Matriz e Sistema Lineares Aprenda tudo que você precisa

  • play_arrow 6 videos
  • 0 Exercicios
  • subject1 Resumo

Introdução a representação matricial - Teoria

Revisão de matrizes e conceituação de sistemas lineares e suas soluções

  • thumb_down 7
  • Plano completo
  • Transcrição
  • play_arrowIntrodução a representação matricial - Teoria

    lockMétodo da eliminação de Gauss - Teoria

    lockMatrizes e operações matriciais elementares - Teoria

    lockProduto de matrizes - Teoria

    lockInversão de matrizes - Teoria

    lockResolução de sistemas lineares usando inversão de matrizes - Teoria

    lockResumo - matriz e sistemas lineares - Resumo

  • E aí, pessoal do Passei Direto, tudo bom? Aqui é o Felipe e a gente vai começar o nosso curso de Álgebra Linear.
    Então, vamos lá. Esta aula vai ser pra gente entender um pouco melhor o que é Álgebra Linear, o que vamos estudar aqui, quais vão ser nossos objetos de estudo e quais conceitos, de quais conhecimentos vamos precisar.
    Além de apresentar, mais ou menos, o que é Álgebra Linear, a gente vai revisar rapidamente algumas ideias que vamos trabalhar nos próximos vídeos pra gente introduzir que tipo de matemática a gente vai precisar dominar bem pra mexer com Álgebra Linear. Beleza?
    Então, vamos lá. Um dos objetos de estudo da Álgebra Linear que a gente vai mexer bastante é o estudo de sistemas lineares.
    O que é um sistema linear? Provavelmente, você se lembra disso, do seu colegial, do seu ensino médio, é algo desse tipo, um sistema de equações.
    Daqui a pouco vou definir melhor o que faz o sistema ser linear, mas provavelmente você se lembra disso. Algo do tipo assim.
    Pode resolver isolando uma incógnita de uma equação substituindo a outra, método de adição, por aí vai. A gente vai resolver no finalzinho.
    Mas sistema linear é isso. Vamos dar uma definição rigorosa daqui a pouco, mas você provavelmente lembra.
    O que vai ser importante? Certamente você já viu isso aqui em algum momento dos seus estudos.
    O que vai ser importante pra gente vão ser as matrizes. Vamos mexer bastante com elas nessa primeira parte.
    Por exemplo, um jeito que vai ser interessante de a gente representar esse sistema seria o seguinte, pensa só: Posso representar esse mesmo sistema Isso a gente chama de matriz aumentada do sistema. Matriz aumentada.
    Tem diferentes maneiras de representar um sistema na forma matricial, mas esse da matriz aumentada, particularmente, vai ser importante pra gente. O que seria isso?
    Eu pego uma matriz e eu basicamente vou escrever as equações aqui, então eu tenho essa linha. A primeira linha é como os coeficientes da equação, só que eu não coloco o x e o y.
    Então, por exemplo, a primeira equação 9, 4 e 5. Eu gosto, particularmente, de separar aqui para ficar claro que são os termos independentes, não acompanham nenhuma variável.
    E na linha de baixo, eu escreveria -2, 7 e 8. Pra que isso vai ser útil?
    Vocês vão ver nos próximos vídeos, mas isso, particularmente Por exemplo, se eu combinar que essa que essa coluna aqui são os termos x, 9x e -2x, e aqui os y, eu tenho 4y e 7y, que é o que eu tenho aqui, e que os coeficientes independentes É um jeito mais compacto de escrever o sistema. Se eu precisar mexer com as equações, somar um negócio, multiplicar por -1, sei lá, enfim, a manipulação que eu fizer aqui, isso aqui já facilita minha escrita.
    Não preciso escrever 9x, 4y, já fica subentendido que aqui é x e aqui é y. Então, eu posso sair mexendo com esses números, manipulando esses números, se a gente fizer essa convenção de que os x estão aqui os y estão aqui, e por aí vai.
    Só o fato de não precisar escrever toda a hora "9x", "4x" e tal Já ganha um tempo pra gente. Talvez pra esse sistema, nem tanto, mas pra sistemas grandes, isso pode ser muito útil.
    Isso é uma matriz aumentada. Eu escrevo as equações, as linhas são equações, só que eu omito aqui as incógnitas, as variáveis.
    Eu omito elas e fica subentendido onde elas estão. Isso já vai ajudar bastante, principalmente na próxima aula.
    Legal? Então, vamos lá.
    Vamos melhorar a nossa definição de sistema linear. Um sistema é um conjunto de equações que são lineares.
    E o que são equações lineares e não lineares? Isso que vai ser importante.
    O sistema linear no nosso objeto de estudo não envolve produtos de variáveis ou raízes de variáveis. Todas as variáveis aparecem na primeira potência.
    Por exemplo, equação linear é isso. x mais 2y, menos 3, igual a zero.
    Isso é uma equação linear. O que seria uma não linear?
    Se eu tiver x mais y, menos x quadrado, igual a 1. Por causa deste x quadrado, ela não é linear.
    O sistema é um conjunto desse tipo de equação, de equações lineares. Eu não posso ter termos quadráticos.
