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Equação Fundamental da Estática - Teoria

Estudo sobre a equação encontrada na análise das forças nos fluidos e sobre como ela é aplicada para fluidos compressíveis e incompressíveis.

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    lockForças nos fluidos - Teoria

    lockEquação Fundamental da Estática - Teoria

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    lockResumo - estática dos fluidos - Resumo

  • Salve aí, galera. Agora que a gente já aprendeu como funciona as forças do fluidos, nesta aula a gente vai entender melhor a equação fundamental da estática e como melhor aplicá-la no nosso dia-a-dia.
    Na última aula, a gente aprendeu como determinar o diferencial de pressão de um ponto de acordo com o diferencial de sua altura, que é a chamada lei de Stevin. Porém, ao tentarmos determinar essa equação, a gente vai encontrar dois tipos de comportamento diferentes.
    Um para os fluidos incompressíveis E outro para os fluidos compressíveis. Então, vamos continuar, para entender por que isso acontece.
    Para analisar o caso dos incompressíveis, vamos observar este exemplo. Consideramos aqui no recipiente um fluido incompressível, e, em sua superfície superior, um ponto que chamaremos de 2, e no seu interior, um ponto qualquer que chamaremos de 1.
    Nós sabemos que os fluidos incompressíveis possuem uma característica peculiar, que é a sua densidade constante. Sendo assim, a gente pode integrar essa equação sem considerar mais nada.
    Integrando o diferencial de altura e o diferencial de pressão. E essa integral vai variar entre os pontos 1 e 2, tanto na altura, que, nós lembramos que é o eixo "z", na vertical, quanto na pressão.
    Então, resolvendo essa integral, a gente pode escrever essa equação da seguinte forma Tendo P1 menos P2, já tirando o sinal negativo que estava do outro lado, igual a gravidade vezes a densidade, vezes, abre parênteses Z2 menos Z1. Então, jogando P2 para o outro lado, para isolar P1, nós temos que P1 será gravidade vezes densidade, vezes "h", que nada mais é que a diferença de altura entre dois pontos, mais a pressão em 2.
    Com isso, nós podemos definir que esse P2 será a pressão atmosférica, que é a pressão que está atuando no ponto 2 na superfície superior do fluido, como a gente vê nessa setinha aqui. Então, observamos que essa equação define a pressão em um ponto qualquer no interior do fluido de acordo com a sua altura, ou melhor, a sua profundidade, dentro do fluido.
    Com base nisso, a gente pode tirar muitas conclusões. Por exemplo, consideramos aqui um outro reservatório aberto às superfícies.
    Consideramos que nós tenhamos um fluido azul que chamaremos de fluido 1, e também um fluido vermelho que chamaremos de fluido 2. Consideramos ainda imerso no meio do fluido 2 um ponto "P" qualquer.
    Se nós quisermos expressar a pressão do ponto "P", nós podemos escrevê-la da seguinte forma Pressão "P" vai ser igual à pressão realizada pelo fluido 1, que é o fluido azul, mais a pressão realizada pelo fluido 2, que é o fluido vermelho, com base na altura do ponto "P" para a superfície desses fluidos, mais a pressão atmosférica, que também vai atuar nesse reservatório, e está dentro da atmosfera. A partir dessa conclusão, a gente pode definir algumas aplicações práticas dessa fórmula.
    Por exemplo, vemos aqui um conjunto de vasos comunicantes, cada um de uma forma, e que em três deles nós tenhamos o mesmo tipo de fluido, que vamos representar pela caneta azul. E no nosso quarto vaso comunicante, nós vamos ter um fluido vermelho, diferente do fluido azul, e aqui, a sua área de interface.
    Então, nós vamos definir para o fluido azul a densidade 1, e, para o fluido vermelho, a densidade 2. Então, nesse sistema, nós vamos ter, para a altura da linha de interface, que a pressão de 1 é igual à pressão de 2.
    Deixando bem claro que é para essa altura, que nos vasos comunicantes com o fluido 1 será igual, e nos vasos comunicantes do fluido 2 será diferente para aqueles de fluido 1. Então, reescrevendo essa equação com a fórmula que acabamos de encontrar, nós temos que a densidade de 1 vezes a gravidade, vezes a altura do vaso de 1 é igual à densidade de 2 vezes a gravidade, vezes a altura do vaso 2.
    Então, a gente percebe que as variáveis estão na densidade para cada um dos fluidos, e na altura de cada um dos vasos comunicantes, igualando a pressão em um e no outro. Agora, vamos analisar o caso dos compressíveis.
