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Integrais por substituições simples e por partes - Teoria

Aplicação de técnicas operatórias para o cálculo de integrais, tais como integrais imediatas e o método da substituição simples.

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  • play_arrowIdeia intuitiva de integral - Teoria

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    lockResumo - Integrais - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto. Tudo bem com vocês?
    Hoje, nós vamos dar continuidade às nossas aulas de integral, terceira parte do curso de Cálculo I, falando sobre a regra da substituição simples. Por causa do teorema fundamental, é importante sermos capazes de encontrar primitivas.
    Porém, nossas fórmulas de primitivação não mostram como calcular integrais do tipo integral de 2x vezes raiz de 1+x² dx. Aquelas primitivas que a gente viu não conseguem ser determinadas.
    Não conseguindo determinar essas primitivas assim Aquelas que a gente estudou são mais tranquilas de serem obtidas. Essas aqui, não.
    Então, a gente tem que fazer uma estratégia para resolver integrais desse tipo, por exemplo. Quais são elas?
    E aí, essa que é a Regra da Substituição Simples. Nós devemos chamar o termo que está dentro da raiz de "u".
    Nesse caso daqui Portanto, u=1+x². Depois, a gente deriva o termo "u".
    A derivada de u=1+x² é "du", derivada de "u". 1+x²=2x.
    dx, concorda? Aí, vamos fazer o seguinte Se eu chamei aqui o termo de "u", eu vou esquecer o termo que contém "u".
    Eu chamei de "u" o elemento que tem a raiz, que era a coisa mais complicada que eu tinha, eu vou agora ignorá-lo, e vou olhar para o restante da integral. O que sobrou na integral?
    2x.dx.
    Note que, exatamente, o que acabou de sobrar na integral, que é esse termo aqui 2x.dx, é a mesma coisa que nós temos no termo "du".
    Olha lá, "du" não é 2x.dx?
    E o que sobrou na integral também não é 2x.dx?
    Então, a gente pode escrever que a integral de 2x raiz de 1+x² dx, se eu chamei essa raiz de "u", então nada mais é do que a raiz de "u" vezes "du". "u" não é 1+x²?
    Está aqui, "u". A raiz, a gente coloca raiz de "u".
    E "du" é 2x.dx, que é o que estava faltando.
    Então, agora, a nossa integral ficou muito mais simples de ser calculada. Agora, eu consigo determinar a raiz quadrada de "u" vezes "du" utilizando esses conceitos da Regra da Substituição Simples.
    Obviamente, depois eu vou ter que fazer essa mudança de variáveis, porque a minha integral não está em função de "u", mas em função de "x". Mas é muito mais fácil agora integrar raiz quadrada de "u".
    Raiz quadrada de "u", a gente pode simplificar como u^(1/2). E aí, é fácil de calcular.
    Vai ficar (2/3).u^(3/2)+C. Depois disso, quando a gente integra, a gente substitui, no lugar de "u" A gente sabe que u=1+x², então, (2/3)1+x²^(3/2)+C. A estratégia utilizada anteriormente recebe o nome de Regra da Substituição Simples, e é muito empregada no cálculo de muitas integrais.
    Se u=g(x) for uma função derivável cuja imagem é um intervalo "I" e "f" for contínua em "I", então f[g(x)].g'(x)dx é a integral de f(u)du. Eu estou só deixando aí uma forma genérica matemática.
    Por exemplo, determine a integral de x³.cos([x^4]+2)dx. Ora, vamos então sempre chamar o que está dentro dos parênteses, o que está complicado, de "u".
    Então, nesse caso, vamos lá. Se eu chamo "u" de (x^4)+2, como vai ser meu "du"? O "du" vai ser 4x³dx, concorda comigo?
    Olha que legal. Então, a gente sempre pega a função que a gente chamou "u", a gente pega a função inteira e esquece.
    Então, o cosseno do que eu peguei, "u", que era (x^4)+2, eu esqueço. Sobrou quem?
    x³dx. E o meu "du" é o quê?
    4x³dx. Está quase lá, só falta um negócio.
    O que está faltando? Vamos reescrever a integral aqui.
