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Força Hidrostática - Teoria

Como calcular o valor teórico das forças exercidas nas superfícies (planas ou curvas) dos sólidos submersos.

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    lockForças nos fluidos - Teoria

    lockEquação Fundamental da Estática - Teoria

    lockMedidores de pressão - Teoria

    lockPrincípio de Pascal - Teoria

    lockForça Hidrostática - Teoria

    lockEmpuxo, Flutuação e Estabilidade - Teoria

    lockResumo - estática dos fluidos - Resumo

  • Fala aí, galera. Agora que a gente já viu importantes propriedades da mecânica dos fluidos, vamos aprender um pouco sobre as forças hidrostáticas.
    E como força hidrostática, nós vamos entender aquelas que na atuam nas superfícies dos corpos submersos. Primeiro, vamos analisar o cálculo da força hidrostática na superfície plana.
    No exemplo, vamos admitir que a superfície vai estar a um ângulo teta da superfície de fluido. Aqui, os eixos "x" e "y" representam a nossa superfície.
    Então, vamos desenhar aqui uma superfície qualquer para representar o nosso exemplo. Então, vamos lá.
    No cálculo do diferencial da força que atua na nossa superfície, a gente pode relacionar a equação da pressão com a área. Então, a pressão, a gente já sabe que é densidade vezes gravidade, vezes altura, que, no nosso caso, vai ser a altura da superfície do fluido até o ponto onde o diferencial da força está sendo aplicado, como a gente está representando aqui E aqui, abaixo da diferencial da força, o diferencial da área, que vai ser a pequena área onde a força está sendo aplicada.
    Então, continuando nossa análise, vamos trabalhar nessa equação e vamos pôr o diferencial da área no outro lado. Então, isolando o diferencial da força, nós vamos ter que ele vai ser igual a densidade vezes gravidade, vezes altura, vezes o diferencial da área.
    Outra análise que a gente pode fazer é que a altura pode ser expressa como a cota eixo "y" vezes o seno do ângulo teta, descobrindo a cota em "y", essa distância aqui no eixo "y" da área que está sendo analisada. Portanto, nós podemos utilizar essa equação em função de "y".
    Então, o diferencial da força pode ser reescrito como densidade vezes gravidade, vezes o "y", vezes o seno de teta, vezes o diferencial da área. Então, com a equação nesse formato, a gente pode integrar os dois lados, para continuar a nossa análise de cálculo.
    Então, pegamos o diferencial da força e o diferencial da área. Então, podemos escrever que a integral do diferencial da força é a força resultante, que é a soma de todas as forças que atuam na superfície em análise.
    Isso vai ser igual a densidade vezes gravidade, vezes o seno de teta. Vamos separar aqui a integral do "y" vezes dA, para fazer uma outra análise.
    Vamos lá. Essa integral de y.
    dA vai nos dar a nossa altura "y" vezes a área. E essa altura "y", nós podemos chamar de yc, que é a posição do centroide do nosso corpo isento com relação ao eixo "y".
    Então, nós podemos jogar esse valor na equação da força resultante. Vai ficar força resultante igual à densidade vezes a gravidade, vezes a área, vezes o yc, vezes o seno de teta.
    Por sua vez, esse yc vezes seno de teta pode sofrer uma análise como a gente fez agora há pouco. yc vezes seno de teta pode ser igual ao hc, que vai ser, como nós já vimos aqui anteriormente, a altura da superfície do fluido para o ponto onde está sendo aplicada a força resultante.
    Então, jogando na equação da força resultante, nós vamos ter que força resultante é igual à densidade vezes a gravidade, vezes hc, vezes a área que está sendo estudada. E, com essa fórmula, a gente consegue identificar a força resultante que está atuando na área que estamos estudando.
    Porém, a atuação da força resultante não é, como nós pensamos, no centro da massa da nossa área, que vai ser o chamado centro de pressão. E para definir esse ponto, a gente pode dizer que é de coordenadas x' e y'.
    Então, para definir uma equação que nos gere a coordenada do centro de pressão, precisamos entender que o momento gerado pela força resultante no eixo "x" vai ser sua coordenada em "y" vezes o seu módulo, igual ao momento gerado pela soma das outras forças que atuam na área, também no eixo "x". Vai ser coordenada "y" vezes o diferencial da força, tudo isso integrado.
    Então, a gente pode substituir essa integral por uma integral. O "y" vezes a densidade, vezes a gravidade, vezes a altura do ponto da superfície do fluido.
