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Introdução e revisão de vetores - Teoria

Revisão sobre vetores e as operações de soma e produto por escalar

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    lockCombinação linear - Teoria

    lockDependência e Independência Linear - Teoria

    lockDefinição de espaço vetorial e exemplos - Teoria

    lockSubespaço vetorial - Teoria

    lockBase e dimensão - Teoria

    lockResumo - espaços vetoriais - Resumo

  • E aí, pessoal, tudo bom? Nessa parte do curso aqui, vamos começar a falar sobre vetores.
    Vamos mudar um pouco a perspectiva do que estávamos estudando, mas no final das contas o nosso objetivo vai ser estudar um pouco os sistemas lineares, sim. A gente vai continuar mexendo com matrizes e tal.
    Por ora vamos interromper um pouco para falar sobre vetores, e na última parte do curso juntaremos essas duas coisas. Vocês vão ver o que a gente pode fazer com isso.
    Nessa parte, a gente vai dar mais uma revisada sobre vetores e lhes mostrarei algumas propriedades, alguns conceitos importantes. Não vai ser nosso objetivo estudá-los a fundo.
    Há muito a ser estudado aqui, e em um curso de geometria analítica em três dimensões com tratamento vetorial, aí sim que se estuda com muita calma os vetores, as propriedades, enfim, tudo isso. Realmente, tem muita coisa a se estudar sobre vetores.
    Então, aqui vai ter um caráter mais revisional, e eu não vou dar muita importância para a interpretação geométrica. A gente vai trabalhar mais de forma analítica, mais a álgebra mesmo dos vetores, pois veremos como eles podem se relacionar depois com sistemas lineares.
    Por ora, a interpretação geométrica não vai nos interessar tanto. Interessará mais em um curso de geometria analítica, que não é bem do que a gente vai tratar aqui.
    Então, eu vou apresentar para vocês algumas ideias desse vídeo, mais uma revisão mesmo, algumas operações com vetores e como funciona, e eu representarei para vocês ao longo dessa parte de vetores algumas coisas que serão importantes para nós, alguns conceitos importantes, e lá no final do curso a gente vai tentar juntar essas coisas. Primeiro, o que é um vetor?
    A gente pode entendê-lo como um segmento orientado de reta. Ele tem um certo tamanho, que a gente chama de norma ou módulo, que não vai nos interessar tanto, mas é um segmento orientado de reta.
    Então, vamos ser bem práticos aqui, já que isso aqui é mais uma revisão. Não estudaremos tão a fundo.
    Para eu representar um vetor, uma vez que eu tenho a origem, tenho meu plano xy Estou falando, então, de vetores bidimensionais. Como eu represento um vetor?
    Meu vetor "V", eu represento da seguinte maneira Estando ele localizado aqui na origem, eu posso representá-lo assim. Eu represento pelas coordenadas.
    Então, a coordenada "x" do vetor "V" é 2 e "y" é 1. Então, está aqui, 2 e 1.
    Então, é parecido com o ponto. Eu não gosto de representar assim.
    Você pode representar assim também. O vetor "V" é o vetor (2;1). Só não gosto de representar assim pois confundimos com o ponto.
    Esse aqui seria o ponto (2;1). Você pega e pega esse ponto.
    Mas não, um vetor é mais do que isso. Seria uma seta que vai da origem até o ponto (2;1). Então, é um pouco mais do que isso um vetor.
    Não é só um ponto. Ele é um segmento orientado de reta.
    Pode representar assim, não tem problema nenhum, mas gosto de representar dessa forma só para diferenciar mesmo da notação usada para representar pontos. Então, eu particularmente não sou muito fã dessa aqui.
    Representaremos dessa forma, mas, no final das contas, é a mesma coisa. A gente representa com uma seta em cima justamente para a gente diferenciar, porque se eu coloco V=(2;1), eu estou falando de um ponto "V". Quando eu coloco a seta, seria o vetor "V".
    Isso por si só já ajuda a diferenciar, mas eu prefiro ainda mudar essa notação aqui. Mas isso aí é só questão de preferência mesmo.
    Não será tão importante para a gente não. Então, vamos lá.
    A gente tem um vetor "W" aqui. Vamos combinar que a gente vai usar essa notação aqui.
