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Inversão de matrizes - Teoria

Definição e exercícios sobre matrizes inversas

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    lockResolução de sistemas lineares usando inversão de matrizes - Teoria

    lockResumo - matriz e sistemas lineares - Resumo

  • E aí, pessoal, beleza? Agora, vamos falar de um outro conceito importante para a gente, que é o de matriz inversa, de inversão de matrizes.
    Então, vamos lá. Primeiro, esse conceito de inversão de matrizes, trabalharemos só no conjunto das matrizes quadradas.
    Isso significa matrizes em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Então, tem esse exemplo aqui.
    que a gente fala que é uma matriz quadrada de ordem 2, porque é uma matriz de 2 por 2, ela tem duas linhas e duas colunas. Essa aqui é uma matriz 3 por 3, 3 linhas e 3 colunas.
    Seria uma matriz quadrada de ordem 3. Então, aqui eu teria ordem 3.
    Aqui, eu teria ordem 2. Esses nomes podem aparecer para a gente, então, é importante sabermos o que significam.
    E aqui, ordem 4, matriz de 4 por 4. Então, é importante sabermos que vamos trabalhar esse conjunto, das matrizes quadradas.
    Se aparecer aqui uma matriz de 3 por 2, nem faz sentido falar de inversão de matrizes. Um outro conceito que a gente vai precisar usar aqui é o conceito de matrizes identidade.
    O que é matriz identidade? São matrizes quadradas também.
    Continuamos no mesmo conjunto das matrizes quadradas. Só que são matrizes em que todos os termos são 0, exceto os termos da diagonal principal.
    Os termos da diagonal principal são iguais a 1. Então, isso aqui seria a matriz identidade de ordem 2.
    Normalmente, a gente a nomeia da seguinte maneira: I2, matriz quadrada de ordem 2. Ou simplesmente "I".
    Então, isso aqui seria matriz "I", identidade também, ou I3, identidade de ordem 3. Essa aqui seria I4, ou simplesmente "I".
    Enfim, a identidade é isso. Então, eu tenho números iguais a 1 na diagonal principal aqui, e todos os outros elementos são iguais a 0.
    A isso, a gente dá o nome de matriz identidade. Dadas essas definições, o que seria uma matriz inversa de outra?
    Seria isso aqui. "A" é inversa de "B" se "A" vezes "B" é igual a identidade, simplesmente isso.
    Vamos ver o que isso significa, as implicações que isso vai ter para a gente. Vamos pegar esses dois exemplos que eu coloquei aqui, com essas duas matrizes "A" e "B", vamos multiplicar "A" e "B" e "B" e "A" e ver no que dá.
    Se eu fizer "A" vezes "B", vai dar o seguinte Então, eu vou ter que pegar o primeiro elemento Linha 1, coluna 1, então, eu vou ter 2 vezes 3, que é 6, -5 vezes 1, que é -5. 6 menos 5 dá 1, então, esse elemento é igual a 1.
    Então, o próximo aqui. Então, a gente vai fechar essa matriz.
    Próximo aqui é linha 1 ainda, estou aqui ainda. Coluna 2.
    2 vezes 5 dá 10. -5 vezes 2 dá -10.
    10 menos 10 dá 0. Então, agora, linha 2.
    Estou aqui embaixo, coluna 1, linha 2. -1 vezes 3 dá -3.
    3 vezes 1 dá 3. -3 mais 3 dá 0.
    Então, agora, linha 2, coluna 2. -1 vezes 5 dá -5.
    3 vezes 2 dá 6. 6 menos 5 dá 1.
    Então, olha só, se eu fiz "A" vezes "B", deu identidade, então, eu posso falar o quê? Que "B" é a inversa de "A", porque "A" vezes "B" é igual à identidade.
    A inversa de "A", no caso, é a identidade de ordem 2. Já que as duas matrizes são quadradas de ordem 2, eu vou falar da I2, identidade de ordem 2.
    Um outro jeito de representar seria B=A^(-1). Isso aqui também aparece, significa que é a inversa de "A".
    Para falar em inversa, eu posso escrever dessa maneira. A^(-1). Agora, vamos ver um negócio interessante.
    Vamos fazer "B" vezes "A" agora. A gente pode fazer porque se eu pegar "B", o número de colunas, 2, é o número de linhas de "A", então, o produto está definido.
    Faz sentido eu falar em multiplicação. Se eu fizer "B" vezes "A" A primeira matriz aqui é A.
    B. A primeira linha dela.
    Estou aqui na primeira linha, coluna 1. Linha 1, coluna 1.
    3 vezes 2 dá 6. 5 vezes -1 dá -5.
