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Subespaço vetorial - Teoria

Definição de subespaço vetorial e suas propriedades

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    lockResumo - espaços vetoriais - Resumo

  • E aí, pessoal, beleza? Agora, a gente vai concluir aquela ideia da aula anterior de espaços vetoriais, falando de subespaço vetorial, que vai ser um conceito que pode ser útil para a gente na próxima parte do nosso curso.
    O que é um subespaço vetorial? É importante que você tenha entendido o que é um espaço vetorial.
    Se não entendeu perfeitamente, volta lá e assiste com calma àquele vídeo. Mas a ideia é a seguinte Eu posso ter uma espaço vetorial que está contido em outro espaço vetorial.
    A isso, a gente dá o nome de subespaço vetorial. Então, ele tem que satisfazer as mesmas características que a gente viu na aula passada.
    Então, por exemplo, um exemplo bom Igual a gente pegou aqui, imagina que eu tenha o R² ou R³. A gente viu o que precisou pegar o R².
    Isso é um espaço vetorial. Tem vários vetores que, se eu os somo entre si, eu produzo vetores que continuam aqui, se eu multiplico por escalar, eu produzo vetores que continuam aqui, e por aí vai.
    A gente viu que a origem é um exemplo. Se eu pegar só essa origem, é um exemplo de espaço vetorial.
    Então, eu posso falar que a origem, por exemplo Vale para qualquer espaço vetorial. Como todo espaço vetorial tem que conter a origem, a origem é sempre um subespaço vetorial de qualquer espaço vetorial.
    Então, por exemplo, aqui eu estou falando do espaço vetorial R². Então, eu estou falando desse espaço vetorial bidimensional.
    Então, a origem seria um subespaço vetorial do R², por exemplo. Mas ela é subespaço vetorial de qualquer espaço vetorial.
    Isso é só um exemplo, mas vamos lá. Vamos melhorar um pouco isso aqui.
    Uma definição mais precisa seria essa aqui. Seja "W" um conjunto de vetores de "V".
    "V" é um espaço vetorial. "W" vai ser um subespaço vetorial de "V" se ele é fechado para adição e ele é fechado para a multiplicação por escalar.
    Ou seja, já usando aquelas ideias da aula passada, se eu pego dois objetos de "W" e somo, eu produzo objetos que continuam em "W". Se eu pego um objeto de "W" e multiplico por escalar, eu produzo um objeto que continua em "W", usando aquela mesma idade, e, como "W" já é um conjunto de vetores de "V", um espaço vetorial, então, ele já satisfaz todas aquelas características, porque se os vetores de "W" pertencem ao espaço vetorial, eles têm que satisfazer aquelas características todas, existência do elemento nulo, existência do elemento negativo, comutatividade, e por aí vai, tudo aquilo que a gente viu.
    Então, é só isso. É subespaço vetorial se ele é fechado para adição e para multiplicação.
    Então, os caras que eu somo, que eu multiplico por escalar, tem que continuar em "W". Ele vai ser um subespaço vetorial.
    Então, vamos ver um exemplo. Vamos continuar no R².
    Então, a gente está olhando o R². O sistema aqui é bidimensional, a gente sabe que é um espaço vetorial.
    Qualquer reta que passa pela origem vai ser também um subespaço vetorial do R², porque, pensa só, se essa reta passa pela origem, ela contém um elemento neutro, ela contém o vetor nulo, que precisa conter de fato para ser espaço vetorial, e precisa para ser subespaço também. Então, está aqui.
    O camarada já contém a origem. Então, precisa conter a origem.
    Segundo, qualquer elemento que eu pegar dessa reta, desse subespaço vetorial, pensa nesse vetor aqui Se eu multiplicá-lo por qualquer escalar, por exemplo, escalar 5, vai dar um vetor 5 vezes maior que ele. Por um escalar -5, vai ser 5 vezes maior que ele e vai estar orientado no sentido contrário.
