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Regras de derivação - Teoria (parte 2)

Definição de funções exponenciais e logarítmicas, bem como seus gráficos e domínios. Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas. Recordação da Regra da Cadeia para funções compostas envolvendo as funções exponenciais e logarítmicas.

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  • play_arrowConceito de tangentes - Teoria

    lockEquação da reta tangente - Teoria

    lockDerivada como função - Teoria (parte 1)

    lockDerivada como função - Teoria (parte 2)

    lockRegras de derivação - Teoria (parte 1)

    lockRegras de derivação - Teoria (parte 2)

    lockRegra da cadeia - Teoria

    lockGráficos e derivadas - Teoria

    lockRegra de L’Hôpital - Teoria

    lockEsboço de curvas - Teoria

    lockProblemas de otimização - Teoria

    lockDerivadas - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto. Tudo bem com vocês?
    Hoje, vamos dar continuidade às nossas aulas sobre regras de derivação. Segunda parte da nossa aula.
    Vamos lá. Hoje, começamos com a regra da soma e da subtração.
    Se "f" e "g" forem funções ambas deriváveis, então, perceba que se eu tiver a derivada, e dentro dela, f(x)+g(x), isso é o mesmo que somar as derivadas individualmente, fazendo f'(x)+g'(x). O mesmo ocorre para a subtração.
    Se quisermos achar f(x)-g(x) da derivada disto, a gente pode realizar f'(x)-g'(x). Então, isso é o que a gente chama de regra de soma e da subtração.
    A gente fala que pode realizar a soma das derivadas, se a gente fizer a derivada da soma, ou a subtração de cada um dos termos da derivada, se a gente quiser determinar a derivada da subtração. Bom, utilizando então as regras de derivação da nossa última aula e as que a gente acabou de ver, vamos derivar a função h(x)=x²+8x+5. Ora, muito tranquilo, não é?
    A gente já sabe então, que eu posso separar Isso aqui é uma soma, então se eu quiser derivar cada um desses termos aqui individualmente e somar todos, na medida em que os termos são isolados por sinais de mais, dá tranquilamente para fazer isso. Portanto, utilizando a regra do peteleco, h'(x) vai ser igual a Esse 2 vem para a frente, multiplicando 2x, mais Derivada de 8x é como se aqui tivesse índice 1 nesse expoente. Então, ele também vem para frente, e vai ficar 8.
    Por que vai ficar 8? Vai ficar 8, que multiplica x^(1-1). Aí, 1-1 é 0, e x^0 é 1.
    Por isso, só fica o 8. Vou deixar aqui representado.
    E a derivada de uma constante é sempre 0. Então, aqui é +0.
    Portanto, h'(x), aqui nesse caso, a derivada da função é 2x+8. Bem tranquilo de resolver, não é?
    Nenhuma dificuldade aqui, eu acredito. Bem tranquila essa parte mesmo.
    Bom, vamos a um outro exemplo aqui um pouquinho mais complicado, em que a gente precisa pensar um pouquinho mais. Vamos encontrar os pontos sobre a curva y=(x^4)-6x²+4, em que a reta tangente é horizontal. A gente já comentou um pouco sobre esse tema nas aulas anteriores.
    Observe aqui que, nesses pontos que estão marcados aqui, a reta tangente na curva, essa curva "y" que nós temos aqui, é horizontal, todas essas retas aqui sobre esses pontos. O que significa isso?
    Quando uma reta tangente é horizontal, significa que a inclinação dessa reta é igual a 0. E o que significa uma inclinação de reta tangente?
    Derivada, concorda comigo? Então, o exercício pede, se a simplificarmos essa leitura aqui, ele só pede que você encontre os pontos sobre a curva (x^4)-6x²+4 em que a derivada seja 0. Olha que fácil, bem tranquilo.
    Então, em primeiro lugar, eu preciso calcular, dado que eu tenho y(x), que eu vou colocar aqui, y(x)=(x^4)-6x²+4, eu quero determinar primeiro, então, os pontos onde y'(x), que é a inclinação da reta tangente, é horizontal, ou seja, é nula. Não tem inclinação nessas retas tangentes aqui.
    Portanto, y'(x) é que tem que ser igual a 0. Então, vamos determinar quem é y'(x), em primeiro lugar, utilizando, de novo, a regra do peteleco e as propriedades em que é possível derivar cada um desses termos aqui e só repetir esses sinais que estão entre esses termos. Portanto, pela regra do peteleco, a gente passa esse 4 para a frente, fica 4x³ menos Esse sinal se repete.
    2 vezes 6, 12x. E a derivada de uma constante é 0.
    Nem vou colocar aqui, tá bom? Vai ficar que y'(x)=4x³-12x. Ora, vamos então fazer essa equação que é a chave do exercício, pegar essa equação e igualar a 0, porque aí, sim, eu vou determinar em quais pontos a reta tangente é horizontal, que é o que pede o exercício.
