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Definição de espaço vetorial e exemplos - Teoria

Conceituação de espaço vetorial e suas propriedades

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  • play_arrowIntrodução e revisão de vetores - Teoria

    lockCombinação linear - Teoria

    lockDependência e Independência Linear - Teoria

    lockDefinição de espaço vetorial e exemplos - Teoria

    lockSubespaço vetorial - Teoria

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    lockResumo - espaços vetoriais - Resumo

  • E aí, pessoal, tudo bom? Agora, a gente vai falar sobre espaço vetorial.
    A gente vai pausar um pouco a nossa conversa sobre combinação linear, dependência e independência linear. Ela vai ser muito importante na próxima aula Na outra, na verdade, quando a gente vai falar de base, que eu já citei para vocês.
    Mas agora vale a pena a gente pausar aquela conversa para falar sobre espaço vetorial, porque a gente está falando de vetores, só que o que são vetores? Eles são elementos que estão contidos em um espaço vetorial.
    Eu deixei para falar isso mais para cá. Eu poderia ter falado desde o início sobre espaço vetorial, que é o conjunto onde estão contidos os vetores, mas, como eu falei, álgebra linear pode ficar um pouco abstrata, ainda mais que não estamos dando uma ênfase geométrica.
    Eu até tentei olhar sob uma ótica mais geométrica, para ficar um pouco mais claro, mas deixei para falar isso no final, para vermos um pouco de vetores primeiro, até algumas ênfases geométricas, para não ficar muito abstrato. Então, eu espero que não fique tão abstrato.
    Espaço vetorial é o seguinte Ele é o conjunto onde estão contidos os vetores. Ele é um conjunto "V" não vazio de objetos.
    Então, ele é um conjunto de objetos. Esses objetos serão os vetores.
    Ele é um conjunto fechado para duas operações aqui, que são adição e multiplicação por escalar. O que significa o conjunto ser fechado para essas operações?
    Significa que se eu pegar elementos desse conjunto Espaço vetorial é um conjunto que chamei de "V", um conjunto de objetos. Vamos dizer que eu tenho "x" e "y", que são objetos desse conjunto.
    Se eu fizer então a adição x+y, vai produzir um terceiro elemento. Então, eu peguei dois elementos do conjunto, somei-os e obtive o terceiro elemento, que também vai pertencer ao conjunto.
    Isso é ser fechada para a adição. Significa que se eu pego dois caras, dois objetos do conjunto, e os somo, vai me dar também um outro objeto do conjunto.
    O mesmo vale para a multiplicação por escalar. Se "x" é um objeto do conjunto e eu o multiplico por um escalar alfa, vai me produzir um outro cara, um outro objeto que também pertence ao conjunto.
    Então, é isso. Vou até desmanchar isso aqui.
    Ser fechado para essas operações significa isso. Se eu pego objetos do conjunto e aplico essas operações, vai me produzir outros objetos que também estão no conjunto.
    Então, espero que tenha ficado claro. Vamos só melhor um pouco isso, especificar melhor as condições que eu tenho que satisfazer.
    Então, tenho um conjunto "V" de objetos e eles têm que satisfazer as seguintes propriedades para ser um espaço vetorial. Não são só essas, mas essas são as principais, as que vão nos interessar mais.
    A primeira aqui Se "u" e "w" são objetos em "V", então, u+w também é objeto de "V". Ou seja, ele é fechado na adição.
    Se eu somo dois objetos de "V", a soma deles vai produzir um cara que também está em "V", no conjunto. Esses próximos três itens vão falar justamente sobre condições da adição que ele tem que satisfazer.
    Aqui é comutatividade. A ordem dos fatores não alterará o resultado.
    u+w é igual a w+u. Isso aqui é a existência de um elemento nulo, ou existência de um elemento neutro.
    Tem que existir um cara que se eu somar com o objeto, ou pegar o objeto e somar com esse cara, eu não vou alterar o meu objeto. A existência do elemento nulo.
    Estou representando como um vetor, porque isso não é o número 0. Seria o vetor 0.
    Não tem como eu somar um vetor com um número. Agora, aqui, o que a gente tem?
    A quarta é a existência do elemento negativo. Existe um cara que se eu somar com o objeto vai me dar o elemento nulo.
