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Dependência e Independência Linear - Teoria

Definição dos conceitos de dependência e independência linear

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  • play_arrowIntrodução e revisão de vetores - Teoria

    lockCombinação linear - Teoria

    lockDependência e Independência Linear - Teoria

    lockDefinição de espaço vetorial e exemplos - Teoria

    lockSubespaço vetorial - Teoria

    lockBase e dimensão - Teoria

    lockResumo - espaços vetoriais - Resumo

  • E aí, pessoal, tudo bem? Agora, a gente vai continuar usando aquela ideia que a gente definiu na última aula de combinação linear.
    Agora, falaremos de dependência e independência linear, que serão muito importantes para nós. Na última aula desta parte, nós vamos falar sobre a base de um espaço vetorial, que a gente vai entender na próxima aula.
    Então, vamos lá. O que é isso, dependência e independência linear?
    Uma definição bem simples para a gente entender A gente vai trazer um pouco para o lado geométrico nos exemplos, para ficar mais claro, e não ficar muito abstrato. Primeiro, esse conceito de dependência e independência linear não vale para um vetor.
    Quando a gente falou de combinação linear na aula passada, eu posso falar que um vetor é combinação linear de outros vetores. Agora, aqui, não.
    Se falo de dependência linear, não estou falando que um vetor tem dependência linear ou, enfim Eu falo de uma sequência de vetores, um conjunto de vetores. Eu tenho três vetores, cinco vetores, dez vetores.
    Então, uma sequência de três vetores é linearmente dependente (LD) ou é linearmente independente (LI). Então, é um conjunto de vetores.
    Então, é importante entendermos isso aí já. Então, eu tenho uma sequência de "n" vetores, v1, v2, vn, que vai ser linearmente dependente, LD, se e somente se algum vetor da sequência é gerado pelos demais, ou seja, é combinação linear dos demais.
    Não foi isso que vimos na aula passada? Caso contrário, falaremos que essa sequência é LI, linearmente independente.
    A gente vai fazer alguns exemplos, mas isso vai vir a ser importante para a gente no momento em que a gente for falar de base. Que fique claro que esse conceito de dependência e independência linear se aplica a um conjunto de vetores.
    Se nenhum desses vetores for gerado pelos outros, a sequência é linearmente independente, LI. Se um dos vetores é gerado pelos outros, se um dos vetores é combinação Por exemplo, se o v3 é combinação linear do v2 e do vn, ou do v1 e do v7, a sequência já é LD, linearmente dependente.
    Vou pegar alguns exemplos aqui. Parecido com o que fizemos na aula passada, vamos pegar aqui o caso em que a gente tem duas dimensões, o plano bidimensional.
    A gente conhece os vetores "i" e "j". Para quem não lembrava da geometria analítica vetorial, a gente deu uma resumida neles na aula passada.
    Digamos que tenho aqui Primeira coisa, tem como eu pegar o vetor "i" e ele ser gerado pelo vetor "j"? Pensei, o vetor "i" está aqui, (1;0). Tem como eu pegar o vetor "j" A única coisa que posso fazer com o vetor "j" é multiplicar por escalar.
    Tem como ele virar o vetor "i"? Não tem, pois qualquer escalar por que eu multiplicar pelo "j" Vamos pegar um vetor alfa vezes o "j".
    Que vetor vai ser esse? Vai ser alfa vezes 0, que dá 0, e alfa vezes 1, que dá alfa.
    Então, a única coisa que eu posso fazer com o vetor "j", se eu multiplico por escalar, é esticá-lo, diminuí-lo, dilatá-lo, comprimi-lo, inverter o sentido. Esse cara vai continuar sempre sendo 0.
    Não tem como o vetor "j" criar um componente aqui na direção perpendicular, criar um componente aqui na direção "x". Então, o vetor "i" é impossível de ser gerado a partir do vetor "j".
    Então, por exemplo, a sequência (i,j), se eu pegar a sequência desses dois vetores, ela é LI, linearmente independente, porque um vetor não tem como ser gerado a partir do outro. Já, por exemplo, se eu pegar o vetor "i" e o vetor "a", se eu pegar a sequência (i,a), a gente vê facilmente que o vetor "a" é gerado a partir do vetor "i". Basta eu pegar o vetor "i" e multiplicá-lo por 3.
    Eu vou ter 3 e 0. Então, o vetor "a" é uma combinação linear do vetor "i".
    Então, essa sequência aqui é LD, linearmente dependente. O que eu vejo aqui já?
