Equilíbrio de partículas (2D e 3D)

Nesse plano de estudos veremos o equilíbrio de partículas (pontos - não há extensão) tanto no plano, quanto no espaço. Onde o equilíbrio envolve somatório de forças e momentos (torques) em pontos e eixos. Aprenderemos, também, a definição de um binário e o torque que ele provoca. E por fim, utilizando os conceitos anteriores, será vista a redução de cargas pontuais e distribuídas (forças) e torques aplicados a um sistema por uma força só, o que compreende os sistemas equivalentes.Premium

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Aulas de Equilíbrio de partículas (2D e 3D)

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Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Dinâmica - 9ª Ed. 2012
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Exercícios resolvidos: Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Dinâmica - 9ª Ed. 2012

Ferdinand Beer

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Existem várias formas de se resolver este problema, sendo que a mais simples, para o item (a), consiste na aplicação do teorema dos eixos perpendiculares. O teorema afirma que dados três eixos, X, Y e Z, perpendiculares entre si, se o corpo analisado está sobre um plano, por exemplo, XY, então a seguinte igualdade é válida:

Onde , e denotam os momentos de inércia com relação aos eixos Z, X e Y respectivamente.

Vamos para os cálculos! Acompanhe!

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Para a aplicação do teorema será mais fácil começar a resolução do exercício pelo item (b), que solicita o momento de inércia do corpo em relação ao eixo CC’. Veja que o corpo está sobre o plano AB, assim, de acordo com o teorema dos eixos perpendiculares, podemos escrever:

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Vamos calcular lembrando que a equação para o momento de inércia é dada por:

Sendo r a distância até o eixo de rotação ao redor do qual o corpo irá descrever o movimento de giro.

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Para determinarmos dm, precisamos da densidade superficial do corpo (ρ), que será dada por m/A, sendo m a massa do corpo e A sua área superficial total:

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Ao redor do nosso eixo CC’, o elemento infinitesimal de massa pode ser escolhido como sendo um círculo de raio r e espessura infinitesimal dr conforme mostrado na figura a seguir:

Imagem 6

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Com base nas considerações feitas até aqui, nosso elemento de massa pode ser calculado como sendo:

Sendo a área infinitesimal mais escura mostrada na figura.

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O momento de inércia em relação ao eixo CC’ então, será dado por:

.

Integrando-se de até , teremos:

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Quando reorganizamos a expressão, encontramos:

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Portanto, para o item (b), a resposta é: .

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Agora, para encontrarmos a resposta do item (a), lançaremos mão do teorema dos eixos perpendiculares, que foi mencionado no início da resolução. Veja na figura anterior, que os eixos AA’ (que pode ser associado a X) e BB’ (que pode ser associado a Y) são completamente simétricos, e, portanto, assim, o teorema nos diz que:

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Como , teremos:

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Assim:

Passo 14 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, para o item (a), a resposta é: .