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Integrais definidas e indefinidas - Teoria - parte 2

Diferenciação de uma integral definida e uma integral indefinida. Definição de primitivas (ou anti-derivadas). Apresentação do Teorema Fundamental do Cálculo - parte 2.

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    lockResumo - Integrais - Resumo

  • O teorema fundamental do cálculo é um dos pontos mais importantes e que nós mais vamos utilizar em exercícios. O teorema diz o seguinte Se "f" for uma função contínua no intervalo [a,b], então dizemos que a integral de "a" até "b" de f(x)dx é igual a F(b)-F(a), onde "F" é qualquer primitiva de "f", ou seja, é uma função tal que F'=f. Significa o seguinte A gente chama de primitiva ou também de antiderivada.
    A antiderivada significa que eu tenho que buscar uma função "F", que, derivada, vai me dar "f". Então, vamos resolver aqui alguns exemplos, para fixar melhor esse conceito do teorema fundamental do cálculo, parte 2.
    Primeiro, precisamos calcular a integral de 3 até 5 da função 2x.dx.
    Ora, é preciso inicialmente pensar em uma função, que, derivada, dê a função 2x. Existe um macete, que nós já aprendemos, nas aulas anteriores.
    Uma função qualquer que eu tenha integral de, por exemplo, x^n, é exatamente igual a [x^(n+1)]/(n+1). E, obviamente, aqui a gente vai Como é indefinido, a gente define isso aqui como sendo mais uma constante "c" qualquer.
    Mas agora, como nós temos uma integral definida, nós não precisamos colocar essa constante +c aqui, já que a integral definida vai nos dar um determinado valor específico daquela integral. Vamos só então pensar em uma função "F", que, derivada, dê 2x.
    Para isso, eu tenho que pensar em uma função A função 2x, que já tem expoente 1. Então, o que a gente fez aqui, de forma genérica, é somar o meu expoente e dividir isso pela soma desses expoentes.
    E aí, eu posso cortar e obtenho a função x². x² é a primitiva dessa função 2x.
    Realmente, se você derivar a função x², você obtém o 2x, que eu tanto estou buscando para resolver. Muito bem, agora eu vou fazer isso aqui variar entre os limites de integração, 3 e 5.
    Ora, para eu fazer isso, vou aplicar o teorema fundamental do cálculo parte 2, que nos afirma que eu tenho F(b)-F(a). Isto é, eu vou substituir o valor 5 na minha função, no lugar da minha variável, e vou subtrair do valor 3, substituindo nessa variável.
    Assim, temos a seguinte substituição (5)²-(3)². Com isso, nós obtemos 25-9, que nos dá o valor 16.
    Esta é a resposta desse primeiro exercício. Bem tranquilo, concordam?
    Vamos agora para o segundo exemplo. A integral de -2 até -1 de 1/x²dx.
    Perceba que essa função "f" que nós temos aqui pode ser facilmente reescrita da seguinte forma A integral de -2 até -1 de (x^-2).dx.
    Eu simplesmente transformei essa função, que é uma função racional, em uma função com expoente. Expoente negativo, para facilitar as nossas contas, porque assim a gente consegue aplicar esse nosso macete que eu acabei de mostrar para vocês, que a gente já tinha visto também, e aí, vamos obter a seguinte primitiva x^(-2+1), que vai dar -1/-1. Isso, variando no nosso limite de integração.
    Varia de -2 até -1. Ora, resolvendo isso aqui, -2+1 vai dar -1, como nós já vimos, então, eu posso reescrever isso aqui como -1/x.
    Essa é a minha função "F", a primitiva de "f", que vai ficar variando entre -2 e -1. Aplicando os limites de integração e aplicando o teorema fundamental do cálculo, parte 2, nós vamos obter (-1/-1)-(-1/-2). A resolução dessa operação nos dará 1 menos -1/-2 vai dar 1/2 positivo.
    E 1-(1/2) vai dar 1/2. O terceiro exemplo é a integral de 0 até 5 de x²-3x+6dx.
    Essa função é polinominal. Não preciso fazer nenhuma transformação, como eu fiz no exercício anterior para resolvê-lo.
    Simplesmente, eu já vou encontrar aqui a primitiva, que é (x³/3)-(3x²/2)+6x, variando de 0 até 5. Aqui, vai dar só uma conta que a gente vai ter que resolver.