    Seria o negativo do "u". Então, se eu fizer o contrário Acabei errando esses parênteses.
    Seria o seguinte Se eu pegar esse cara aqui que é o negativo desse e somar com ele, vai dar o elemento nulo. Então, primeiro, ele é fechado para a adição.
    É o que falava a primeira propriedade. E algumas propriedades que ele tem que satisfazer para ser espaço vetorial.
    Comutatividade, existência do elemento nulo, existência do elemento negativo. E aí, por último aqui.
    Se alfa é um escalar e "w" é um objeto de "V", então, alfa vezes "w" também é objeto de "V". Ele é fechado para a multiplicação por escalar.
    Se eu faço a multiplicação por escalar, como em um objeto que pertence a "V", então, vai gerar um objeto que também pertence a "V", que foi aquilo que a gente discutiu ali em cima. Então, se um conjunto "V" de objetos satisfaz todas essas propriedades, então, a gente fala que "V" é um espaço vetorial, e esses objetos de "V" são o que a gente chama de vetores.
    Chegamos a ver, não sei se se lembram, na primeira aula, a gente falou de soma, de multiplicação por escalar, deu uma ênfase nisso, a gente viu várias propriedades dos vetores. Então, de fato, temos um espaço vetorial.
    Um negócio importante, principalmente na próxima aula, quando a gente for falar de sub-espaço, é essa informação, que eu vou abordar melhor na próxima aula, mas mostra que um espaço vetorial tem que conter a origem, porque eu tenho que ter um elemento nulo, que, somado com qualquer elemento, não altere esse elemento. Então, se eu estiver pensando, por exemplo, em eixos, em uma interpretação geométrica que a gente vai ver aqui agora, a origem tem que estar contida.
    Então, vamos ver dois exemplos de espaço vetorial para não ficar muito abstrato. Então, o primeiro exemplo está aqui.
    O espaço vetorial nulo. Que espaço vetorial é esse?
    É o espaço que tem um único objeto. Qual objeto?
    O elemento 0, o elemento neutro. Pensa só, eu posso somar esse cara com ele mesmo, que vai dar ele mesmo.
    Então eu satisfaço aqui a primeira propriedade. Ele já existe, então, se eu somo o elemento neutro com o elemento neutro, dá o próprio elemento neutro.
    Se eu somo o elemento neutro com o menos elemento neutro, eu tenho o elemento neutro, e se eu multiplico por qualquer escalar, quanto dá qualquer escalar que eu pegar aqui? Alfa vezes o elemento neutro.
    Dá o próprio elemento neutro. Ou seja, dá um objeto que está contido no espaço vetorial.
    Meu espaço vetorial é só esse cara. Se eu multiplicá-lo por qualquer escalar, eu vou ter ele próprio, que está contido no conjunto.
    Então, é um espaço vetorial bem trivial esse, que é o espaço vetorial nulo. Só tem um elemento, que é o elemento neutro.
    Então, ele satisfaz aquelas propriedades. Agora, um pouco mais elaborado seria o R³.
    Como a gente viu ali, eu posso imaginar aqui uma base para esse cara aqui, que a gente até chegou a comentar em aulas anteriores que é um espaço vetorial, porque eu consigo sair construindo os elementos, que são os vetores, que a gente viu. Por exemplo, eu tenho um vetor "i", um vetor "j", tenho qualquer vetor que possa sair construindo.
    A gente viu que eu posso fazer combinações lineares de "i" e "j", e eu vou produzir elementos que estão sempre aqui. Então, esse vetor "p" é combinação linear de "i" e "j".
    Ou seja, o que isso significa? Se eu somo "i" com "j", ou múltiplos por escalares de "j", eu vou produzir caras que estão aqui dentro, que estão contidos nesse conjunto.
    Eu posso representar o "K" também. Agora, eu estou em três dimensões.
    Se eu somar qualquer múltiplo escalar de "i", "j" e "k", vou produzir um vetor que está aqui, nesse espaço. Então, de fato, o R³, um sistema ortogonal de três dimensões, é um espaço vetorial, que vai nos interessar demais também.
    Então, está aí, isso é um espaço vetorial, um conjunto no qual estão contidos os vetores. Espero de novo que não tenha ficado muito abstrato.
    É um pouco abstrato mesmo, mas essa interpretação geométrica nos facilita ver. Então, encontro vocês na próxima aula, quando nós vamos falar de sub-espaço vetorial e discutir um pouco mais isso também.
    Muito obrigado pela atenção e até a próxima aula. ...

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