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Exercícios - Exercício - parte 2

Vamos resolver alguns exercícios de cálculo de limites para revisitar o que aprendemos nas últimas aulas. Veja como calcular limites de um polinômio dividido por outro e uma dica de como fazer o cálculo de limites envolvendo raízes.

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    lockCálculo de Limites - Propriedades dos Limites - Teoria

    lockCálculo de Limites Simples e Não indeterminados - Teoria

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    lockExercícios - Exercício - parte 2

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    lockResumo - Limites - Resumo

  • Vamos lá, galera. Todo mundo animado?
    Vamos então para o próximo exercício. Vamos agora resolver limites.
    Esse é um tipo de limite que já foi resolvido em aulas anteriores e diz respeito a um produto notável. Perceba que existe uma indeterminação aqui, concorda?
    Se eu substituo 0 no lugar de "h", eu vou ficar com (2+0)³. 2³ é igual 8, e 8-8 é 0.
    Então se eu substituo aqui no numerador eu encontro 0. E se eu substituo "h" aqui também no denominador, eu também encontro 0.
    Portanto, isso aqui é uma indeterminação do tipo 0/0. Então, a gente não pode resolver daquela forma mais tranquila, mais trivial do limite.
    A gente tem que procurar uma técnica para contornar essa indeterminação. Então, eu já tinha dito nas aulas anteriores, para a gente resolver esse limite, quando a gente tem sempre um produto notável, a gente deve expandir esse produto notável.
    Vai dar trabalho? Sim, vai dar trabalho.
    Mas é importante que a gente abra esse produto para poder enxergar quais serão nossas próximas táticas para tentar resolver a indeterminação. Então, vamos lá.
    Sempre repetindo a palavra "limite" em todas as passagens da resolução. Não se esqueçam.
    Então, o limite, quando "h" tende a 0, de Quando eu abro esse produto notável, se vocês fizerem as contas direito, vocês vão encontrar h³+6h²+16h+8. Isso daqui é o produto notável aberto.
    Aí, eu continuo Menos 8, sobre "h". Beleza.
    Agora a gente pode resolver algumas coisinhas que estão na nossa cara, que são tranquilas de observar. Olha lá.
    Esse 8 vai cortar com esse 8. Todo mundo concorda comigo?
    O limite, quando "h" tende a 0, de h³+6h²+16h O 8 cortou com 8. Sobre "h".
    Repare agora que eu só tenho termos aqui em função de "h", então fica muito fácil de resolver esse limite. Concorda?
    Vamos lá. Se eu tenho todos os termos em função de "h" A gente já está bem acostumado com isso Vamos colocar "h" em evidência.
    Então, o limite, quando "h" tende a 0, de "h", que multiplica h², que vai dar h³ mais 6h, mais 16, tudo isso sobre "h". Olha que moleza.
    Esse "h" vai cortar com esse "h" e a gente vai ficar com o limite, quando "h" tende a 0, de h²+6h+16. Agora, a gente não tem nenhuma indeterminação.
    É só substituir 0 no lugar de "h". Portanto, aqui vai ficar 0.
    Aqui vai ficar 6 vezes 0, que dá 0. E aí, só vai sobrar o nosso 16.
    Portanto, a resposta do nosso limite aqui é 16. Bem tranquilo.
    Então, toda vez que a gente tiver produto notável, nosso lembrete importante que a gente vai sempre lembrar aqui vai ser expandir esse produto notável. É bem importante isso.
    Ok, gente? Vamos agora para mais um exercício.
    Limite, quando "x" tende a 2, de [x²+x-6]/[x-2]. Ora, como resolver esse limite?
    De novo, nós temos uma indeterminação. Perceba, de cara, que o denominador, quando a gente substitui o "x" por 2 vai para 0.
    E aí, já é um problema. A gente já tem o denominador 0.
    Já vamos ter uma indeterminação. Se a gente substitui ainda o 2 aqui em cima, a gente vai ver 2² vai dar 4, mais 2, vai dar 6, menos 6, vai dar 0.
    Então, esse cara todo aqui em cima também vai para 0. De novo, nós temos uma indeterminação do tipo 0/0.
    Precisamos contorná-la. Aqui, a gente não tem nenhum produto notável.
    Então, a gente não vai expandir nada. Aqui, na verdade, já está expandido.
    A gente tem que achar uma forma de simplificar esse numerador aqui de cima. Para isso, a gente vai fatorar.
