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Ideia intuitiva de integral - Teoria

Definição formal de integral. Área de gráficos. Superaproximações e subaproximações. Propriedades operatórias de integral

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    lockResumo - Integrais - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto. Tudo bem com vocês?
    Hoje, nós vamos falar a respeito de um novo conceito, inaugurando a terceira e última parte do nosso curso. Vamos falar sobre o estudo das integrais.
    Mas, afinal, o que significa uma integral? Qual é o seu significado físico?
    O que ela significa também matematicamente? Nossa motivação vai ser como estimar uma área sobre a parábola y=x² de x=o até x=1.
    Por exemplo, este nosso exemplo que nós temos aqui. Como eu posso determinar qual o valor desta área sombreada?
    Repare que temos aqui a função y=x², partindo de x=o até x=1. Essa aproximação a ser realizada por essa área pode ser feita por retângulos que abrangem a área "s" da figura indicada aqui e podem ser a melhor forma de determinar a área "s" procurada.
    Eu traço vários retângulos que partem, dividindo o eixo, divido em vários retângulos e faço uma soma das áreas de cada um desses retângulos aproximantes, e verifico, então, qual é a área da curva. Por exemplo, quando a gente faz com quatro retângulos, S1, S2, S3 e S4, fazendo essas divisões do intervalo de 0 até 1 em intervalos que valem 1/4 cada pedaço desse até o 1.
    Então, eu posso realizar esses tipos de aproximações. Repare como eu vou somar cada uma dessas áreas, utilizando os meus retângulos aproximantes.
    E é assim que a gente calcula essa nossa área. Obviamente, essa obtenção de área que nós temos aqui Observe que os retângulos estão inclusive ultrapassando a curva.
    Obviamente, dessa forma nós vamos obter uma aproximação. Não é o valor real da área da figura.
    Por enquanto, a gente não tem como estimar com exatidão o valor dessa área. Simplesmente, a gente pode aproximar o valor da área desta figura, utilizando esses retângulos aproximantes.
    Poderíamos ainda fazer, utilizando retângulos, que chamamos de retângulos à esquerda e à direita como é o caso, e aí a gente vai obter estimativas superiores ou inferiores para "A". Repare que aqui a gente tem, ao contrário do exemplo anterior, retângulos que, inclusive, não contemplam toda a área "s" que fica abaixo da curva y=x².
    Você vê, ainda, que existem pedaços, como esse, por exemplo, esse pedaço, esse pedaço que não são considerados no cálculo. Então, a gente tem uma estimativa superior e inferior para "A".
    No nosso caso, a gente obteve, naqueles dois casos que foram comparados com quatro retângulos aproximantes. Nesse exemplo aqui, nós temos 0,21875 da nossa área.
    E no outro exemplo, que é aquele exemplo anterior, dos retângulos, que, inclusive, ultrapassam o valor da área, como sendo 0,46875. Repare que são dois modos de a gente estimar a área, mas verifique como a diferença entre esses valores é grosseira.
    Repare que um é de 0,21 e o outro é de 0,46, quase 0,47. Então, existe uma grande diferença entre esses valores.
    Obviamente, a gente sabe que a área está entre esse valor, 0,21 e 0,46. É uma melhoria.
    A gente já sabe estimar o valor dessa área, mas ela está longe de ser um valor exato por enquanto. Podemos repetir esse processo com um número maior de faixas, como, por exemplo, oito retângulos.
    Repare aqui que a gente vai continuar fazendo aquele método de estabelecer esses retângulos. Cada um deles vai ter um intervalo, que chamamos de delta "x".
    Esse intervalo delta "x" é determinado sempre por (b-a)/n. O que significa esse intervalo entre cada um delta "x"?
    "b" é esse cara daqui. É a extremidade direita do meu intervalo.
    E "a" é a minha extremidade esquerda. Ou seja, são os valores pelos quais a gente tem a variação da nossa curva.
    Eu quero saber entre 0 e 1, qual o valor da área. Então, esses e que vão ser os nossos "a" e "b".
    E "n" é o número de retângulos que eu estou utilizando. Então, "n", aqui, é o meu número de retângulos.
    Você já deve estar percebendo intuitivamente que quanto maior o número de retângulos que eu for utilizar aqui para determinar essa área, maior vai ser a precisão que eu vou ter na hora de determinar essa área "s" abaixo da curva y=x² entre 0 e 1. Então, eu posso usar extremidades esquerdas, como é o caso aqui, ou extremidades direitas.