    Para continuar o trabalho dessa equação, a gente pode retornar com o nosso conceito de que o "h" pode ser expresso como coordenada "y" vezes o seno de teta. Então, vamos substituir a altura nessa equação e reescrevê-la.
    Como existe "y" na equação, a gente pode colocar agora y². Então, continuando, agora vamos desmembrar a força resultante, que a gente acabou de calcular agora há pouco e pode ser expressa como densidade vezes a gravidade, vezes a coordenada "y" do seu ponto de atuação, vezes o seno do ângulo.
    Então, nós já vamos substituir nessa equação e jogar para o outro lado, e vai ficar como y' igual a tudo isso Lembrando que aqui também é multiplicado pela área. Então, agora, com a equação dessa fórmula, a gente pode cortar esses dois termos iguais.
    Então, o y', que é a coordenada "y" do centro de pressão, pode ser expressa como integral do y², vezes diferencial da área, sobre coordenada yc vezes "A". Então, nós vamos observar que o numerador dessa equação é o chamado momento de segunda ordem do eixo "x", que nós podemos chamar também de momento de inércia, representado pela letra Ix.
    Então, ele pode ser escrito como momento de inércia do eixo "x" que passa pelo centroide, que é o nosso ponto de estudo mais a área, vezes a coordenada yc². Então, vamos substituir agora na nossa equação para ficar mais claro de visualizar.
    Vamos colocar dessa maneira para ficar mais fácil quando nós fomos cortar alguns dos termos da nossa equação. Então, agora a gente pode cortar yc e "A".
    Então, a nossa coordenada do centro de pressão de "y" vai ser expressa como momento de inércia, que passa pelo "x"e xc sobre coordenada yc vezes a área, mais coordenada yc. Cabe ressaltar que essa coordenada do centroide é a coordenada do ponto central da nossa peça.
    Então, de maneira análoga, a gente pode escrever a coordenada "x" do centro de pressão como o produto de inércia entre os eixos "x" e "y", nosso centroide, sobre a coordenada yc vezes "A" mais a coordenada xc. Aqui, a gente utiliza o produto de inércia porque, quando fizermos a conta, aqui não vai dar y², e sim "x" vezes "y".
    E essas são as coordenadas do ponto de atuação da força resultante. Agora, vamos estudar o caso das superfícies curvas.
    No caso das superfícies curvas, nós vamos ter que admitir que haverá a situação das forças nos três eixos. Portanto, se nós quisermos achar a força resultante, nós temos que igualá-la à força resultante em "x" vezes o versor "i", mais a força resultante em "y", vezes o versor "j", mais a força resultante em "z", vezes o versor "k".
    Vamos relembrar aqui que a representação gráfica dos eixos é a seguinte O eixo "z" está na vertical. O eixo "y", aqui.
    E o eixo "x", aqui. Portanto, esses eixos "x" e "y" vão formar o que nós vamos chamar de forças horizontais, e o valor resultante dessas forças pode ser expresso como a integral da pressão vezes o diferencial da área em que estará atuando.
    E essa expressão pode permitir permite analisar o caso das forças horizontais como um caso de superfície plana. Então, representando graficamente, a força estará atuando ali.
    E, na superfície curva, também, da mesma forma. Então, resolvendo essa integral, nós vamos ter que a força resultante horizontal vai ser igual à pressão multiplicada pela área da nossa superfície curva.
    E essa força resultante horizontal compreende as forças dos eixos "x" e "y". Para o cálculo da força resultante vertical, nós podemos iniciar o nosso estudo com a mesma equação.
    Sendo a força resultante vertical igual à integral da pressão vezes o diferencial da área. Porém, como haverá variações de altura, nós temos que desmembrar a equação, ficando dessa forma Esse dA é a área com relação à vertical.
    Então, nós podemos pegar esses dois termos e substituir pelo diferencial do volume. Vou reescrever essa equação para ficar melhor de visualizar.
    Então, agora, resolvendo essa integral, nós vamos ter que a força resultante vertical vai ser igual à densidade vezes a gravidade, vezes o volume da coluna que está em cima da superfície. Então, graficamente falando, a força resultante agirá dessa forma.
    Então, por fim, se nós quisermos achar o módulo da força resultante sobre as superfícies curvas, é só nós fazermos como componentes normais, sendo o módulo da força resultante igual à força resultante horizontal ao quadrado, mais a força resultante da vertical ao quadrado, tudo isso dentro de uma raiz. Então, é isso, galera.
    Essa foi a nossa análise sobre as forças hidrostáticas. Vamos aguardar vocês na próxima aula.
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