    6 menos 5 vai dar 1. Então, linha 1 ainda, estou aqui ainda, coluna 2.
    Então, eu pego essa coluna. Vai ficar 3 vezes -5, que dá -15, e 5 vezes 3, que dá 15.
    15 menos 15 dá 0. Para a gente ganhar tempo, vou deixar vocês terminarem o produto, além de você praticarem, a gente já fez isso.
    Você vai encontrar isso aqui. 0 e 1, ou seja, eu posso falar também que "A" é a inversa de "B".
    Depois vocês terminam o produto aí. "A" é inversa de "B", ou seja, posso falar aqui que A é B^(-1), a inversa de "B". Então, isso é legal.
    Sempre que eu tenho "A" inversa de "B", "B" também é inversa de "A". Se eu fizer "A" vezes "B" ou "B" vezes "A", também vai dar identidade.
    Então, isso é interessante. A gente tinha visto que a operação do produto era ligeiramente peculiar, digamos assim, porque tinha essa questão da comutatividade, mas aqui é tranquilo.
    Se "A" é inversa de "B", "B" também é inversa de "A". "A" vezes "B" ou "B" vezes "A" também vai dar identidade.
    Eu queria começar mostrando isso aqui. E agora vamos pensar como calcular a identidade.
    Isso é importante. Vou desmanchar isso aqui.
    Finge que eu não conhecia essa matriz "B". Uma propriedade importante é a identidade ser única.
    Por exemplo, a gente viu que "B" é a inversa de "A". Não existe nenhuma outra matriz que se eu multiplicar por "A" vai dar a matriz identidade.
    Então, o que isso significa? Existe uma única matriz "B" tal que "A" vezes "B" vai dar identidade.
    Que matriz "B" é essa? Nesse caso, eu já sabia.
    Vamos supor que eu não soubesse. Vamos supor que eu não tivesse essa informação.
    Como eu descubro quem é a inversa de "A"? A gente vai fazer o seguinte: Vamos dizer que a inversa de "A" esteja aqui, A^(-1). Não sei quem é.
    Vai ser uma matriz 2 por 2, porque "A" é 2 por 2. Então, estamos sempre trabalhando no conjunto das matrizes quadradas.
    Eu vou chamar aqui de "x", "y", "w" e "z". Não sei quem é.
    Quero descobrir esses elementos. Teríamos que chegar nisso aqui, essa matriz "B".
    Então, vamos lá. Se A^(-1) é a inversa, segue que A^(-1), pela definição de inversa, tem que dar identidade. Então, vamos escrever isso.
    Vou colocar em preto aqui embaixo. Eu vou ter 2, -5, -1 e 3.
    Se eu multiplicar pela matriz "x", "y", "w" e "z", isso tem que dar a identidade, tem que dar 1, 0, 0 e 1. Ou então se eu fizesse A^(-1) vezes "A" teria que dar essa matriz vezes essa, e ia dar identidade. Bom, vamos desenvolver isso aqui e a gente acha esses elementos.
    Então, primeiro, vamos pegar quem vai ser essa matriz, que eu vou colocar aqui, um pouco maior. Vocês já vão entender por quê.
    Então, a matriz "A" vezes A^(-1), vou fazer aqui agora. Isso teria que dar identidade, que é 1, 0, 0 e 1.
    Então, vamos fazer o produto. Linha 1, coluna 1.
    2x-5w. Então, esse elemento aqui é 2x-5w.
    Agora, linha 1, coluna 2. 2y-5z.
    A gente vai desmanchar isso aqui. Então, isso aqui é 2y-5z.
    Então, agora, linha 2, coluna 1. -x+3w.
    E linha 1, coluna 2, aqui. -y+3z.
    Agora, a gente vai trabalhar a ideia de igualdade de matrizes. Duas matrizes são iguais somente se cada elemento delas for igual.
    Então, esse elemento aqui tem que ser 1. Esse elemento aqui tem que ser 0.
    E por aí vai. Então, vamos pegar esses dois primeiros aqui.
    2x-5w tem que dar quanto? Tem que dar 1.
    E esse aqui, eu vou achar que-x+3w tem que dar 0. Então, -x+3w=0.
    E agora, eu resolvo esse sistema de duas equações. Por exemplo, dessa equação, eu tiro que x=3w.
    Aí, se eu substituir isso em cima, o que é 2x? É 2 vezes 3w.
    É 6w. Então, se eu substituir aqui, fica assim, 2 vezes "x", que é 3w, que tem que ser igual a 1.
    Então, isso aqui é 6w-5w, que dá "w", que é igual a 1. Então, daqui eu já tirei que o "w" vale 1.
    Se o "w" vale 1 e o "x" é 3w, "x" é 3 vezes 1. "x" é 3.
    Então, eu já descobri dois elementos. Se eu fizer um processo análogo aqui agora Vamos pegar esse termo, que tem que ser igual a 0.
    2y-5z tem que ser igual a 0. E esse termo aqui tem que ser igual a 1.
    ...

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