    Continua contido aqui dentro. Se eu somar dois caras, vamos supor, esse cara aqui e esse cara aqui, se eu somo os dois, vai dar um cara com tamanho da soma desses dois tamanhos.
    Então, qualquer objeto nessa reta é fechado para adição e multiplicação por escalar. Se eu multiplicar por escalar o cara continua aqui, se eu somar dois caras, ele continua aqui, então, isso é um subespaço vetorial.
    Na verdade, qualquer reta que passa pela origem. Por que uma reta que não passa pela origem Por exemplo, se eu pegar essa reta aqui Se ela não passa pela origem, porque ela não é um subespaço vetorial?
    Porque eu posso pegar um cara que está para cá e um cara que está para cá do mesmo tamanho. Se eu somar esses caras, vai dar 0.
    Eles têm sentidos contrários e o mesmo tamanho. Só que o 0 está aqui.
    Não está contido aqui nesse subespaço. E para ser subespaço vetorial tem que ser fechado na adição.
    Então, se eu somasse esses dois caras, tinha que dar um cara que continuasse aqui dentro. Mas deu 0, e o 0 está aqui.
    O vetor nulo não está contido, então, eu preciso que contenha a origem. Sempre que estivermos falando sobre espaço vetorial, preciso que ele contenha a origem.
    Uma outra ideia também, se eu tenho R², a própria origem é subespaço vetorial, como a gente acabou de falar ali em cima. Vamos ver um contra-exemplo aqui, na verdade.
    Então, a gente continua no R², e estou tratando da seguinte região do R², o primeiro quadrante. Então, eu quero "y" maior ou igual a 0.
    Eu tenho que incluir a origem. "y" pode ser 0, "x" pode ser 0 também, é maior ou igual.
    Então, o 0 está incluso. A origem está inclusa.
    Então, eu estou trabalhando nessa região. Vamos pensar, eu tenho a origem.
    Será que isso vai ser um subespaço vetorial? Pensa comigo o seguinte.
    Vamos supor que eu tenha esse vetor aqui. Vamos dizer que é um vetor simples, <1;1>.
    Então, está aqui o vetor <1;1>. Então, está aqui um elemento do meu subespaço.
    Então, está aqui o meu vetor "V", o vetor <1;1>. Ele tem que ser fechado para multiplicação por escalar.
    Se eu multiplicar esse cara por escalar, eu tenho que produzir um cara que continua nesse subespaço vetorial. Pensa no vetor -V.
    Ou seja, vou multiplicar pelo escalar -1. -1 vezes "V", ou -V.
    Vai dar qual vetor? Eu multiplico todos os componentes desse vetor por -1.
    E aí, esse cara está aqui. Olha só o que aconteceu.
    O <-1;-1> está aqui. Então, eu multipliquei esse cara por um escalar, esse objeto no espaço vetorial, do meu possível subespaço, multipliquei-o por um escalar e gerou um cara que não está contido nesse local, nesse possível espaço vetorial.
    Então, ele não é subespaço vetorial, porque ele não é fechado para multiplicação por escalar. Multipliquei por escalar e ele gerou um cara que não está contido no meu conjunto.
    Então, por exemplo, isso não é um espaço vetorial. Isso aqui seria um contra-exemplo.
    Não é subespaço vetorial do R². Não é subespaço vetorial.
    Beleza? Então, está aí, pessoal.
    A ideia de subespaço é bem parecido com a de espaço, só que a gente pega regiões limitadas de um espaço vetorial. A gente pega só determinadas regiões para analisar.
    Espero que com esse vídeo tenha ficado totalmente clara essa ideia de espaço vetorial, e na próxima parte do nosso curso ainda tem mais aula dessa aqui que vai ser a parte de base. Nós vamos retomar os conceitos de combinação linear, dependência e independência linear, que será importante para a nós e a gente vai para a próxima fase, onde a gente vai juntar as matrizes com os vetores, e vai discutir uma ideia muito legal também.
    Então, é isso. Muito obrigado pela atenção e até a próxima aula.
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