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Áreas entre curvas e volumes de revolução - Teoria

Determinação da área entre curvas utilizando os conceitos de integral. Método dos discos e das cascas cilíndricas para determinação de volumes com integral.

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    lockÁreas entre curvas e volumes de revolução - Teoria

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    lockIntegrais - Resumo

  • Fala, pessoal de Cálculo I, tudo bem com vocês? Estamos chegando na reta final do nosso curso.
    Em nossa penúltima aula, vamos estudar, agora, as aplicações de integral. A primeira delas vai ser sobre a área entre curvas.
    Considere uma região S que se encontra entre duas curvas, y igual a f de x e y igual a z de x, e entre as retas verticais, x igual a a, e x igual a b, onde f e g são funções contínuas e a função f é maior que a função g, que tá acima dela, em todo o intervalo a-b. Então, pra gente determinar uma área entre essas duas curvas, aqui, entre as duas curvas, dessa região f, nós podemos utilizar um retângulo típico em toda essa analogia gráfica ou utilizar retângulos aproximantes, como foi o caso que nós utilizamos lá naquelas nossas primeiras aulas de integral, fazendo a soma das áreas de cada um desses retangulozinhos e determinando, portanto, a área que se quer buscar.
    Essa aproximação parece tornar-se cada vez melhor quando n tende ao infinito, ou seja, quanto maior for o número de retângulos que nós utilizarmos aqui. Portanto, definimos a área a da região S como valor limite das somas das áreas desses retângulos aproximantes.
    De novo, a mesma coisa que nós utilizamos anteriormente. A única diferença é que lá nós tínhamos uma única curva e aqui nós temos duas, a f e a g.
    Como a f tá acima da função g em todo o intervalo a-b, então vai ser o limite quando ele tende ao infinito do somatório das áreas, tá, de f de x-i-estrela menos g de x-i-estrela, delta x. De novo aquela mesma propriedade é válida.
    Cada um deles tem comprimentinho delta x, etc. e tal.
    A f é maior do que a g, por isso f menos g, porque f está acima da função g. Reconhecemos o limite na fórmula ao lado, assim como a integral definida de f menos g.
    A área A da região limitada pelas curvas f de x, g de x pelas retas x igual a a e x igual a b pode ser escrita, portanto, se é o limite de uma soma de rima, podemos escrever como a integral de a até b da função que está acima, então essa função de cima, menos a g de x, que é a função de baixo. Por exemplo, encontre a área das regiões delimitadas pelas parábolas y igual a x ao quadrado e y igual a 2x menos x ao quadrado.
    Nós já verificamos aqui as interseções, tá, entre as duas curvas. Pra isso, você iguala essas equações.
    Faz que x ao quadrado seja igual a 2x menos x ao quadrado. Aí, você acha esses pontos daqui, tá?
    O ponto 0,0 e o ponto 1,1. Então, eu quero exatamente essa área daí, tá certo?
    Então, depois de achadas as interseções, tá, a gente sabe, tá, que as fronteiras superior e inferior, tá, dessa curva são: y superior vai ser 2x menos x ao quadrado dessa área que a gente quer calcular, que é essa daqui, que tá acima, tá certo? E a y inferior vai ser x ao quadrado, a curva x ao quadrado, que é essa daqui.
    OK? Então, a gente já sabe que a área de uma curva vai ser a integral de a até b.
    A nossa interseção parte de x igual a zero e vai até x igual a 1. Então, de zero até 1 tá certo?
    De A curva que tá em cima, que é 2x menos x ao quadrado, menos a curva que está embaixo, que é x ao quadrado, dx, que eu estou integrando em x. Portanto, a área é a integral de zero até 1 de 2x menos x ao quadrado menos x ao quadrado.
    É a integral de zero até 1 de 2x menos 2x ao quadrado, dx. OK?
    E aí, a gente pode reescrever essa área Podemos reescrever essa área como sendo a integral Duas vezes, né, vamos fazer assim, a integral de zero até 1, De duas vezes x menos x ao quadrado, dx, que é duas vezes a integral de zero até 1 de x menos x ao quadrado, dx. E isso é igual a duas vezes, utilizando as primitivas, x ao quadrado sobre 2 menos x ao cubo sobre 3, isso daqui é uma integral definida, portanto não precisa incluir a constante c, variando de zero até 1.