    Substituindo Então, eu vou obter [(5³/3)-{(3.5²)/2}+6.5] menos [(0³/3)-{(3.0²)/2}+6.0] Essa operação do lado direito, do segundo membro, é 0.
    0-0+0 vai dar 0. Esse termo todo aqui vai para 0.
    Aqui, basta eu resolver essas contas. (5³/3)-([3.5²]/2)+6.5.
    Isso aqui, a gente vai ficar com 5.5 dá 25, vezes 5, dá 125/3, menos 5² vai ser 25.
    25.3 vai me dar 75 sobre 2, mais 30.
    Se eu resolvo essa operação, eu obtenho 205/6, e essa é a resposta da minha integral. Então, as integrais indefinidas foi isso que a gente acabou de ver.
    Em vez de eu ter agora números reais, como eu tinha aqui nos exemplos anteriores, aqui, eu tinha, por exemplo, no integrando, na minha integral, eu tinha "a" até "b", que eram números reais. Nas integrais indefinidas, não.
    Eu tenho uma integral de f(x)dx que é o conjunto de todas as funções com derivadas f'(x). Eu tenho uma família de soluções.
    Então, toda vez que eu uso integral indefinida, eu tenho uma família de integrais. É uma família de integrais que eu vou obter.
    Por quê? Você se lembra, não é?
    Se, por exemplo, eu tenho a função f(x)=x², o que, por exemplo, se eu quiser integrar f(x) Se eu quiser determinar qual a integral de x²dx, eu tenho que pensar o que foi derivado para gerar x². Pela nossa regra, (x^[2+1)/3. Então, x³/3, concorda?
    Teoricamente, essa seria a nossa integral indefinida. Beleza.
    Mas me diz uma coisa Se você derivasse essa função, então, você acharia x², concorda? Mas e se essa função fosse (x³/3)+1? Ora, se derivasse essa função aqui, 1 é constante, concorda comigo?
    Então, se 1 é constante, a derivada de 1 é 0. E, obviamente, a derivada dessa nova função aqui, (x³/3)+1 também daria x². Mas e se fosse (x³/3)+50? É a mesma coisa.
    É uma outra constante. Se eu derivar isso aqui, vai dar, de novo, x².
    Então, independente de qual seja a constante que eu tenha aqui, vai acabar que a nossa derivada vai ser sempre x². Por isso, toda vez que nós fazemos uma integral indefinida, ou seja, uma integral que não tenha nem "a", nem "b, nos nossos limites de integração, as funções, a integra que nós temos de f(x)dx, é uma primitiva F(x) mais uma constante "C". E é essa constante "C" que vai nos justificar essa família de integrais, essa família de funções que eu vou ter aqui quando eu determinar essa integral.
    Por exemplo, integral de x²+1dx. A gente já sabe que, pela propriedade, quando eu tenho uma soma, eu posso separar, eu posso fazer a integral de x²dx mais a integral de 1dx.
    Então, a integral de x²dx é (x³/3)+C. Eu poderia ter qualquer constante aqui, que, derivando isso aqui, eu acharia x².
    E a integral de 1dx é "x", o que, derivado, vai dar 1, uma função "x". Mas também uma outra constante.
    Sei lá, C', ou C1, para diferenciar. C+C1 vai ser uma constante qualquer.
    Independente de esse valor ser 20 ou 30, a soma vai dar uma outra constante. Então, eu posso reescrever isso como sendo (x³/3)+x+C. Essa daqui é a minha integral indefinida a resposta dessa minha integral indefinida.
    Essa outra daqui, integral de x(1+2x^4)dx. Posso efetuar a distributiva aqui.
    Integral de x.dx mais integral de (2x^5)dx. Isso vai dar x²/2, que é a integral desse cara aqui, mais C1, como vamos chamar.
    E a integral de (2x^5)dx é (2x^6)/6, que, simplificando, vai ficar (x^6)/3. Então, x²/2 Lembrando que tenho que somar o C2.
    (x²/2)+C1+[(x^6)/3]+C2, que é o mesmo que reescrever (x²/2)+[(x^6)/3]+C1. Essa é a resposta para a nossa integral indefinida.
    E aqui eu tenho uma tabela de todas as integrais indefinidas de que você precisar saber para continuar o curso de cálculo I. Elas devem ser memorizadas.
    Então, a integral de C.f(x) nada mais é do que "C" vezes a integral de f(x)dx. A integral de uma função k.
    dx é k.x+C.
    Aquela de que eu falei durante a aula, a integral de (x^n)dx, é [x^(n+1)]/(n+1)+C. Sempre tem uma constante +C somada.
    ...

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