Espaços Vetoriais Aprenda tudo que você precisa

  • play_arrow 6 videos
  • subject1 Resumo
lock

Esse conteúdo é exclusivo para assinantes.

Assine o Plano Premium e tenha acesso ilimitado a todas as aulas

AssinarVeja aula grátis

Combinação linear - Teoria

Definição das combinações lineares entre vetores

  • thumb_down 4
  • Plano completo
  • Transcrição
  • play_arrowIntrodução e revisão de vetores - Teoria

    lockCombinação linear - Teoria

    lockDependência e Independência Linear - Teoria

    lockDefinição de espaço vetorial e exemplos - Teoria

    lockSubespaço vetorial - Teoria

    lockBase e dimensão - Teoria

    lockEspaços vetoriais - Resumo

  • E aí, pessoal, beleza? Agora, continuaremos falando de vetores.
    Vamos falar sobre combinação linear, que vai ser um conceito importante para a gente. Então, vamos lá.
    Eu coloquei uma definição aqui. Vamos tentar entender com calma o que isso aqui quer dizer.
    Então, olha só. Sejam V1, V2, V3 e VN vetores de um certo espaço vetorial.
    O que é isso? Definiremos na próxima aula.
    Eu acho que não convém falar sobre isso agora. Mas espaço vetorial, por enquanto, você pode entender como um local onde são definidos os vetores, um local onde estão contidos os vetores, vamos dizer assim.
    Depois, vamos defini-lo melhor. Mas então, eu tenho vetores de um espaço vetorial, de um local onde eles estão contidos, e eu tenho a1, a2, an escalares, ou seja, números reais.
    3, 4, 5, enfim Então, "n" vetores e "n" escalares, "n" números reais. Então, está aqui, se eu tenho um vetor dado, ele pode ser escrito dessa forma, ou seja, um escalar vezes o v1, mais o escalar vezes o v2, mais o escalar vezes o v3, e por aí vai, um escalar vezes o vn.
    Então, falamos que esse vetor dado é uma combinação linear desses vetores, ou seja, um jeito mais fácil de a gente enxergar isso é que ele é gerado por esses vetores. Então, esses vetores v1, v2, até o vn, geram o "w".
    O "w" pode ser escrito como uma combinação linear deles. Tudo bem?
    Então, assim, a definição não é muito complicada em si, mas vamos fazer um exemplo aqui, em que vai ficar mais clara essa definição. Então, olha só Vamos descer aqui.
    Está aqui o meu exemplo. Eu tenho dois vetores, que é o vetor "i", que talvez você conheça, se você já fez o curso de geometria analítica com tratamento vetorial, você já conhece o vetor "i", que é o que chamamos de versor unitário.
    Versor é um vetor de tamanho 1. Então, está aqui o vetor e o desenho dele aqui.
    É o versor unitário na direção "x". Então, ele é o vetor (1;0). A coordenada dele em "x" é 1 e em "y" é 0.
    E o versor "j", que é o vetor unitário na direção "y". Então, as coordenadas dele são 0 em "x" e 1 em "y".
    Então, eu tenho esses dois vetores. Aí, eu tenho um vetor "a" aqui.
    O vetor "a" está aqui. A coordenada "x" dele é 3 e a coordenada "y" dele é 2.
    Aí aqui, pessoal, eu estou dando esse exemplo Eu falei que não ia mexer tanto com a geometria dos vetores, mas uma vez ou outra é importante, senão começa a ficar muito abstrato. Para não ficar tão abstrato e a gente visualizar melhor o que está fazendo, vamos trazer um exemplo um pouco mais geométrico aqui.
    Então, se eu pegar o vetor 3i, ou seja, multiplicar o vetor "i" por um escalar, no caso, o escalar 3. Então, eu vou ter esse vetor 3i, que tem 3 vezes o tamanho do "i", então, ele vem aqui até o 3.
    E se eu pegar o "j" e multiplicar por 2 Multiplicação por escalar, pessoal, operação que definimos na aula passada. Então, eu vou o 2j, que está aqui.
