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Cálculo de limite infinito e limite exponencial - Teoria

Apresentação da estratégia algébrica necessária para calcular limites infinitos e exponenciais.

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    lockLimites infinitos - Teoria

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    lockAplicando o conhecimento sobre limites - Exercício (parte 2)

    lockAplicando o conhecimento sobre limites - Lista de exercícios

    lockLimites - Resumo

  • Vamos agora falar sobre limites no infinito, uma outra espécie de limite. Então, por exemplo, como calcular o limite quando "x" tende ao infinito dessa função inteira, que é uma função racional?
    Perceba Vamos fazer o que a gente estava fazendo nos exemplos anteriores. No lugar da incógnita, a gente substitui pelo que está sendo dito aqui.
    Portanto, vamos lá. 5 vezes infinito ao cubo mais 6 vezes infinito ao quadrado mais 10 vezes infinito sobre 4 vezes infinito ao quadrado mais 9 vezes infinito mais 8.
    Isso daqui vai nos resultar em uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito. Isso é uma indeterminação matemática.
    Portanto, o que fazer para contornar essa indeterminação? Toda vez que tivermos limites no infinito, vamos adotar a seguinte estratégia Para limites no infinito que resultem em indeterminação, adotamos a estratégia de colocar o termo de maior expoente em evidência.
    Então, observe essa função racional aqui. No numerador, qual é o termo que tem maior expoente?
    Ora, repare que é esse aqui, o x³, concorda? Ele é maior que o x², que tem grau 2, e o "x", que tem grau 1.
    Esse cara aqui tem grau 3. Então, é possível colocá-lo em evidência.
    E no denominador, o que tem maior grau é o x². Concordam?
    Então, está aqui. O limite, quando o "x" tende ao infinito, dos termos que a gente vai colocar aqui em evidência.
    Repare que x³ é o termo de maior expoente do numerador e x² é o termo de maior expoente do denominador. Portanto, eles é que vão ser colocados em evidência.
    Mas o limite ainda não está resolvido. O que multiplica x³ para nós termos 5x³ no denominador?
    5, concorda? Porque 5 vezes x³ vai dar 5x³.
    O que multiplica x³ para dar 6x²? Repare que vai ser 6/x.
    Repare que se eu multiplico x³ por 6/x, eu vou obter esse "x" aqui Um termo desse "x" vai cortar com esse aqui de baixo e eu vou ficar com 6x². E o que multiplica x³ para dar 10x?
    Repare que vai ser 10/x². Repare que se eu cortar esse cara com esse cara, sobra só um "x" aqui em cima, e aí "x" vezes 10 vai dar o 10x que eu quero aqui.
    Isso foi o numerador. Vamos fazer a mesma coisa para o denominador.
    Concorda? O que multiplica x² para dar 4x²?
    4. O que multiplica x² para dar 9x?
    Pensaram um pouco, né? Mas é simples.
    É a mesma coisa que a gente veio fazendo anteriormente. 9/x, porque x² vai cortar com esse "x", vai cancelar e sobrar só um "x" aqui em cima, que multiplicado pelo 9 vai dar 9x.
    E agora, o que multiplica x² para dar 8? Ora, simples 8/x².
    Pronto, porque agora esse x² corta com esse. Colocamos os termos Desdobramos essa função daqui, a fatoramos e colocamos em evidência.
    Agora já é possível resolver o limite. Repare Quando "x" tende ao infinito, essas incógnitas aqui vão ser infinitas.
    6 sobre infinito, ou seja, 6 sobre um número muito grande. Vamos supor, sobre 2.
    000.000, 3.
    000.000, 10.
    000.000.
    Vai dar sempre um número muito próximo de 0, concordam? Então, a gente fala que esse termo tende a 0.
    O mesmo vale para esse cara aqui. 10 sobre infinito ao quadrado, número ainda maior.
    Também vai dar próximo de 0, tende a 0. O mesmo vai acontecer nesses outros casos, 0.
    E aí, a gente vai poder reescrever o limite como sendo limite, quando "x" tende ao infinito, de x³ com x², a gente pode cortar, concorda? Porque esse cara corta com esse.
    Sobra "x", aqui, que multiplica 5+0+0, o que dá 5. 4+0+0, que dá 4.
    Quando "x" tende ao infinito 5/4 vezes o infinito vai dar+infinito. Portanto, essa é a resposta do nosso limite, e essa a é nossa estratégia utilizada sempre quando tivermos limites no infinito, ou seja, quando "x" tender a + ou -infinito.
    Finalizando nossa aula, vamos falar sobre o limite exponencial fundamental. Para isso, considere a função (1+1/x)^x. Vamos fazer algumas contas importantes para a gente resolver esse limite.
    Quando "x" tende a 1, a 2, a 10, a 100 e a 1.000 e a outro número.
    Quando "x" tende a 1, se você substituir 1 no lugar de "x", você vai obter 2. Se você substituir por 2, 2,25.
    Se você substituir por 10, 2,59. Se você substituir por 100, 2,70.
    E se você substituir por 1.000, 2,7169.
    Ou seja, cada vez que você aumenta o valor de "x", ou seja, cada vez que ele tende a um número muito grande, a nossa função tende ao número "e", o número de Euler, que equivale, na verdade, a, mais ou menos, o número 2,71828. Cada vez que eu aumento o "x", a nossa função vai se aproximando do número de Euler.
    Portanto, a gente acabou de demonstrar o limite exponencial fundamental, que nos afirma que o limite, quando "x" tende ao infinito, de (1+1/x)^x equivale ao número de Euler, que é o chamado limite exponencial fundamental. Ele vai ser muito importante.
    Esse limite é imediato. Então, toda vez que você chegar nesse tipo aqui de função, quando "x" tende ao infinito, isso com certeza vai equivaler ao número de Euler.
    Você pode escrever isso, diretamente. Gente, por hoje é só.
    Na próxima aula, a gente vai dar continuidade ao estudo de mais coisas a respeito do cálculo de limites, principalmente, ao cálculo de limites trigonométricos fundamentais, e alguns exercícios de revisão. Eu espero você na próxima aula.
    Até lá. ...

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