    Então, basta fazer 4x³-12x=0. Eu tenho, nessa equação aqui, termos que só estão em função de "x".
    Portanto, é possível colocá-los em evidência. Poderia colocar até o 4x em evidência, se eu quisesse.
    Tanto faz. Aquilo com que você se sentir mais à vontade.
    Então, o primeiro ponto, a gente já achou de cara. x=0 é o primeiro ponto.
    E, obviamente, está bem de acordo com o nosso desenho. Repare que, realmente, quando x=0, essa inclinação da reta tangente é horizontal.
    E 4x²-12=0, que vai nos deixar com 4x²=12, e x²=12/4. x²=3.
    Se x²=3, ou x é raiz de 3 positiva, ou é -raiz quadrada de 3. Então, esses são os outros dois pontos que nós achamos aqui.
    E realmente tá de acordo. Perceba que raiz de 3 é um número maior que 0 e esses dois pontos aqui são simétricos.
    Ou seja, um é positivo, e aí do mesmo lado pro outro, a gente tem a parte negativa. Então, estão aí os três pontos.
    O primeiro deles, ponto número 1, x=0. O segundo ponto, "x" igual a raiz de 3.
    E o terceiro ponto, "x" é igual a -raiz de 3. Só que geralmente, quando estamos falando de ponto, às vezes a gente quer a coordenada "x" e a coordenada "y" também.
    Então, o ponto P1, que é o ponto que tem uma das coordenadas 0 A outra coordenada é só eu substituir o 0 daqui na função. Aí, se eu substituo aqui, eu vou ter o ponto 0,4.
    Se eu faço o P2, eu vou obter raiz de 3. Aí, a gente tem que fazer essas contas.
    São umas contas um pouco chatas de se fazer. Só fazer a raiz de 3 elevada à quarta menos 6 vezes raiz de 3 elevada ao quadrado mais 4.
    Aí, a gente faz essa A gente eleva isso aqui. Vai dar 81.
    Porque raiz de 3 elevada à quarta é raiz de 3 vezes raiz de 3, que vai dar raiz de 9, que é 3, vezes raiz de 3, vezes raiz de 3, raiz de 9, que vai dar 3. Vai ficar 3 vezes 3.
    3 vezes 3 vai dar 9 menos 6 vezes raiz de 3, que vai cortar e ficar 3. Então, 6 vezes 3 mais 4.
    Então, 9-18+4. Então, aqui vai ficar 9-18+4.
    -9+4 vai ficar -5. E aí, o P3 vai ficar a mesma coisa daqui, porque os sinais são os mesmos, não vai mudar muita coisa.
    As raízes aqui têm só índices pares. Então, é a mesma coisa.
    -raiz de 3 e -5. Até pelo desenho, a gente vê que eles estão sobre o mesmo "y".
    Ok, gente? Agora, vamos verificar a derivada de um produto e quociente de funções.
    A primeira delas é a chamada "regra de produto". Se "f" e "g" são funções deriváveis, então o produto das mesmas, ou seja, f(x) vezes g(x), a derivada disso vai ser sempre A gente precisa sempre memorizar isso. É extremamente importante a memorização dessa fórmula.
    Vai ser sempre a derivada da primeira função vezes a normal da segunda, mais a derivada da segunda, vezes a normal da primeira. Por exemplo, se f(x) é igual à raiz de "x" vezes g(x), em que "g" é uma função derivável, calcule f'(x). A gente já sabe que raiz não deixa mais a gente assustado.
    A gente sabe que eu posso reescrever essa função como sendo x^(1/2) Porque a gente sempre representa uma raiz em expoente fracionário dessa forma. Vezes g(x). Isso é um produto de duas funções.
    Por isso, é possível calcular f'(x). Derivada da primeira função.
    Vamos repetir o que está escrito aqui. Derivada da primeira função.
    Regra do peteleco. (1/2).x^([1/2]-1). É a derivada da primeira.
    Vezes a normal da segunda, que a gente não sabe quem é, a gente só sabe que é "g", vamos deixar em função dela. Mais derivada da segunda função, que a gente não sabe quem é, então a gente só vai escrever g'(x), vezes a normal da primeira função, que é raiz de "x". Portanto, f'(x) vai ser nada mais, nada menos, que um (1/2).x elevado a -1/2, g(x), que está multiplicando, mais g'(x) vezes raiz de "x". Se eu quiser reescrever essa função de forma mais bonita, eu posso reescrever como sendo (1/2) raiz de "x", que é como eu simplifico esse expoente negativo aqui vezes g(x) mais g'(x) vezes raiz de "x". Essa é a derivada que nós temos aqui da nossa função f(x). Derivada f' é exatamente isso daqui.
    Utilizamos a regra do produto. Bem tranquilo, não é?
    Existe também uma outra regra, que é a regra do quociente, tendo produto, tendo quociente. Se "f" e "g" são funções deriváveis, então, a regra do quociente diz que eu tenho que fazer a derivada da primeira função vezes a normal da segunda ...

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