Integrais - Integrais trigonométricas e frações parciais - Teo

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Integrais trigonométricas e frações parciais - Teoria - parte 1

Aplicação de técnicas de integração, tais como integração por partes, integrais trigonométricas. Método das frações parciais para denominadores polinomiais de grau 2 com raízes reais e distintas.

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    lockResumo - Integrais - Resumo

  • Fala, pessoal do Passei Direto! Tudo bem com vocês?
    Hoje nós já estamos terminando quase que todo o curso de Cálculo I. Estamos na nossa terceira parte do curso, na reta final.
    Hoje, vamos falar sobre integrais trigonométricas e frações parciais. Inicialmente, nós vamos deduzir algumas integrais trigonométricas muito importantes pra que você tenha essa noção durante o nosso curso de Cálculo.
    Pra isso, pra gente deduzir essas integrais trigonométricas, é necessário relembrar algumas identidades trigonométricas. Eu vou dizer a você que todas essas identidades trigonométricas, elas são o grande segredo, a grande estratégia que a gente tem que ter quando nós estivermos resolvendo essas integrais trigonométricas.
    Relembrar todas essas identidades. Então, estão aqui as principais.
    Seno ao quadrado de x mais cosseno ao quadrado de x é igual a 1, e daqui decorrem as relações fundamentais. Por exemplo, eu posso isolar o seno e posso falar que o seno ao quadrado de x é 1 menos o cosseno ao quadrado de x, ou posso falar que o cosseno ao quadrado de x é 1 menos o seno ao quadrado de x, e assim por diante.
    Eu posso determinar quais são esses valores que vão nos dizer, né, essas identidades trigonométricas. Outras delas, outra identidade nos afirma que o seno ao quadrado de x é igual a 1 menos o cosseno de 2x sobre 2.
    O seno de 2x é igual a 2 seno x cosseno x. E aí, portanto, a gente pode simplificar, o seno x cosseno x, a gente passa esse 2 que tá multiplicando pra esse lado dividindo e aí obtém seno de 2x sobre 2.
    A outra identidade: secante ao quadrado de x é igual a 1 mais tangente ao quadrado de x, e etc. Então, é importante que você memorize essas identidades trigonométricas que foram citadas aqui para que você tenha uma melhor, um melhor desempenho durante a resolução dessas nossas integrais trigonométricas.
    Portanto, vamos começar. A primeira integral trigonométrica que deverá ser calculada é a integral de cosseno ao cubo de x dx.
    Como determinar essa integral, não é verdade? Parece uma integral super complexa.
    A gente não pode fazer aquelas mesmas estratégias que nós estávamos utilizando quando a gente fazia integral de cosseno de x, por exemplo, que era uma integral imediata. Não.
    Aqui é uma integral de cosseno ao cubo. Muito cuidado, tá, gente?
    Cosseno ao cubo de x é diferente de cosseno de x ao cubo, tá? Isso daqui são coisas completamente diferentes.
    Isso daqui é a mesma coisa que falar cosseno de x vezes cosseno de x vezes cosseno de x. Eu multiplico cosseno de x por ele mesmo três vezes e represento cosseno ao cubo de x, tá?
    Ele também pode ser representado, esse cosseno ao cubo, como sendo cosseno de x, tudo isso, ao cubo. OK?
    Então, vamos tentar resolver essa integral utilizando as nossas identidades trigonométricas. Ora, nós já sabemos, né?
    A gente pode, como a gente acabou de falar, que a integral de cosseno ao cubo de x é uma integral indefinida, porque você não tem constantes aqui no meu integrando, eu não estou determinando qual é exatamente o valor dessa integral. Eu quero simplesmente que você me diga qual a família de curvas que vai ser solução da mesma.
    Portanto, a gente sempre tem que colocar aquela nossa constante "mais c" quando a gente termina de resolver a integral. Então, perceba que o cosseno ao cubo de x pode ser escrita como a integral de cosseno ao quadrado de x vezes cosseno de x dx.