    O vetor "W", como eu representaria? É o vetor que vai da origem até o ponto "Q", "x" igual a 1 e "y" igual a 2.
    Então, o vetor "W" poderia ser representado da seguinte maneira <1;2>. Está aí, esse é o vetor "W".
    Você pode colocar uma vírgula ou um ponto-e-vírgula, o que você preferir. Eu represento vetores dessa forma.
    Se eu tiver três dimensões Se eu tivesse agora um eixo "z", por exemplo, eu poderia falar de um vetor "P", que é o vetor que tem coordenadas 0, 1 e 3, e por aí vai. Eu posso ter quantas dimensões for.
    Isso que é o legal dos vetores. Por mais que a interpretação geométrica fique difícil de ver se tiver um eixo a mais, quatro dimensões, eu posso dar sequência a essa ideia, colocar um vetor com quatro dimensões e tal, mas que geometricamente seja difícil de ver.
    A álgebra é a mesma que a gente trataria para duas dimensões e para três dimensões. Então, vamos focar na parte algébrica sobre vetores e definir algumas propriedades, agora que já sabemos como representá-los.
    Então, vamos lá. Olha só, sejam os vetores Coloquei aqui para a gente entender a soma primeiro.
    Sejam os vetores "a" Então, está aqui a1, a2, a3 e an, ou seja, isso aqui seriam, 1, 2, 3 Isso aqui são números reais. São as coordenadas do vetor.
    Igual a gente colocou ali, a isso aqui a gente dá o nome de coordenadas do vetor, 1 e 2. Então, está aí.
    Então, eu tenho esses vetores em "n" dimensões por enquanto. Então, está aí a matriz an e b1, b2, b3, bn.
    Como eu faço para somar dois vetores? Somar dois vetores é bem simples.
    Focando de novo na parte algébrica, se eu quiser o vetor "a" mais o vetor "b", é só eu somar aqui as suas coordenadas. Então, a primeira coordenada dele vai ser a1+b1.
    A segunda coordenada dele vai ser a2+b2, e por aí vai. A enésima coordenada dele vai ser an+bn.
    Então, eu somo as coordenadas, coordenada por coordenada. Se eu fizesse o vetor b+a, como ia ficar?
    Se eu fizesse o b+a, ia ficar b1+a1 na primeira coordenada, na segunda, b2+a2, e por aí vai, à enésima coordenada, bn+an. Só que esse bn e an são números reais.
    Se eu somar b2 e a2 e a2 e b2, dá na mesma coisa. Então, uma conclusão importante que a gente tira, é que aqui vale a comutatividade.
    A ordem dos fatores não altera o produto, diferente do que a gente viu, por exemplo, com matrizes. Então, a gente conclui que a+b=b+a.
    A comutatividade vale para os vetores. É importante isso aqui, não é?
    Continuando com esses vetores "a" e "b", vamos falar de outra coisa importante, que vai ser o produto por escalar. Se eu quiser fazer o vetor K.
    a, em que "K" é um número real Vou colocar aqui que "K" pertence aos reais. Produto por escalar é isso, multiplicar por um número real.
    Então, se eu fizer o vetor K.a, sendo esse aqui o meu vetor "a", é só eu multiplicar por "K" cada coordenada de "a".
    Então, eu distribuo. Esse é parecido em certo aspecto com produto de matriz por escalar.
    Então, vai ficar assim K.a1; K.
    a2, e por aí vai, à enésima coordenada K.an, então, fica tudo multiplicado por "K".
    Uma interpretação geométrica aqui, só se você quiser saber Está aqui o vetor "a". O que seria o vetor 2a, se o meu "K" é igual a 2?
    É o vetor que tem o dobro do comprimento de "a". Então, esse aqui é o meu vetor 2a.
    O que seria o vetor -a, multiplicado por -1? Vou inverter o sentido do meu vetor, e por aí vai.
    Geometricamente significa isso, mas, novamente, não vai ser o que a gente vai trabalhar no curso. Eu coloquei só para não ficar muito abstrato, mas de fato a gente vai mexer com essa parte um pouco abstrata.
    Inclusive, quando a gente tiver mais de três dimensões, fica até difícil de imaginar geometricamente o que significa. A gente vai trabalhar muito com a álgebra mesmo, e pouco com a geometria aqui.
    Essas duas operações são importantes, o produto por escalar e a soma de vetores. Já sabemos como representá-los, como somá-los, e como multiplicar por escalar.
    Essas vão ser as operações principais de que precisaremos com os vetores, pelo menos aqui no curso de álgebra linear. Então, é isso, pessoal.
    Muito obrigado e até a próxima aula . ...

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