    Então, perceba que se eu fizer 3i+2j, eu vou ter justamente o vetor "a". Então, o que eu percebo aqui?
    Mexendo só com a geometria por enquanto, eu percebo que eu posso escrever o vetor "a" como uma combinação linear desses caras, porque eu consegui escrevê-lo só em função do "i" e do "j". Então, vamos lá.
    Para usarmos a definição, para usarmos a álgebra em que estávamos mexendo, usar exatamente essa definição, o "w" escrito como o "i" e o "j", vamos fazer assim Quem é o "w"? O "w" é o seguinte O "w" é o vetor (3;2). Estou dizendo que posso escrevê-lo com a combinação do "j".
    Geometricamente, a gente visualizou, mas já falei que mexeremos pouco com geometria. Então, vamos tentar mexer com a álgebra.
    Como eu posso escrever o "w"? Vê se você concorda comigo.
    Eu posso escrever o "w" da seguinte maneira "w" é o seguinte vetor Ele é o vetor (3;0) mais o vetor (0;2). Como assim?
    O que é isso? Não vimos que para somar vetor é só somar as coordenadas?
    Então, vai ficar 3+0, que dá 3, 0+2, que dá 2. Volto a ter esse cara aqui.
    Então, fica o vetor "w". Agora, posso escrever que ele é 3 vezes (1;0) mais 2 vezes (0;1). Por que isso?
    3 vezes 1 dá 3, 3 vezes 0 dá 0. Lembra-se da definição da aula passada?
    Multiplicação por escalar, eu multiplico todas as coordenadas. Então, se eu multiplicar isso aqui, eu vou obter (3;0), se eu multiplicar isso aqui, 2 vezes 0 dá 0, e 2 vezes 1 dá 2. Por que escrevi dessa maneira?
    Porque agora fica mais fácil de eu enxergar que esse cara é (1;0), justamente o meu vetor "i". E esse cara aqui, (0;1), é justamente o meu vetor "j". Então, daqui eu concluo o seguinte Eu concluo que o vetor "w" é 3i+2j.
    Ou seja, "w" é uma combinação linear do "i" e do "j". Ele é gerado pelo "i" e pelo "j".
    Foi isso que a gente fez um exemplo aqui agora só para a gente enxergar melhor essa definição. Geometricamente, a gente viu que, de fato, os vetores "i" e "j" geram, na verdade Isso é o que a gente vai trabalhar na próxima aula, de dependência e independência linear Percebemos que os vetores "i" e "j", na verdade Talvez você consiga visualizar aqui comigo que eles geram todos os vetores aqui bidimensionais, todos os vetores do R², que significa duas dimensões.
    Eles geram todos os vetores, porque, qualquer vetor, basta eu dilatar muito esse aqui ou contrair muito, eu posso jogá-lo para lá se multiplicá-lo por -1, enfim, qualquer vetor que aparecer, por exemplo, esse aqui, eu posso escrevê-lo como uma combinação do "i" com o "j". Basta eu escolher os escalares corretos para eu multiplicar cada um.
    Será importante para a próxima aula. Por ora, basta a gente ver que o "w" é uma combinação linear de "i" e de "j", porque ele é gerado por esses vetores, que foi o que a gente escreveu aqui.
    Então, combinação linear por ora é isso. Na próxima aula, falaremos de outro conceito que tem a ver com combinação linear, que é dependência e independência linear.
    Vamos usar justamente essa ideia que acabamos de concluir nesta aula aqui, que é de que o "i" e o "j" geram todos os vetores bidimensionais. Então, é isso.
    Espero que tenha ficado claro. Muito obrigado pela atenção, e eu encontro vocês na próxima aula.
    Até mais. ...

Tópicos relacionados

Matriz e Sistema Lineares

Matriz e Sistema Lineares

6 Vídeos 1 Resumo
Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Autovalores, Autovetores e Diagonalização

6 Vídeos 1 Resumo
Operações de matrizes

Operações de matrizes

8 Vídeos