    Essa não é linear por causa disso. Por exemplo, se eu tiver x, menos 2xy é igual a, sei lá, zero, não é uma equação linear, porque tem produto de variáveis.
    Então, equações lineares não têm produtos de variáveis, então isso aqui não aparece, as variáveis todas sempre aparecem na primeira potência. Essa aqui está na segunda potência, não é linear.
    Não pode aparecer raiz de variável. Então, raiz de x mais y é igual a 4 não pode também, porque isso aqui seria x elevado a 1/2 e só posso ter x elevado a 1.
    Só na primeira potência as variáveis, beleza? Eu também não posso ter as variáveis como argumento de funções trigonométricas, exponenciais, se eu tiver x, mais y, menos cosseno de x igual a 1, não posso.
    A minha variável tem argumento de função trigonométrica. Se fosse e elevado a x, ln de x, log, também não posso.
    Equações lineares são essas. São bem simples.
    2x, menos 3y, igual a 4, e por aí vai. Esse tipo de equação.
    Variáveis sempre na primeira potência, sem produto de variável, a variável não aparece na raiz, num cosseno, num exponencial São equações bastante simples. Mas vamos ver que tem muitas aplicações.
    A gente resolve muitos problemas com equações lineares e vamos estudar como resolver, técnicas para resolver os sistemas lineares, os sistemas formados por essas equações. Beleza?
    Essa é uma definição um pouco mais formal de um sistema linear, de que tipo de equação a gente vai trabalhar. Vamos discutir agora a solução de um sistema linear.
    O que seria isso? Seria eu achar valores de x e y que satisfazem todas as equações do sistema.
    Neste meu exemplo, preciso de valores de x e y que fazem tanto a primeira equação ser verdade, quanto a segunda também. Tem que satisfazer as duas.
    Um método de resolver é o da adição. Eu montei este pra gente, vamos relembrar.
    Eu somo as equações Somando 4x, mais 6x dá 10x. -2y mais 2x é zero.
    Igual a 20, menos 10, dá 10. Aqui eu tiro que o x é igual a 1.
    E quem é o y? Basta substituir em qualquer uma das equações.
    Se eu substituir nessa primeira, vai ficar 4x 4 vezes 1, 4 menos 2y, igual a 20. Vou ficar com -2y é igual a 20, menos 4, 16.
    Meu y vai dar -8, 16 sobre -2. Minha solução desse sistema aqui, por exemplo, seria isso.
    Seria 1 e -8. x é 1 e y é -8.
    Se eu colocar x é igual a 1 e y é igual a -8, nessa equação o resultado vai dar 20 e nessa vai dar -10. Eu satisfaço as duas equações.
    Por que eu resolvi esse sistema? Só pra gente pensar o seguinte.
    Uma interpretação que podemos dar, que sempre é cabível em sistemas lineares, é uma interpretação geométrica. Como assim?
    Posso enxergar como equações normais e isso como número, um x e um y que satisfazem as duas, ou posso ver como equação de reta, equação do primeiro grau. Estudamos isso no nosso curso de Geometria Analítica.
    Isso aqui é equação geral de uma reta e isso aqui é equação de outra reta. Eu tenho duas retas e encontrei isso daqui.
    Posso enxergar isso como um ponto. A solução de um sistema, no caso, eu estou achando o ponto que satisfaz as duas retas, ou seja, o ponto de interseção entre elas.
    Posso dar essa interpretação geométrica. Neste caso, vou fazer uma análise com vocês.
    Se eu der uma interpretação geométrica pra um sistema como aquele, eu tenho três possibilidades. Aquele ali, que é o nosso caso, com retas concorrentes.
    Eu achei, então, o ponto que pertence às duas retas. Isso aqui seria minha solução.
    Eu tenho uma solução, quando eu tenho retas concorrentes. Se forem retas paralelas, eu tenho zero soluções.
    Nenhuma solução, porque retas paralelas não se encontram. Então, não tenho solução para o meu sistema.
    Aqui eu tentei fazer as retas uma em cima da outra, eu afastei um tiquinho só pra ficar claro, mas seriam retas coincidentes. São a mesma reta.
    Então, todos os pontos são solução e pertencem às duas retas. Então, aqui eu teria infinitas infinitas soluções, beleza?
    Apesar de que a gente pode trabalhar com sistemas de três incógnitas, quatro incógnitas, e por aí vai, pode ser x, y, z, w, e tal, a interpretação geométrica sempre vale. Eu fiz aqui para duas equações do primeiro grau, ou seja, eu teria duas retas, mas isso vai sempre valer.
    Num sistema linear, eu tenho só três possibilidades. Ou eu tenho apenas uma solução, que tivemos ali, e esses sistemas vão interessar a gente bastante como solução, ...

Tópicos relacionados

Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

6 Vídeos 0 Exercícios 1 Resumo
Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Autovalores, Autovetores e Diagonalização

6 Vídeos 0 Exercícios 1 Resumo

Temos o plano de estudo perfeito para você!

R$ 19,90 /mêsCancele quando quiser, sem multa

E mais

  • check Soluções passo a passo
  • check Resumos por tópicos
  • check Salve para ver depois
  • check Disciplinas ilimitadas
  • check Filtros exclusivos de busca