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Equações diferenciais elementares - Teoria - parte 2

Método das variáveis separáveis para resolução de EDOs. Problemas envolvendo EDOs.

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    lockResumo - Integrais - Resumo

  • A última parte do nosso curso finalmente vai ser um probleminha com equação diferencial. Um tanque com 20kg de sal dissolvido em 5 mil litros de água está aqui, está exposto aqui.
    Água salgada, com 0,03kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 litros por minuto. Então, eu tenho zero que tá entrando aqui no tanque.
    Tá, então, 0,03 quilogramas de sal por litro que tá entrando no tanque a uma taxa de 25 litros por minuto. A solução é misturada e sai do tanque exatamente à mesma taxa.
    Então, suponha que aqui tenha um buraco que faz com que saia do tanque a uma taxa, também, de 25 litros por minuto. Letra A, qual a quantidade de sal no tanque após uma hora, 60 minutos?
    Lembra que esse tanque tinha 5 mil litros de água e 20kg de sal dissolvido. OK?
    Então a gente vai denotar agora, por y de t, a quantidade de sal no tanque no instante t, no tanque em t. OK?
    Essa é a quantidade. ty de t, que é y', tá, vai ser exatamente a taxa de sal que entra menos a taxa de sal que sai do tanque.
    OK? Portanto dy/dt, que é a taxa que entra menos a taxa que sai, vai ser 0,03 quilogramas de sal por litro vezes 25 litros por minuto, que é a taxa pelo qual o sal entra, menos a taxa que sai, que eu não sei quanto é que é a taxa que sai, então vou chamar de y, que é a quantidade de sal que a gente determinou que ia chamar, sobre 5 mil litros, que tem a capacidade do tanque, vezes a taxa que sai.
    Então, isso aqui é quilogramas por litro vezes a taxa que sai, que é 25 litros por minuto. Resolvendo esse sistema, eu obter aqui dy/dt é igual a 0,75 menos 1 sobre 200 y.
    E a quantidade inicial de sal no tanque é de 20kg. Portanto, y de zero é igual a 20.
    OK? Podemos, então, resolver essa equação diferencial daqui de cima.
    Tá? Pra isso, vamos utilizar, então, assim, simplesmente o seguinte, vou passar esse cara pra lá, então vou ficar usando aqui variáveis separáveis, eu obtenho, o quê?
    Finalmente, a integral de 1 sobre 150 menos y, que é exatamente esse cara dividido por esse, dy, esse cara passou pra lá, tá, é igual à integral de 1 sobre 200 dt. A integral de 1 sobre 150 menos y é a ln do módulo de 150 menos y que vai ser igual a t sobre 200 mais C.
    Pra eu resolver isso daqui, eu tenho que tirar a exponencial dos dois lados. Tá?
    Tem o sinal de menos aqui também, não se esqueçam, tá? Então, eu multiplico isso daqui por -1.
    ln de 150 menos y é igual a -t sobre 200 mais C e aí, finalmente, eu encontro y igual a 150 mais D vezes isolando o y. Tá?
    O exponencial de -t sobre 200. Então, essa daqui é a equação exponencial que modela o nosso exercício.
    Só que eu não quero saber isso, eu quero saber a quantidade de sal do tanque que sai após uma hora. E, além disso, eu tenho que aplicar esse meu PVI aqui, né?
    y de zero sendo igual a 20. Portanto, façamos e resolvamos esse exercício.
    A gente já sabe, então, que y de t é igual a 150 menos mais, perdão, D exponencial de -t sobre 200. Só que eu quero, eu sei que y de zero é igual a 20.
    Portanto, 20 é igual a 150 mais D, que multiplica a exponencial de zero, que é 1. Portanto, D equivale a -130.
    A nossa constante vale -130. Finalmente, y de t vale 150 menos 130 exponencial de -t sobre 200.
    Essa é a função, aqui, no meu particular, a solução particular que modela a quantidade de sal no tanque. Ele pede na letra A.
    A quantidade de sal que tem após 60 minutos, uma hora. Então, se eu quero 60 minutos, lembra que isso daqui tá em minutos, tá, t aqui já tá em minutos, porque a gente fez a taxa que era 20 litros por minuto, então isso daqui já tá em minuto, 60 minutos é igual, então, a 150 menos 130 exponencial de -60 sobre 200.
    Então, eu resolvo essa equação, eu acho que 60 segundos, isso vai dar essa equação, tá, é só basicamente você resolver essas contas aqui, dessa exponencial. Tá?
    Vai ficar 150 menos 130 exponencial de -6 sobre 20, porque esse cara corta com esse cara, -3 sobre 10. OK?
    Dá pra você resolver na calculadora. A letra B traz pra você fazer um esboço do gráfico, tá, dessa solução aqui.
    OK? Aí o esboço do gráfico pode ser feito de uma forma bem simples, tá?
    Lembrar só, aqui, que a gente tem que y de zero é igual a 20, então com certeza ele vai passar por esse ponto no gráfico, tá certo? E aí, então, o ponto que a gente vai ter sempre que passar, ele vai no máximo aqui, quando o t Observe que quando o t for zero, né, esse cara, obviamente, aqui, exponencial de zero vai ser 1, vai ficar, vai passar pelo 20, como nós já vimos, tá?
    E num tempo infinito, ou seja, quando t tende ao infinito, quando eu quiser aqui o limite da função y de t quando t tende ao infinito, eu posso verificar que esse cara vai tender a 150, porque a exponencial de -infinito é zero. Então, esse cara vai cortar total, essa função aqui, tá, e vai sobrar só 150.
    Então, eu posso prolongar aqui e aqui no 150, traçar uma assíntota, tá? Horizontal aqui, onde ele vai no máximo.
    Não é que seja uma assíntota aqui, tá, gente, é só pra verificar até onde no infinito esse cara vai tender. E aí, nosso gráfico fica mais ou menos desse jeito daqui.
    OK? E, finalmente, a nossa letra C pergunta isso que eu acabei de falar com você.
    Num tempo muito grande, como que fica, né, o valor, pra qual vai ser a quantidade de sal no tanque. Agora, sim, a gente vai detalhar aqui, o que nós fizemos foi simplesmente pegar essa função, quanto t tende a -infinito, repare que a função exponencial, ela tem esse jeito, pelo gráfico, quando t tende a -infinito, repare que a exponencial vai pra zero.
    Então, se a exponencial tende a zero, 140 vezes zero vai cortar, virar zero, vai embora, e, portanto, vai sobrar aqui 150. E é por isso que a gente traçou aqui que o gráfico vai até, no máximo, o valor de 150.
    Esperamos você nos futuros Cálculos, OK, pessoal do Passei Direto? Muito obrigado e até a próxima!
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