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Equações diferenciais elementares - Teoria - parte 1

Equações diferenciais ordinárias - EDOs: definição e aplicações. Soluções de equilíbrio. Modelo logístico e crescimento populacional. Campo de direções.

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    lockResumo - Integrais - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto, tudo bem? Olha, finalmente nós chegamos à nossa última aula do nosso curso de Cálculo I.
    Quantas coisas nós aprendemos ao longo desse curso! Eu confesso que eu vou até ficar com saudade de você e da sua presença aqui durante as nossas aulas.
    Mas vamos lá. Vamos começar, porque ainda não acabou, não.
    Vamos terminar o nosso curso, então, com chave de ouro, falando sobre as equações diferenciais ordinárias. Alguns fenômenos são modelados pelas chamadas equações diferenciais, como, por exemplo, o decaimento radioativo, o fluxo de calor em uma barra e o crescimento populacional e uma série de modelos logísticos.
    Equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais derivadas de uma função. Nós temos dois tipos de equações diferenciais.
    Uma equação diferencial ordinária, que é chamada de EDO e que a gente vai estudar, aqui, um caso muito simples dela, mas que é muito importante, que utiliza os conceitos de integral, onde nós temos funções de apenas uma variável A gente vê isso muito aqui em Cálculo I, e futuramente em Cálculo IV. e uma EDP, que são equações diferenciais parciais, com funções de mais de uma variável, que são vistas em cursos mais avançados de Cálculo.
    A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que ocorre na equação. Por exemplo, se eu tenho 7 dy/dx, né, que eu posso substituir esse dy/dx por y', menos 4y ao cubo igual a cosseno de exponencial de y, e isso daqui é uma equação diferencial.
    Por quê? Porque eu tenho, nessa equação, uma derivada.
    Então, toda equação, tá, que tem que relaciona uma ou mais derivadas de uma função, é chamada de equação diferencial. Nesse caso daqui, eu tenho uma equação diferencial ordinária porque ela só tá variando em função de uma variável, meu y', que é um y' de x, varia somente com relação a uma variável, e ela é EDO de ordem 1, porque o termo, tá, a derivada mais alta que ocorre nessa equação é y', uma linha.
    Então, com isso, EDO de ordem 1. Esta aqui, por exemplo, 4y'', é, portanto, uma EDO de ordem 2.
    E essa daqui, que envolve derivadas parciais Veja que essas derivadas, elas estão variando, né, estão relacionando funções de mais de uma variável, portanto são EDPs, que são estudadas somente em cursos muito mais avançados de Cálculo. Uma exemplo que a gente citou lá anteriormente, né, foi o modelo logístico, que diz respeito ao crescimento populacional.
    Muitas vezes ele foi modelado por equações diferenciais. Muitas coisas, né, como nós vimos.
    A equação do calor, a equação da onda, a lei de decaimento radioativo, fluxo de calor numa barra, uma série de coisas que são modeladas pelas equações diferenciais. Então, o modelo logístico, ele é muito importante e utilizado foi muito utilizado, né?
    Esse modelo surgiu por volta de 1840, então ela respeitava duas premissas. dP/dT, que é a taxa de crescimento da população, é igual a cP se o P for muito menor que k.
    k seria uma capacidade de suporte, tá? Ou seja, a população, ela ia crescendo, né, e o dP/dT ia diminuindo, ia sendo menor do que zero, a população ia diminuindo de crescimento se essa capacidade de suporte fosse menor do que a população.
    E isso é bem lógico, né? Conforme a população vai crescendo, existem variáveis, né, que asseguram o desenvolvimento da mesma.
    Se a população é muito maior, tá, do que essa capacidade de suporte, você não tem muito crescimento populacional. As pessoas começam a não conseguir, por exemplo, se alimentar e etc.
    OK? Então, considere essa nossa equação diferencial que modela o modelo logístico.
    dP/dT é igual a cP que multiplica 1 menos P sobre k. Essa daqui é a equação completa, OK, que nós temos.
    E aí, o que que acontece? A gente vai representar isso daqui num modelo logístico.
    OK? Então, inicialmente, a gente tem o que nós vamos utilizar, né, de soluções de equilíbrio, tá?
    O que que é uma solução de equilíbrio? Uma solução de equilíbrio ocorre quando a derivada é nula.
    Nesse nosso caso, quando dP/dT é igual a zero. Então, toda vez, a derivada Podia substituir aqui por P' de T, se eu quisesse, dava no mesmo.
    Condição de equilíbrio é quando essa derivada é sempre igual a zero. Então, vamos responder aqui o seguinte.
    Se dP/dT, que é o que a gente queria, né, é igual a zero, significa duas condições, né, que nós temos aqui. Vai ficar, né, c vezes P, que multiplica 1 menos P sobre k, e isso daqui é igual a zero.
    Então, das duas uma, né? c é uma constante real que é diferente de zero, tá?
