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Base e dimensão - Teoria

Estudo de base e dimensão de espaços e subespaços vetoriais

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  • play_arrowIntrodução e revisão de vetores - Teoria

    lockCombinação linear - Teoria

    lockDependência e Independência Linear - Teoria

    lockDefinição de espaço vetorial e exemplos - Teoria

    lockSubespaço vetorial - Teoria

    lockBase e dimensão - Teoria

    lockEspaços vetoriais - Resumo

  • E aí, pessoal, beleza? Bom, vamos juntar o que falamos nas últimas aulas, que foi a definição de espaço vetorial, e vamos lembrar do que falamos nas aulas passadas de combinação linear, dependência e independência linear.
    E agora a gente vai falar da base e da dimensão de um espaço vetorial. Vamos lembrar o que a gente colocou em uma aula passada aí que eu coloquei o espaço vetorial do R² aqui, o espaço vetorial de duas dimensões, e a gente falou dos vetores "i" e "j", que são os versores, os vetores unitários na direção "x" e na direção "j".
    Discutimos um pouco lá e vimos que qualquer vetor que eu tiver Por exemplo, se eu tiver esse vetor, posso escrever como uma combinação linear, como uma soma de, por exemplo, 5i, alguma coisa vezes "i", e 3j, alguma coisa vezes "j". Ou seja, qualquer vetor que eu pegar, eu posso escrever como combinação linear de "i" e "j".
    Ou seja, eu posso ver que esses dois vetores "i" e "j" geram todo o meu espaço vetorial do R² aqui, porque qualquer vetor eu consigo escrever como combinação linear desses dois. Quando isso acontece, a gente fala que "i" e "j", essa sequência de vetores aqui, são base desse meu espaço vetorial.
    Então, "i" e "j" formam a base desse espaço vetorial do R², o espaço bidimensional Então, o que significa ser base? É uma sequência de vetores, no caso, uma dupla de vetores, mas pode ser uma trinca ou uma quadra Uma sequência de vetores vai ser base de um espaço vetorial se todos os vetores desse espaço vetorial conseguem ser gerados a partir dessa sequência de vetores.
    Ou seja, se qualquer vetor que eu pegar desse espaço vetorial for simplesmente uma combinação linear desses vetores que são a base. Por isso, que se chama base, porque qualquer outro objeto desse espaço vetorial é gerado a partir desses.
    Então, vamos melhorar isso um pouco e relembrar alguns conceitos da aula passada também. Eu coloquei aqui que, se a sequência (a,b,c) Por exemplo, tenho três vetores. É LI, linearmente independente, então, ela é a base de R³.
    Ou seja, do plano tridimensional de que estamos falando, do espaço tridimensional. Por exemplo, se eu tiver "i", "j", e "k" Chegamos a discutir quando falamos de dependência linear Eles são base do R³, porque qualquer vetor pode ser gerado a partir deles.
    Qualquer vetor que eu pegar do R³, do espaço tridimensional, pode ser escrito como combinação linear desses três caras. Só que vimos que eu não precisaria pegar exatamente esses três caras que são perpendiculares, bonitinhos assim.
    Eu posso pegar outras combinações. Por exemplo, vimos que para eles serem LI, basta que não exista um plano que os contenha.
    Se eu tiver esses dois aqui, que chamei de e1, e2 e e3. Se eu tiver esses dois aqui no plano xy e um outro e3 em outro plano, eu já garanto que eles são LI, linearmente independentes, porque a gente discutiu naquela aula de independência linear.
    Se não existe um plano que contém os três, eles são LI. O que a gente acabou de ver?
    Não tenho uma única base para um espaço vetorial. Eu posso ter mais de uma base.
    Só que o importante vai ser o seguinte Todas as bases vão ter o mesmo número de vetores. Então, aqui eu tenho a base do R³, tem três vetores.
    Outra base do R³ tem três vetores, e por aí vai. E daí surgiu o conceito de dimensão de um espaço vetorial.