    Já introduzimos um conceito que vai ser importante para a aula de base. Se eu tenho dois vetores Pega essas dois vetores "i" e "a" Se eu tenho dois vetores que são LD, linearmente dependentes, isso não é muito bom, pois não consigo gerar muitos vetores a partir deles, eu não consigo gerar muitas combinações lineares a partir deles, porque eles vão estar aqui só em uma direção.
    Já se eu pegar, por exemplo, o "j" e o "a", ou o "j" e o "i", eu consigo gerar, como a gente viu na aula passada, com o "i" e o "j", eu gero todos os vetores. Eu posso escrever qualquer vetor do espaço bidimensional como combinação linear do "i" e do "j".
    Assim como eu posso também escrever como combinação do "j" e do "a". A gente vai definir isso melhor na aula de base.
    Mas isso já é importante de a gente sacar. Então, está aí, vetores LI, não tem como serem geradas combinações lineares um do outro, e vetores LD, em que um é combinação linear do outro.
    Isso para o caso bidimensional. Vamos ver o caso tridimensional como ficaria.
    Então, está aqui, "x", "y" e "z". Eu tenho três eixos.
    Então, já sabemos que se eu pegar aqui, só no plano xy, eu sei que se eu pegar o "i" com o "j", o "i" e o "j" vão ser LI, linearmente independentes. Se eu pegar o "i" e o "p", também vão ser.
    Eu não consigo gerar o "i" a partir do "p", pelo mesmo motivo por que não consigo gerar o "i" a partir do "j", pois vemos que, com o "i" e com o "p", eu consigo varrer esse plano inteiro. Então, se eu pegar "i" e "p", vai ser também uma sequência LI.
    Agora, vamos pegar uma sequência de três vetores. Se eu pegar "i", "j" e "p".
    Vamos pegar aqui o "i", o "j" e o "p". Essa sequência é o quê?
    A gente vê que eu consigo pegar o vetor "p" e gerá-lo a partir do vetor "j" e do vetor "i", por exemplo. Se eu pegar um vetor aqui 3i, dilatando-o um pouco, um vetor que é múltiplo do "i" Aí, eu pego um vetor que é múltiplo do "j", ele estaria aqui.
    Então, eu consigo gerar o vetor "p" a partir desses dois. Ou seja, "p" é combinação linear de "i" e de "j".
    Então, essa sequência é LD, linearmente dependente. Já se eu pegar aqui "i", "j" e "k", que seria aquele vetor na direção perpendicular, que está saindo do plano xy, essa sequência seria LI, linearmente independente, porque não tem como eu pegar o "k", que está em outro plano, saindo do plano xy já, e o "k" ser gerado pelos vetores "i" e "j", que são vetores do plano xy.
    Então, (i,j,k) é uma sequência linearmente independente. Então, nenhum desses três vetores aqui pode ser escrito como combinação linear dos demais.
    Se eu pegasse, por exemplo, (i,p,k), também seria LI, porque nenhum desses caras aqui é combinação linear do outro. Não tem como eu obter o "k" a partir do "i" e do "p", ou o "i" a partir do "k" e do "p", e assim por diante.
    Estão em planos distintos. Um jeito de enxergar geometricamente Esse caso vai interessar muito a gente, o caso tridimensional.
    O que interessa muito, um jeito prático, de a gente entender com relação a LI e LD é que se existe um plano, se tenho três vetores Isso é para o caso de três vetores. Se existe um plano que contém os três vetores, eles vão ser sempre LD, que é o caso do "i", do "j" e do "p".
    Eu tenho um plano xy que contém os três vetores. Eles são sempre LD, porque um deles vai ser combinação linear dos demais.
    Então, se eu tenho três vetores e quero saber se eles são LI Para eles serem LI, eu não posso ter um plano que contenha os três. Por exemplo, o "i", o "j" e o "k", eu tenho o plano xy, que contém o "i" e o "j", mas não contém o "k".
    Eu tenho um plano xz que contém O plano xz para quem não enxergou está aqui. Ele contém o "i" e o "k", mas não contém o "j".
    Então, sempre que você tiver três vetores e não conseguir achar um plano que contenha os três, é porque eles vão ser LI. Se tiver um plano que contenha os três, eles vão ser LD, linearmente dependentes.
    Esses conceitos serão importantes para a nossa definição de base, como eu falei. Por ora, é importante só entender o que é linearmente dependente e o que é linearmente independente, e saber julgar quando vetores vão ser LI e quando vetores vão ser LD.
    Então, é isso. Muito obrigado pela atenção e até a próxima aula.
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