - Teoria

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    lockResumo - Derivadas - Resumo

  • Bom, vamos agora então finalmente falar sobre as regras de derivação. Chega de ficar fazendo aquelas coisas de limite, aqueles trabalhos braçais todos na hora de calcular uma derivada.
    Existem regras de derivação que são muito mais simples e que auxiliam muito os nossos cálculos quando a gente for determinar a derivada de determinados tipos de função. Hoje, nós vamos aprender duas regras de derivação das funções mais simples que existem.
    A primeira delas é a derivada de uma função constante, cujo gráfico está representado aqui. Observe, uma função constante é quando eu tenho a função f(x)=c, em que "c" é um número real qualquer. Esse "c" poderia ser, por exemplo, o número 5.
    Poderia ser a função "y" f(x)=5. y=5.
    Certo? Sempre que eu tiver f(x)=c, igual a uma constante, a derivada dessa função é sempre 0. Sempre.
    E quando eu tenho funções potência, por exemplo, uma função do tipo x^n, a derivada vai ser n.x^(n-1). Essa regra tem um jargão muito conhecido, que é a chamada "regra do peteleco".
    Por que ela é a "regra do peteleco"? Se eu tenho f(x)=x^n, o peteleco é que eu dou um peteleco nesse "n", ele passa para a frente do "x", e aí f' fica "n" vezes "x" E, agora, como ele foi para a frente, a gente tem que tirar um desses expoentes. n-1.
    Por isso, o nome famoso de "regra do peteleco", porque esse "n' leva um peteleco e vai para a frente do "x", e aí do índice desse "x" tem que ser retirado uma unidade. Ok, gente?
    Bom, vamos então fixar alguns exercícios de derivação, que são importantes nesse nosso caso, para a gente resolver o que a gente acabou de verificar aqui na teoria. Então, vamos lá.
    Vamos derivar essa primeira função aqui. f(x)=x^5. Ora, pela regra do peteleco, eu tenho esse 5 aqui e ele vem para a frente.
    Portanto, f'(x)=5x^(5-1). Portanto, f'(x)=5x^4. Muito tranquilo, não é?
    Letra "B". f(x)=100. Claro que essa função f(x)=100 é como se fosse uma função constante, uma função horizontal constante. Portanto, a gente sabe, é muito fácil, pela primeira regra de derivação que nós vimos, a derivada de uma função constante é sempre 0.
    4x^8 é a g(x) aqui que nós temos. Então, agora nós vamos definir qual é a derivada dessa função.
    Pela regra do peteleco, g'(x) vai ser igual a 8, que vem para a frente, e ele multiplica o 4, que já estava lá, de x^(8-1). Portanto, 8.
    4=32. Portanto, g'(x)=32x^7. x^1000.
    Parece que todo mundo fica com medo dessa função, mas é a mesma coisa. É só para assustar mesmo.
    Verifique aqui que h'(x), que é a derivada da função "h", é nada mais, nada menos, do que 1000, que vem para a frente pela regra do peteleco, e multiplica x^(1000-1). Portanto, h'(x) vai ser igual a 1000x^999. E, finalmente, a p(x), que todo mundo fica com medo dessa função, mas que é tranquila. A gente olhando assim parece bem difícil de derivar uma raiz, mas você deve estar se esquecendo que a gente sempre pode transformar uma raiz em uma função potência, com índice fracionário.
    Perceba que eu posso reescrever essa função como sendo x^(2/3). E aí, a vai ficar muito fácil de resolver.
    Perceba que p'(x) vai ser igual a (2/3). x^([2/3]-1). Portanto, p'(x) vai ser igual a (2/3)x^(-1/3). Bem tranquilo, não é, gente?
    Bem, por hoje é só. Na próxima aula, a gente vai continuar vendo um pouco mais sobre essa regras de derivação para funções um pouco mais complicadas.
    Bons estudos para você e até a próxima. ...

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