    O que é a dimensão de um espaço vetorial? É justamente o número de vetores que são necessários para fazer uma base.
    Então, por exemplo, o que seria a dimensão aqui? A dimensão do R³.
    Seria 3, não é? É o número de vetores que eu preciso para formar uma base.
    Por mais que eu tenha bases diferentes, todas elas vão ter o mesmo número de vetores. Se eu pegar aqui o R², qual a dimensão dele?
    É 2, porque eu preciso de dois vetores para formar a minha base, para escrever todos demais vetores desse espaço vetorial como combinação linear. Então, a dimensão é isso aqui.
    No próprio conceito de base já surge o conceito de dimensão. A dimensão fica sendo isso, o número de vetores de que eu preciso para formar a base de um espaço vetorial.
    Aí, a dimensão do espaço vetorial vai ser esse número. Então, agora, uma última coisa que vale a pena a gente pegar, agora que entendemos esses conceitos, é, de forma bem prática, principalmente para o caso tridimensional, que é o que mais nos interessa, já que a gente vive em um mundo tridimensional É descobrir quando uma trinca de vetores vai ou não ser base do R³, do espaço.
    Por exemplo, se eu tenho três vetores, u=(a1,b1,c1), v=(a2,b2,c2) e w=(a3,b3,c3), eles vão ser LD, linearmente dependentes, se e somente se esse determinante for 0. Então, se eu tiver uma trinca de vetores e você quiser saber se eles formam base para um espaço vetorial tridimensional, no caso, basta você calcular esse determinante e ver.
    Se der 0, os vetores são LD. Se eles são LD, eles não formam base, porque, para formar base, os vetores têm que ser LI.
    Então, se esse treco der 0, não vai formar base porque é LD. E se não der 0, então, só pode ser LI, linearmente independente.
    Então, vamos fazer um exemplo aqui para a gente pegar a ideia. Verificar se a=(1;0;1), b=(0;1;-1) e c=(1;2;0) formam base de R³. Eu tenho três vetores, mas será que eles são base?
    Então, eu tenho que saber se eles são LI. Já tenho três, número suficiente para formar base do R³.
    Se eles forem LI, são base. Então, eu vou calcular o determinante.
    Então, vou colocar o vetor "a". Lembrando que a ordem em que eu coloco aqui os vetores não vai interferir, não.
    Se eu troco linhas, não vai interferir, não. 0, 1 e -1, e 1, 2 e 0.
    Vou calcular esse determinante. Para quem não se lembra, há um jeito simples de calcular um determinante 3 por 3.
    Vamos pegar um bem fácil. Eu repito aqui as duas primeiras colunas, 1, 0 e 1, e 0, 1 e 2.
    Então, como é que fica esse determinante? Eu vou calcular da seguinte maneira Como a gente faz?
    Eu vou pegar e multiplicar os termos dessas diagonais. Então, 1 vezes 1 dá 1, vezes 0 dá 0.
    Então, vai ficar 0. Então, eu vou somando esses produtos inteiros.
    Aqui, 0 vezes qualquer coisa vai zerar. Aqui, vai ficar 1 vezes 0, que dá 0, 0 vezes 0, que dá 0.
    Então, eu peguei essas três diagonais. Somo todo mundo.
    E agora, eu pego essas diagonais que estão aqui nesse sentido, multiplico também e somo. Então, eu vou ter 1 vezes 1, 1 1 vezes, 1.
    só que aí eu troco o sinal. Então vai ficar -1.
    Essas diagonais aqui, eu troco o sinal. E aqui, como fica?
    1 vezes -1 dá -1, vezes 2 dá -2. Troco o sinal, +2.
    E aqui, 0 vezes 0 vezes 0 dá 0. Quanto vai dar isso aqui?
    Acho que vai dar 1. E o valor não importa.
    O que importa é que isso é diferente de 0. Se é diferente de 0, os vetores são LI, porque eles são LD só se o determinante der 0.
    Como deu diferente de 0, os vetores são LI, logo, eles formam uma base para o espaço vetorial R³. Então, eles formam base?
    Sim. Está verificado aí.
    Então, está aí a parte mais prática de a gente calcular e descobrir quando vetores formam ou não base. Beleza, pessoal?
    Então, é isso. Obrigado demais pela atenção e a gente se encontra nas próximas aulas.
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