    Integral, já sei que sobrou cos(u)du. E o que está faltando?
    Simplesmente, se eu multiplicar esse "du" por 1/4, esse 4 vai cortar com esse 4 e acabou o que estava faltando. Pronto, resolvi.
    Então, a minha integral nada mais é do que (1/4)cos(u)du. Esse 1/4 é uma constante multiplicativa, pode sair da integral.
    Então, vai ficar 1/4 da integral de cos(u)du. O que, derivado, dá o cosseno?
    -seno. Então, a nossa integral nada mais é do que (1/4)[-sen(u)]+C. O que, derivado, dá o cosseno?
    Seno. Então, a nossa resposta vai ficar (1/4)[sen(u)]+C. Só que "u" não é "u".
    A gente não pode deixar "u". Nossa integral está em função de "x".
    A gente sabe que "u" é (x^4)+2. Então, essa nossa integral é (1/4)[sen{(x^4)+2}+C. Pronto, resolvemos a nossa integral por substituição simples.
    Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação.
    Aquela que corresponde à Regra do Produto para a derivação é chamada de integração por partes, e constitui outro método de resolução. A Regra do Produto afirma que se "f" e "g" forem funções deriváveis Revisando, derivar a normal do primeiro, vezes a derivada do segundo, mais a derivada do segundo, vezes a normal do primeiro.
    E na notação para integrais indefinidas, essa equação se torna isto daqui, ou isto daqui. A gente pode rearranjar essa equação dessa forma, e aí, a gente tem uma fórmula para chamar de integração por partes.
    Ela é relembrada por essa fórmula daqui. Essa daqui é a que você tem que memorizar.
    Fórmula da integração por partes, que diz que a integral de u.dv é "uv" menos a integral de v.
    du. Isso aqui tem que estar no sangue.
    "uv" menos a integral de v.du.
    Vamos fazer um exemplo. Integral de x.
    sen(x)dx. A gente sempre tem que chamar o termo que for mais fácil, dentre esse produto, de "u".
    Eu sempre chamo assim. Qual dessas duas funções, "x" ou sen(x), é a função mais simples? Concorda comigo que é "u"?
    Então, "u" é igual a "x". E o resto, o outro termo que sobra, eu chamo de dv, que é sen(x)dx. É o que sobrou da integral.
    Qual é a derivada de "u"? "du", que vale 1dx.
    E quem é "v"? Se dv é sen(x)dx, "v" é a integral de sen(x)dx, que é -cos(x)+c. A gente nem vai usar esse +c aqui por enquanto.
    Vamos usar a fórmula de integração por partes? "uv" menos a integral de v.
    du Quem é "u"? É "x"?
    Quem é "v"? Olha aqui, -cos(x). Eu não vou usar o meu +c, porque eu vou colocá-lo no final de tudo, então eu oculto, nessa parte do "v", o +c.
    Menos a integral de v.du.
    Quem é "v", de novo? -cos(x). E "du" é dx.
    Olha que coisa fácil. Então, x.
    [-cos(x)] dá -x.cos(x). Esse menos com esse menos fica mais a integral de cos(x)dx. E agora, aquela nossa integral super complicada, x.
    sen(x)dx, virou uma integral simples, integral do cosseno. O que, derivado, dá o cosseno?
    Seno, não é, gente? Então, essa resposta é -x.
    cos(x)+sen(x)+c. Agora, eu acrescento a constante no final de tudo para eu não ter que ficar repetindo várias vezes esse sinal.
    Então, aqui está a resposta da nossa integral x.sen(x)dx. Outro exemplo.
    Integral de (e^x)sen(x)dx. Vamos então, inicialmente, chamar "u" de e^x.
    E dv de sen(x)dx. "du" é o mesmo, (e^x)dx. E "v" é a integral do sen(x)dx. O que, derivado, dá o seno?
    -cos(x). Então, pela fórmula da integração por partes, eu tenho "uv" menos a integral de v.
    du. "u" é e^x.
    "v" é -cos(x). Menos a integral de "v", que é -cos(x), vezes (e^x)dx. Então, aqui ficamos com (-e^x)cos(x) mais a integral de (e^x)cos(x)dx. Ora Agora não fez muita diferença.
    Saí de uma integral com seno para outra com cosseno. Está meio estranho isso aqui.
    Mas vou fazer de novo por partes nesse aqui. De novo, tem o mesmo formato, então vamos fazer de novo.
    Vamos chamar "u" de e^x, ...

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