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Integrais trigonométricas e frações parciais - Teoria (parte 2)

Continuação da aula anterior com mais considerações a respeito de integrais trigonométricas e resolução pelo método das frações parciais.

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    lockIntegrais - Resumo

  • Outro exercício pra gente calcular vai ser a integral de seno ao cubo de x, dx. Como determinar a integral de seno ao cubo de x, dx?
    Exatamente, né, a gente vai realizar da mesma forma que foi utilizado nos exercícios anteriores. Tá certo?
    A gente vai realizar essa integral fazendo a integral de seno ao quadrado de x vezes seno de x, dx. OK?
    A gente sabe que seno ao quadrado, pela aquela nossa identidade trigonométrica, é 1 menos cosseno ao quadrado de x, que multiplica o seno de x, dx. Então, vai ser praticamente a mesma coisa que nós fizemos no exercício anterior, tá, gente?
    Não tem muito mistério. Eu efetuo de novo a distributiva.
    Então, fica integral de seno de x, dx menos cosseno ao quadrado de x seno de x, dx, eu separo em duas integrais, então fica a integral de seno de x, dx menos a integral de cosseno ao quadrado de x vezes seno de x, dx, essa integral é imediata, vai dar menos cosseno de x, o que derivada dá o seno, é menos cosseno, e, aqui, a integral de cosseno ao quadrado de x seno de x vai ser a mesma coisa, só que vai ter um único porém aqui, somente na hora que a gente for chamar o u. Por quê?
    Repare que, se eu chamo u de seno de x, du é cosseno de x, concorda? Mas o que sobra na integral é cosseno ao quadrado de x, dx, e não é o nosso du.
    Eu não posso mudar o meu du. Portanto, com isso, eu não posso chamar o u de seno.
    Vamos fazer o contrário. Vamos chamar o nosso u de cosseno de x.
    Portanto, du é a derivada do cosseno, que é menos seno de x, dx. Ignorando essa u que a gente chamou de cosseno, o que sobra é seno de x, dx.
    Tá quase igual ao nosso du. A única diferença é que eu vou ter que multiplicar ele por menos 1, tá?
    Então, se eu reescrever essa integral, vai ficar: a integral de seno de x, dx, que nós já sabemos direto quanto é que é, só tô esperando um pouquinho pra escrever aqui E aí, olha só, quando eu multipliquei por menos 1, tá, eu vou ficar com menos, que eu já tinha aqui em cima, e, agora sim, menos de novo, que é esse menos que eu multipliquei, a integral de u ao quadrado, du. OK?
    Aqui está. Então, a gente pode reescrever essa nossa integral aqui como a integral de seno de x, dx mais, porque menos com menos dá mais, a integral de u ao quadrado, du.
    Então, isso daqui, nada mais, nada menos, vai ser o quê? Menos cosseno de x, OK?
    Mais u ao cubo sobre 3 mais c. Quando eu sei quem é que vale u, eu chamei u de cosseno de x, então a integral fica menos cosseno de x mais cosseno de x ao cubo, sobre 3 mais a constante c.
    Pronto. Resolvida, aqui, a nossa integral, o nosso exercício.
    OK? Bem tranquilo, né, gente?
    A próxima integral diz respeito à tangente ao cubo de x, dx. Como vamos determinar a integral da tangente ao cubo de x?
    Ora, repare a mesma história. A gente fez seno ao cubo, cosseno ao cubo e agora tangente ao cubo, tá?
    Repare que a tangente ao cubo nada mais é do que a integral da tangente ao quadrado de x vezes a tangente de x, dx. Todo mundo concorda com isso?
    Pela fórmula de uma das identidades trigonométricas, a gente pode reescrever essa tangente ao quadrado de x, tá, por uma identidade trigonométrica que afirma, né, essa identidade, ela nos afirma, ela nos diz, se você voltar lá pro início da nossa aula, volte lá e confira novamente a nossa li as nossas listas de identidades trigonométricas. Repare que a gente vai ficar aqui com secante ao quadrado de x menos 1 vezes a tangente de x, dx.
    Vamos de novo efetuar a distributiva. Vamos ficar com integral de secante ao quadrado de x, tangente de x, menos tangente de x, dx.
    Isolando, separando em duas integrais, vamos ficar com integral de secante ao quadrado de x, tangente de x, menos a integral de tangente de x, dx. Ora, a integral de secante ao quadrado de x tangente de x também é imediata.
    Repare que a derivada da tangente é a própria secante. Então, se eu chamo o u de tangente de x, eu sei que du é secante ao quadrado de x.
    Concorda comigo? E eu sei também quanto que vale a integral da tangente de x.
    Por quê? Uma observação que a gente pode, né, fazer, que a gente pode até, inclusive, afirmar, aqui nos nossos exercícios, né, é que a tangente de x Eu vou colocar aqui uma observação, tá?
    A tangente de x nada mais é do que o seno de x sobre o cosseno de x. Concorda?
    Se você quiser até anotar isso aqui como uma outra identidade trigonométrica, você pode também. Então, a gente vai reescrever isso daqui como sendo a integral de secante ao quadrado de x, tangente de x, dx, menos a integral de seno de x sobre cosseno de x, dx.