    O que significa uma extremidade esquerda ou uma extremidade direita? Uma extremidade esquerda, eu pego os meus retângulos e eles sempre sobem a partir da extremidade esquerda.
    Então, eu pego de 0 até, por exemplo, 1/8 de 1/8 até esse próximo número aqui, até esse, etc. E vou sempre subindo cada um desses intervalos aqui delta "x" que eu tenho.
    As extremidades direitas, mesma coisa. Só que é sempre um intervalo à direita.
    Então, delta "x" daqui, daqui Sempre que eu uso extremidades esquerdas eu tenho sub-aproximações, aproximações que são menores que o valor real da área, que a gente já sabe que não estão contando os espaços aqui que deveriam contar. Eu estou marcando aqui na figura.
    E, quando usamos extremidades direitas, a gente está super-aproximando essa área, a gente está contando além do que ela realmente é. Repare que esse pedaço aqui, esse aqui está tudo excedendo realmente o que eu quero da minha curva.
    Então, calculando as somas das áreas dos retângulos menores, no caso das aproximações pelas extremidades esquerdas, e a soma dos retângulos maiores, pelas extremidades direitas, obtemos estimativas inferiores e superiores melhores para "A". Repare que agora aquela mesma função vai variar entre 0,27 e 0,39.
    Então, a área vai estar mais ou menos entre esses valores. E aí, de novo, como eu falei, nós temos as super-aproximações e as sub-aproximações.
    Para o caso de n=10, esses valores vão sempre ficando maiores. n=25, etc.
    Então, as extremidades da direita produzem somas superiores, porque f(x)=x² é crescente. Repare que quanto maior o número de retângulos, obviamente, maior a precisão para obtenção da área.
    A mesma coisa com as extremidades esquerdas. Então, as extremidades acabam sempre produzindo essas somas que são inferiores.
    Definições. A área "A" da região "S" que está sob o gráfico de uma função contínua "f" é o limite da soma das áreas dos retângulos das proximidades.
    O que significa isso? Agora, eu não quero mais determinar uma aproximação para determinada área.
    Eu quero saber o valor exato que determina essa área abaixo da curva. Então, como eu disse, quanto maior o número de retângulos "n" Lembra-se da nossa fórmula do delta "x"?
    (b-a)/n. Quanto maior for esse número de "n", que é o número de retângulos aproximantes Quando "n" tender a +infinito, melhor vai ser a aproximação, mais preciso eu vou determinar a minha área.
    É por isso então, que a gente chama o limite, quando "n" tende ao infinito, ou seja, quando o número de retângulos pequenos é infinito, muito grande, das nossas somas de área dos retângulos grandes. E aí, o que significa isso?
    A gente sabe que um retângulo, lá daquele nosso gráfico Eu falei para vocês, que, por exemplo, suponha que aqui a gente tenha uma função aleatória e aqui está um dos retângulos aproximantes utilizados. Repare que a base dele tem comprimento delta "x".
    E aqui, vamos supor que a gente tenha uma função que passe aqui, que continue aqui para cima, mas que passe por esse retângulo aproximante. Observe que, para o valor de delta "x", que é o valor da base, qual é o valor da altura dela?
    A altura dela Obviamente, ela toca aqui no eixo. O retângulo é tudo isso aqui, essa figura inteira.
    O retângulo assume essa altura, é exatamente a distância do x=o, onde gente tem o eixo y=o, até a nossa função. Então, repare que essa altura nada mais é do que f(x) naquele ponto. Se eu tiver aqui, por exemplo, um ponto x0, vai ser f(x0). É por isso que a gente faz aqui o limite, quando tende ao infinito, de f(x1) vezes delta "x", mais f(x2) vezes delta "x", mais f(xn) vezes delta "x". Cada parcela dessa, que a gente está vendo aqui desse produto, nada mais é do que a área de cada um dos retângulos que foram utilizados para determinar o valor da área.
    Então, cada um desses caras aqui é a área dos retângulos. Cada um dos retângulos aproximantes que nós temos.
    Então, frequentemente, eu alerto você, utilizaremos a notação de somatório para descrever somas de muitos termos. Em vez de ficarmos somando indefinidamente esses termos todos aqui, a gente faz uma nomenclatura de somatório.
    Nós fazemos o somatório de "i" indo de 1 até "n", de f(xi), ou seja, esse "i" é um índice que varia do primeiro retângulo até "n" retângulos. Depende do quanto você vai usar.
    Infinitos retângulos ...

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