    Todos concordam com isso, né? A gente pode reescrever essa integral dessa maneira.
    Cosseno ao quadrado vezes cosseno. Ora, o que que é cosseno ao quadrado?
    Cosseno ao quadrado nada mais é do que 1 menos seno ao quadrado de x. Repare aqui que nós fizemos, por essa nossa primeira, aqui, identidade trigonométrica, nós conseguimos isolar o cosseno e achamos 1 menos seno ao quadrado, concorda?
    Então, vamos substituir aqui? Eu sei que cosseno ao quadrado de x é 1 menos seno ao quadrado de x, então vamos fazer.
    Integral de 1 menos seno ao quadrado de x, tudo isso vezes cosseno de x dx. OK?
    Muito bem. É possível, então, efetuar aqui, tá, gente, uma propriedade distributiva, tá?
    Eu tenho cosseno, multiplicando isso aqui tudo, então vamos efetuar a propriedade distributiva aqui, multiplicando. Aí a gente vai obter a integral, então, tá certo?
    De cosseno de x menos seno ao quadrado de x, cosseno de x dx. Todos concordam?
    Muito bem. Se a gente tem isso daqui, eu posso separar em duas integrais.
    Lembra aquela nossa propriedade de integral que fala que toda vez que eu tenho uma soma ou uma subtração aqui de integrais, eu posso separar? Vamos separar, então.
    Vai ficar a integral de cosseno de x dx menos a integral de seno ao quadrado de x, cosseno de x - aqui eu não separo, porque é um produto, tá? - de x.
    Então, aquela nossa integral, cosseno ao cubo de x, virou duas integrais bem mais simples, né? A primeira nem preciso comentar.
    É uma integral imediata, essa daqui. É muito fácil de resolver.
    O que que derivado, né, vai dar cosseno de x dx. Muito fácil.
    A função seno de x, né? Bem tranquilo.
    A gente já vai reescrevê-la aqui como resposta. E essa daqui também não é nem um pouco difícil, gente.
    Repare. Seno ao quadrado de x vezes cosseno de x dx.
    Toda vez que você tem numa mesma integral, você tem duas funções, no caso, seno e cosseno, e você sabe que uma é a derivada da outra, por exemplo, você sabe que a derivada da função seno de x é a função cosseno de x. Com certeza.
    Você tem isso na sua mente. Então, fica muito mais claro e muito mais intuitivo que você, neste caso aqui, precisa usar a regra da substituição simples.
    Porque se eu chamo o u de seno de x, eu sei que o meu du é cosseno de x dx. E aí fica muito tranquilo resolver essa integral, realmente.
    A integral de cosseno de x é seno de x, como nós já sabemos, E essa daqui, né, vai ficar menos a integral Perceba, se 1 é seno de x, vamos fazer a nossa tática da substituição simples, a gente esquece, né, o termo que acompanha, que a gente chamou de u, então vamos esquecer a função toda. Esse seno daqui, é como se você não existisse.
    Esquece ele. Vamos olhar só para o que sobra na integral.
    O que sobra na integral é cosseno de x dx, que é exatamente o que tem no nosso du, concorda? Então, essa nossa substituição vai fazer com que a gente integre u ao quadrado, porque u é seno de x e a função é seno ao quadrado, então é só elevar ao quadrado, du.
    du é o próprio cosseno de x, tá tudo aqui correto. Então, eu posso falar, né, que isso daqui é seno de x menos u ao cubo sobre 3 mais a minha constante c.
    Concorda que eu não posso deixar aqui em função de u, né? Se eu fiz a substituição, eu sei que u equivale a seno de x, então a resposta final da integral é: seno de x, que vem com essa nossa primeira integral, integral do cosseno, menos seno de x, tudo isso, ao cubo, sobre 3, mais c.
    Pronto. Aqui está resolvida uma integral que, aparentemente, era uma integral super complicada, super complexa, e na verdade você vê que ela não tem nada de difícil.
    Ela simplesmente se desdobrou em outras duas integrais. Uma imediata e uma que é resolvida por substituição simples.
    ...

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