    Com isso, eu vou determinar e achar o valor dessa área, tá, desse nosso dessa nossa curva. Aí eu preciso determinar aqui, fazendo O zero vai zerar tudo, tá?
    Então, é só substituir pelo 1. Então, vai ficar duas vezes 1/2 menos 1/3.
    OK? E, com isso, é muito fácil da gente determinar qual é o valor dessa nossa área que nós temos aqui, tá, que vai ser duas vezes 1/2 menos 1/3, o MMC aqui vai dar 6, certo?
    Então, 3 vezes 1, 3. 2 vezes 1 dá -2, então vai ficar 1/6 aqui, e aí, cortando esse com esse, a nossa área vale 1/3, OK?
    Como a gente não tem valor nenhum, a gente coloca unidade de área, tá, que vai ser qualquer unidade de área que você queira escolher para o problema. Outra aplicação diz respeito aos volumes.
    Na tentativa de encontrar o volume de um sólido, nos deparamos com o mesmo tipo de problema para calcular áreas. Temos uma ideia intuitiva do significado de volume, mas precisamos torná-la precisa, usando o cálculo, para chegar à definição exata do mesmo.
    Suponha que eu tenha esse meu sólido S, OK, entre a e b, e eu coloque uma lâmina aqui que vai fatiar esse meu sólido, determinando essa área A de x aqui. OK?
    E é a partir dela que vai ser modelado nosso exercício. Seja S um sólido que está entre x igual a a e x igual a b, e se a área da secção transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x, que é a nossa lâmina, é Ax, onde A é uma função contínua, o volume nada mais vai ser do que a integral da área, concorda?
    A integral de A de x-i-estrela, somatório limite, quando ele tende ao infinito, do somatório, de A de x-i-estrela vezes delta x que é a integral de a até b de A de x, dx. OK?
    Tá aqui então os desenhos representativos. Por exemplo, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y igual a x ao cubo, y igual a 8 e x igual a zero, em torno do eixo y.
    A região, tá sendo mostrada aqui na nossa figura, tá, e o sólido, né, resultante, que a gente vai ter, vai ser exatamente esse daqui quando a gente girar no eixo y, tá? Então, quando eu giro, quando eu faço esse giro aqui, eu obtenho este tipo de sólido.
    Como a região é girada ao redor do eixo y, faz sentido que a gente fatie esse sólido perpendicularmente ao eixo y, e, portanto, a gente vai integrar em relação a y, tá? Então, a gente sempre fatia o sólido, a gente sempre gera fatiazinhas assim, tá, ou fatiazinhas verticais ou horizontais.
    Então, é sempre válido que a gente fatie esse sólido pra verificar sempre na direção do eixo buscado. Tá certo?
    Então, a gente vai determinar o seguinte. Se fatiarmos uma altura y, obteremos um disco circular, que é esse daqui que tá representado, tá, com um raio x.
    E aí, x, a gente sabe, tá aqui também representado, é a raiz cúbica de y. Se y é x ao cubo, então x é a raiz cúbica de y.
    OK? Portanto, a área de y nada mais é do que pi x ao quadrado, e a gente sabe, né, que a área de um círculo é sempre pi x ao quadrado, pi r ao quadrado, se o raio é x, pi x ao quadrado, e se x é a raiz cúbica de y raiz cúbica de y ao quadrado.
    OK? A gente pode representar isso daqui como pi y elevado a 2/3.
    O volume do cilindro nada mais é do que A de y Então, o volume é A de y vezes delta y. OK?
    Então, é pi y elevado a 2/3 vezes delta y. O volume, portanto, vai ser a integral de zero até 8, porque eu tô fatiando verticalmente, tá, no sentido daquele eixo que eu girei, então, se eu girei em torno do eixo y, a integral vai estar em função de y da nossa própria área de y.
    A gente viu que o volume é a integral da área. Então, vai ser a integral de zero até 8 de pi y elevado a 2/3, dy.
    Pi é constante, sai pra fora. Então, pi integral de zero até 8 de pi y elevado a 2/3, dy.
    Se eu resolvo essa primitiva daqui eu vou obter pi, que multiplica 3/5 de y elevado a 5/3, variando de zero até 8. Substituindo, eu vou determinar e achar 96 pi sobre 5 unidades de volume.
    Essa é a nossa resposta para o nosso exercício desse volume com a integral. Na próxima aula, nós vamos para a nossa última aula de Cálculo I, e ela fala sobre equações diferenciais e as suas relações com a integração, dando continuidade às aplicações de integral.
    Eu espero você, até lá. ...

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