    Para os fluidos compressíveis, nós não vamos trabalhar com a condição da densidade constante. Portanto, vamos trabalhar com a densidade variante.
    Porém, não é em todo caso que a densidade vai variar de forma signifivativa. Por exemplo, para pequenas variações de altura, nós vamos ter também uma pequena variação na densidade.
    Portanto, a gente pode considerá-la constante nesse caso. Já para grandes variações de altura, e isso eu digo na casa dos quilômetros, nós vamos ter uma variação significativa na densidade, e aí, sim, vamos trabalhar com a densidade variante.
    Então, para as pequenas diferenças de altura, nós podemos usar a equação dos fluidos incompressíveis, que é densidade vezes gravidade, vezes altura. Já para as grandes variações, nós temos que considerar a equação dos gases perfeitos, que relaciona densidade com a pressão.
    E, para utilizar na nossa equação, nós vamos ter que isolar a densidade, para substituí-la. Então, nós podemos escrever que o diferencial da pressão sobre o diferencial da altura, vai ser igual a gravidade vezes a pressão, sobre o "R", que é a constante do gás, vezes o "T", que é temperatura.
    Então, nós podemos reorganizar a equação para fazer a integral Deixando de um lado a diferencial de pressão sobre a pressão, que trocou de lugar com a diferencial de altura. Resolvendo essa integral, variando de 1 para 2, nós vamos ter que o resultado é um logaritmo neperiano de P2 sobre P1, e isso vai ser igual a gravidade sobre o "R" vezes a integral de (dZ)/T, variando de Z1 a Z2. Vamos agora trocar de folha, para continuarmos nosso raciocínio.
    Então, calculando as integrais de forma a isolá-las de P2 para compará-las com P1, nós vamos ter que o P2 será igual ao P1 exponencial Vale ressaltar que o sinal negativo ainda se encontra na equação. Eu apenas esqueci de colocá-lo nas outras.
    Negativo de gravidade, que multiplica Z2 pelo Z1, sobre o "R" vezes o "T". É importante também ressaltar que testamos essa fórmula porque nós desconsideramos a variação de temperatura na altitude.
    Então, está aí a equação da variação de pressão entre dois pontos para os fluidos compressíveis. Vamos fazer agora um exemplo para fixar melhor a aplicação dessa fórmula.
    Vamos às raízes do exemplo. A variação da altura será de 381m.
    Estamos falando aí de um prédio bem alto. Vamos considerar a temperatura constante na casa dos 15 graus Celsius.
    Vamos considerar também o peso específico do gás "A", que nós sabemos que a densidade vezes a gravidade é igual a 12,01 N/m³. Vamos considerar também o "R", a constante do gás, como sendo 236,9 J/Kg.
    K. Então, vamos aplicar esses valores na fórmula para descobrir a relação entre a pressão na superfície e na altura dada, primeiro considerando que o ar atmosférico é compressível.
    Então, vamos lá. Utilizando essa fórmula, nós vamos ter que P2/P1, Apenas jogando o P1 para o outro lado, vai ser igual à exponencial e agora é só substituir os valores.
    -9,81, que é o valor de gravidade, vezes a diferença de altura, que é 381m, sobre o "R", que é 286,9, multiplicado pela temperatura de 288. 288, na verdade, é 15 graus Celsius expressos em Kelvin.
    Então, fazendo essa conta, nós vamos descobrir que P2/P1 é aproximadamente 0,956. Vamos fazer agora, considerando o ar atmosférico, um fluido incompressível, nessa variação de altura.
    Depois, vamos relacionar os valores obtidos. Então, temos que P2/P1 vai ser igual a 1 menos peso específico, que é densidade vezes gravidade, vezes a altura, também sobre P1.
    A gente só pegou aquela primeira equação dos fluidos incompressíveis e dividiu todos os termos por P1. Então, substituindo os valores, nós vamos ter que 1 menos o peso específico vezes a diferença de altura sobre 101,3 vezes 10³, que é um valor tabelado em Kilo Pascal que representa a pressão atmosférica na altitude da superfície, que é o que a gente está considerando, e é P1.
    Então, nós vamos ter que essa relação de P2 com P1 para fluidos compressíveis será 0,955. Então, com isso, a gente observa a relação próxima entre os valores, comprovando a nossa tese de que para variações de altura antes da casa dos quilômetros, nós podemos considerar um fluido "E" como incompressível, desconsiderando a variação da densidade.
    Então, é isso, galera. Essas foram as equações fundamentais da estática para fluidos compressíveis e incompressíveis.
    Aguardo vocês na próxima para continuarmos o nosso estudo. ...

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