    Escrever x²+x-6 é o mesmo que escrever, na forma fatorada (x-2).(x+3). Repare que se eu faço aqui a abertura Vamos fazer aqui para vocês verificarem Esse vezes esse vai ficar x², "x" vezes "x, mais 3x Esse vezes esse, menos -2x E esse vezes esse, -6.
    Portanto, isso fica x²+x-6, que é exatamente o que eu queria. "Marcelo, mas eu não tenho essa visualização muito boa" "para fazer de cara essa fatoração.
    " Não tem problema. Você simplesmente pode pegar esse x²+x-6 e fazer Bhaskara nele.
    Finge que isso é uma equação, resolve essa equação e acha as raízes desse polinômio de grau 2. E aí, também é muito tranquilo de você achar.
    Se você faz Bhaskara aqui, você vai encontrar como raízes dessa equação x=2 é a primeira raiz, e x=-3. Quando você tem essas raízes, aí fica muito tranquilo.
    A gente obviamente já verifica que a gente pode escrevê-los na forma fatorada como x-2 e x+3. E aí, o denominador, a gente repete.
    x-2. Agora, ficou fácil, porque esse x-2 corta com esse x-2 de baixo, e a gente fica com o limite, quando "x" tende a 2 Sobrou aqui o x+3.
    Isso aqui não é uma indeterminação. No lugar de "x", a gente substitui pelo número 2, e encontra a resposta desse limite como sendo 5.
    2+3 equivale a 5. E esse limite é bem tranquilo de ser resolvido.
    Vamos lá. Terceiro exercício.
    Esse é um pouco mais complicado. Envolve raízes.
    Limite, quando "h" tende a 0, de raiz de 9 mais "h", menos 3, sobre "h". Aqui, de novo, nós temos uma indeterminação.
    Esse denominador aqui vai para 0. Raiz de 9, porque "h" vai ser 0, se a gente o põe como sendo 0.
    Raiz de 9+0 é 3. Menos 3, dá 0.
    Então, esse aqui também vai para 0. De novo, nós temos uma indeterminação do tipo 0/0.
    Então, vamos ter que contornar esse limite. A gente ainda não viu, mas uma técnica para sempre quando a gente tem uma raiz, a estratégia que a gente vai usar aqui, que eu vou colocar aqui para você, que você pode anotar também A estratégia quando nós temos sempre coisas que têm raiz é multiplicar o numerador e o denominador pelo termo conjugado.
    O que significa "termo conjugado"? É exatamente assim.
    Vou repetir o limite. Limite, quando "h" tende a 0, de raiz de 9 mais "h", menos 3, sobre "h".
    O conjugado nada mais é que multiplicar pelo mesmo termo que a gente tem aqui, só que com o sinal trocado. A raiz aqui por +3, e aqui também é denominador, eu multiplico pelo mesmo termo.
    9+h+3. O conjugado nada mais é que o mesmo termo, só que com o sinal do meio trocado.
    Por que isso? Não sei se você se lembram, mas o produto notável do tipo (a-b).(a+b)=a²-b². E aí, o que significa isso?
    Quando eu tenho termo raiz, quando eu elevo essa raiz ao quadrado, essa raiz some. Olha só.
    Continuando aqui a resolução do nosso exercício aqui embaixo. Limite, quando "h" tende a 0, de Quando eu faço esse produto aqui, desse cara por esse cara, vai ficar quadrado do primeiro termo, que é a mesma coisa que fazer raiz de 9 mais h² menos o quadrado do segundo termo, que é 3², sobre Aí, aqui não tem o que fazer.
    É só realmente fazer o produto disso aqui, reescrevendo dessa maneira. Ora, como eu tenho aqui uma raiz quadrada que tá elevada ao quadrado, esse índice cancela com esse expoente e eu fico então com o limite, quando "h" tende a 0, de 9+h porque a raiz foi embora.
    3² é 9. Sobre "h" que multiplica raiz de 9 mais "h" mais 3.
    Repare, então, que esse 9 corta com esse 9. Eu vou ficar com o limite, quando "h" tende a 0, de "h" sobre "h" que multiplica raiz de 9 mais "h" mais 3.
    Ora, como esse termo está multiplicando, eles vão ser cortados Dá pra cancelar, e aí a gente fica com o limite, quando "h" tende a 0, de 1 sobre raiz de 9 mais "h" mais 3. Agora, vamos verificar se isso aqui é uma indeterminação?
    No lugar do "h", eu substituo o termo 0. Portanto, raiz de 9+0 é raiz de 9, que é 3, mais 3, que vai dar 6.
    Então, essa raiz aqui vai dar 3, e aí 3+3 vai dar 6. Portanto, esse limite é igual a 1/6.
    Bem tranquilo também, correto? Bem tranquilo de ser resolvido.
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