    OK? Nunca esquecendo dos dx aqui, eles são muito importantes.
    Vamos fazer a substituição trigonométrica aqui, então. Vou repetir o que eu escrevi ali.
    u é tangente de x, portanto du é secante ao quadrado de x, dx, né, esqueci aqui também do dx, e aqui, obviamente, a gente também tem de novo, a derivada do seno é cosseno de x. De novo nós temos a mesma coisa.
    Só que aí é importante, então, lembrar, né, que a gente vai ficar com o cosseno aqui embaixo, né? Se a gente for chamar u de seno de x, du tem que ser cosseno de x.
    E o que sobra na integral, se a gente esquece o seno, não é cosseno de x, é 1 sobre cosseno. Então, é interessante, aqui, chamar o u de cosseno de x e o du vai ficar menos seno de x, dx.
    A gente vai ter que multiplicá-lo por menos 1 aqui, tá? Bom, eu sei que resolvendo isso daqui, a gente vai obter, né, a integral de u, du no primeiro exercício, u, du, tá, e no segundo, menos a integral, uma nova integral que nós temos aqui De quê?
    De menos 1 sobre u, du. Concorda comigo?
    Então, a gente tem menos daqui, deste sinal que nós tínhamos, OK? E a gente multiplica essa integral por menos 1.
    Menos 1 sobre u, du. E aí, então, a gente vai ficar com, nesse exercício, tá, a integral de u, du, que é u ao quadrado sobre 2, OK?
    E aí vamos resolver também, né, esse exercício, calculando a integral de -1 sobre u, du. Tá?
    A integral de 1 sobre u, du, é a ln do módulo de u. OK?
    Então, é bem simples, aqui, de ser calculado. Então, a gente vai obter aqui mais o ln do módulo de u, mais c.
    Só que a gente sabe, né, que u, na verdade, aqui na primeira integral, u é tangente de x, que a gente chamou, então, aqui, tangente ao quadrado de x sobre 2, e na segunda, que nós temos aqui, né, u é cosseno. Tá certo?
    Então, se u, aqui, é chamado de cosseno, a gente fala, né, que vai ser o ln do módulo de cosseno de x, mais c. Tá aqui a nossa integral, resposta da nossa integral, aqui.
    Muito tranquilo de ser resolvida, muito simplesinha. OK, gente?
    É muito importante que você, então, memorize esses conceitos para as próximas os próximos exercícios quando você for ver as integrais trigonométricas. Outros exemplos dizem respeito ao método das frações parciais, que também são extremamente importantes.
    O método das frações parciais, ele geralmente utiliza esse caso aqui, que é o caso principal. O nome já diz, "frações", tá?
    E "parciais", a gente tem um denominador de grau 2, tá? Com duas raízes reais distintas.
    x ao quadrado mais x menos 2, gente, é um polinômio que pode ser decomposto da seguinte maneira. Ele vai ter duas raízes, tá?
    As raízes desse polinômio vão ser -2 e 1. Se você fazer Se você resolver isso daqui por Bhaskara, você pode achar como raízes exatamente isso.
    Então, vamos escrever isso como sendo x mais 2, que aí mostra a raiz -2, e x menos 1, que mostra a raiz 1. OK?
    O método das frações parciais diz que eu posso reescrever isto daqui, tá, como sendo a integral de A sobre x mais 2, mais B sobre x menos 1, dx. Aí, o primeiro passo, tá, que a gente resolve, tá, que é muito simples também, né, a gente vai resolver, vai ser o MMC do termo, aqui, das integrais.
    A gente só pega o termo que tá dentro da integral. Ou seja, a gente fala que, né, x mais 5 sobre x ao quadrado mais x menos 2 é igual a A sobre x mais 2, mais B sobre x menos 1.
    Aí, a gente faz o MMC. Obviamente, esse denominador aqui é o produto desses dois aqui, óbvio.
    Eles são raízes, né? Então, a gente faz o MMC, o MMC aqui é 1.
    Aqui é x menos 1, aqui é x mais 2. Então, se eu efetuo o MMC aqui, eu vou ficar com x mais 5 igual a A que multiplica x menos 1, mais B que multiplica x mais 2.
    OK? E aí, então, x mais 5 é igual a Ax menos A, mais Bx mais 2B.
    E aí, isso faz com que eu tenha x mais 5 igual a A mais B, isso tudo multiplica x, e aí, mais, tá, 2B menos A. E é isso daí.
    O termo que não acompanha x. Esse é o primeiro passo.
    OK? O segundo passo, aqui, do nosso exercício é realizar o que a gente chama de igualdade de polinômios.
    O que nos fala a igualdade de polinômios? Eu vou realizar um sistema e vou igualar tudo o que é x observando, obviamente, esta equação, aqui, que a gente chegou por último, tá?
    Tudo que tem x do lado esquerdo vai ser igual ao que tem x do lado direito. Então, o que que tem x do lado esquerdo da nossa equação aqui?
    Qual o coeficiente que acompanha o x aqui, do lado esquerdo? 1, concorda?
    E do lado direito? O que acompanha x?
    A mais B. o que não acompanha x do lado esquerdo é 5.
    E do outro lado, do lado direito, é 2B menos A. ...

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