    Então, com certeza a gente pode ter aqui, ou P é igual a zero, inicialmente, uma das condições para que esse produto daqui seja zero Ou P é igual a zero, tendo em vista que c é uma constante positiva, tá, uma constante real positiva, ela é diferente de zero, com certeza, então P, né, vai ser igual a zero, ou 1 menos P sobre k tem que ser igual a zero. E aí, 1 menos P sobre k igual a zero vai acabar nos deixando, se a gente resolver, tá, k menos P sobre k é igual a zero, etc.
    , a gente chega na conclusão aqui de que P é igual a k nesse sentido aqui, porque eu vou ficar com P sobre k igual a 1, tá, multiplicando em cruz, eu obtenho P igual a k. Então, P igual a k e P igual a zero são as chamadas soluções de equilíbrio da equação diferencial.
    Então, se eu represento aqui Vamos representar o P igual a zero. Não dá pra ver muito bem, né, porque é uma reta horizontal, mas tá aqui, P igual a zero, tá?
    E eu vou colocar aqui uma P igual a k. Vou marcar aqui a P igual a k, que também vai ser outra reta horizontal aqui em cima, num certo valor k, num determinado valor k que eu tenho aqui.
    OK? E aí é aqui que vai representar o nosso modelo logístico, tá?
    Nosso modelo logístico, se eu plotar essa equação diferencial aqui pra representar esse modelo logístico, o modelo logístico tem mais ou menos esse jeitão daqui, tá? O que que significa isso?
    Nada mais nada menos do que justifica o que tá escrito aqui anteriormente, tá? Conforme eu vou atingindo essa minha capacidade de suporte, né, essa minha condição de suporte que eu vou atingindo daqui, a minha população, ela vai sendo equilibrada, tá?
    Essa minha população P aqui. E aqui, obviamente, eu tenho o meu tempo t.
    Nesse eixo aqui eu tenho o tempo t. Então, conforme o tempo vai passando, né, essa minha população, ela vai crescendo até atingir uma determinada capacidade de suporte.
    Se essa capacidade de suporte, tá, ela é menor do que a população, ou seja, se eu não forneço as condições necessárias pra que a população se desenvolva, esse crescimento, ele ocorre de maneira mais lenta ou até, inclusive, não se dá, ele fica menor. A população não cresce, OK?
    Agora, se você fornece condições e capacidade de suporte, se a população, ela é muito menor, né, do que a capacidade de suporte, você tem um crescimento populacional. Essa taxa de crescimento é maior.
    OK? Isso daqui é só pra ilustrar, então, esse modelo logístico e pra mostrar pra você o que que são essas soluções de equilíbrio, que são muito importantes nesse caso.
    Mas vamos ver aqui o que são campos de direção, tá? Campos de direção são muito utilizados em equações diferenciais e servem justamente quando a gente quer plotar, tá?
    A gente, geralmente, quando quer plotar um gráfico, né, a gente pega o eixo e traça a curva. Quando a gente quer plotar uma função, por exemplo.
    Numa equação diferencial isso não ocorre, tá? Inicialmente, nós plotamos o que a gente chama de campo de direção.
    O campo de direção nada mais é que são essas setinhas, tá, que são colocadas, muitas vezes são implementadas computacionalmente, elas são realizadas via computador, através de programas como o Maple, por exemplo, que faz com que você plote essa equação diferencial no Maple e aí ele mostra pra você como que vai ficar o sentido de todas as soluções que vão gerar essa nossa equação diferencial. Então, todo o sentido dela, ou seja, o sentido por onde as soluções vão fazendo.
    Tá? Perceba.
    Se eu tenho uma solução, elas vão tendendo sempre aqui, perceba, que aqui no meio elas sempre são quase horizontais essas soluções da equação diferencial. Aqui elas vão, ó, diminuindo, tendendo.
    Então, a gente tem mais ou menos um formato assim, né, de solução. Elas chegam até aqui e estabilizam aqui pra baixo.
    Aqui elas crescem e estabilizam aqui. Então, são soluções mais ou menos, né, que chegam a esse tipo de aqui, mais ou menos.
    OK? Esse tipo de solução que nós temos.
    Então, o campo de direções serve justamente para mostrar esse comportamento das soluções da sua equação diferencial. Lembrar, tá, sempre, que uma equação diferencial, a solução de uma equação diferencial, ela vai te dar uma família de soluções sempre.
    Tá? Uma equação diferencial, então, ela te dá uma família de soluções.
    Lembra lá do que eu falei pra você? De uma integral?
    A gente vai ver daqui a pouco que uma equação diferencial, ela nada mais é do que envolver uma integral. A gente resolve ela, alguns casos, por integral indefinida, tá?
    Então, integral indefinida vai ter aquela constante mais c e é por isso que a gente vai ter uma família de soluções. Ou seja, eu vou ter inúmeras curvas, dependendo da constante, né, que vão ser soluções dessa equação diferencial.
    A constante pode ser 5, 10, 20, pi, 20 trilhões, independe. Ela vai ser sempre solução daquela equação diferencial, já que a derivada de uma constante é sempre nulo.
    Então tanto faz o valor da constante que eu utilizo na função. Equações separáveis.
    ...

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