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Matrizes e operações matriciais elementares - Teoria

Revisão sobre operações realizadas com matrizes

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  • play_arrowIntrodução a representação matricial - Teoria

    lockMétodo da eliminação de Gauss - Teoria

    lockMatrizes e operações matriciais elementares - Teoria

    lockProduto de matrizes - Teoria

    lockInversão de matrizes - Teoria

    lockResolução de sistemas lineares usando inversão de matrizes - Teoria

    lockResumo - matriz e sistemas lineares - Resumo

  • E aí, gente, tudo bem? Vamos lá, continuando a falar de matriz.
    A gente vai falar agora de operações com matrizes. As operações matriciais.
    Neste vídeo, a gente vai falar das operações elementares, que seriam somas de matrizes, multiplicação por um escalar, por um número real e sobre igualdade de matrizes. Então, vamos lá.
    O que seria, então, somar duas matrizes? O que vamos ver aqui Na verdade, pra tudo o que vamos fazer nessa aula, a gente vai fazer as coisas termo a termo, beleza?
    O que isso significa? Bom vamos supor que eu quero calcular aqui uma matriz soma, eu quero somar a matriz A com a matriz B, aquelas duas matrizes que estão ali em cima.
    O que seria a matriz A + B? Vamos lá.
    Vou pegar, então, o primeiro termo da A, ou seja, o termo da linha 1, coluna 1, e vou pegar o primeiro termo da B, linha 1, coluna 1, e vou somar esses dois termos. Zero mais 1, então vou ter 1.
    Próximo termo, que seria 2 mais -1, né, que seria o correspondente, então, estou na primeira linha da A, segunda coluna. Vou lá, então, na primeira linha da B, segunda coluna, -1.
    Então, 2 com -1. Vai me dar o quê?
    Vai me dar 1. Então, peguei aqui, ó.
    Primeira linha, ainda, terceira coluna. Vou lá na B, então, na primeira linha, terceira coluna, -1 e 9.
    Isso vai dar o quê? 8.
    Então, por aí, vai. A ideia de fazer termo a termo, eu sempre pego o termo correspondente a ele na outra na outra matriz.
    Então, fui pra segunda linha. Segunda linha, coluna 1.
    Segunda linha, coluna 1. 3 e o 2.
    Então, vai me dar o quê? -1.
    E por aí vai. Então, vou ter 1, o análogo dele seria o zero, certo?
    O 5, o análogo dele seria o 7, então me dá 12. Então, essa é a matriz A + B.
    Somo sempre termo a termo. Legal?
    Agora, uma coisa que você já deve ter percebido dessa ideia do termo a termo é que se, por exemplo, eu quiser fazer a matriz A + C, como que eu calculo? Não vai ter, né?
    Porque eu posso chegar aqui na linha 1, coluna 1. Então, linha 1, coluna 1.
    E por aí vai. Só que se eu chegar na coluna 3 Por exemplo, eu pego linha 3, correto?
    Coluna 3. Então, eu tenho -1.
    Aqui eu tenho Desculpa, né? Linha 1, coluna 3.
    Tô na linha 1, coluna 3. Quando eu pegar a linha 1 aqui, eu não tenho uma coluna 3.
    Então, eu preciso que o número de linhas e o número de colunas das duas matrizes sejam iguais pra eu somar elas. Cê pode imaginar: "Aqui é zero, zero, zero.
    " Não. Essa matriz que tá aqui é totalmente diferente dessa outra que eu coloquei aqui agora.
    Se acrescentar zero, se eu acrescentei uma coluna, são matrizes distintas. Então, eu não consigo somar essa matriz A com a matriz C.
    Não é como se tivesse zeros aqui. Não é assim.
    Beleza? Essa coluna aqui não existe.
    Não posso somar com algo que não existe. Então, isso daqui, ó, não tem como calcularmos.
    Então, é importante a gente pegar a ideia de que é termo a termo, mas eu não consigo somar, por exemplo, a matriz A com a C, ou a A com a D. Conseguiria somar a C mais a D, não é?
    Vamos até fazer aqui, então. C + D.
    Vamos fazer um pouco mais rápido. Quanto que daria?
    1 mais o 2, não é? 3.
    Análogo do 2 aqui seria o 4 lá. 6.
    Análogo do -1 seria o 3, então vou ter 2. Análogo do zero seria o -1.
    Então, fechou. Não posso somar é a D com a B, nem a D com a A.
    Certo? Ou A com a C, e por aí vai.
    Mas, então, eu preciso que as matrizes tenham o mesmo número de linhas, mesmo número de colunas. Legal?
    E somo termo a termo. Beleza?
    Tá. Outra coisa que é importante seria a multiplicação por escalar.
    De novo, como que a gente vai fazer a multiplicação por escalar? Termo a termo.
    Vamos multiplicar termo a termo. O que isso significa?
    Significa que, se eu quiser, por exemplo, fazer aqui a matriz X Vamos chamar Ou de até de outra letra. A matriz F.
    Vamos dizer que a matriz F é 3 vezes a matriz A. Como que eu faço isso?
    Eu vou pegar a matriz A Cadê a minha matriz A? Tá aqui em cima.
    Vou multiplicar todos os termos por 3. Então, 3 vezes zero, zero.
    3 vezes 2, 6. 3 vezes -1 E por aí vai.
    Então, vou colocar a minha matriz A, ali, ó, é zero, 2, -1. Deixa eu colocar ela aqui embaixo, então, espera aí.
    Vamos repetir essa matriz A aqui, ó. Então, a matriz A é essa daqui.
    Zero, 2, -1. E na segunda linha, a gente tem o Cadê?
    -3, 1 e 5. Então, se eu colocar aqui, ó -3, 1 e 5.
    Então, minha matriz 3A vai ser 3 vezes zero, zero. 3 vezes 2, 6.
    3 vezes -1, -3. Aí, aqui embaixo, 3 vezes -3, -9.
    3 vezes 1, 3. 3 vezes 5, 15.
    Então, sempre termo a termo. Se eu quisesse a matriz vamos chamar de matriz G, que seria matriz -A.
    O que é a matriz -A? É multiplicar por -1, não é?
    Então, vou ter zero, -2 Olha a matriz A aqui. Zero menos 2, 1.
    3, -1, -5. Então, de novo, termo a termo, pessoal.
    A multiplicação, aqui, por escalar O que seria escalar? Um número real, né?
    Eu não estou multiplicando uma matriz por outra matriz. Estou multiplicando a matriz por um número real.
    Então, sempre que eu tiver um número real multiplicando uma matriz, é só eu distribuí-lo. Todos os termos dessa matriz vão ficar multiplicados por esse número.
    Tranquilo, pessoal? Beleza.
    A última coisa aqui, então, seria igualdade de matrizes. De novo, a gente vai pensar nessa ideia de termo a termo.
    Termo a termo. Então, essa ideia vai valer pra todos esses conceitos dessa aula de hoje.
    Como assim? Se eu quero, então, que a matriz X seja igual à matriz Y, do que eu preciso?
    Que esse termo da linha 1, coluna 1 do X seja igual a esse termo da linha 1, coluna 1 da matriz Y. Então, ou seja, o a tem que ser igual a 1.
    Então, esse termo, -2, o análogo dele é o b. Então, o b tem que ser -2.
    Por aí vai. Esse termo aqui, então, tô na linha 2, coluna 1.
    Então, venho aqui na linha 2, coluna 1, é o c. O c tem que ser 3.
    Por aí vai. O análogo do 8, d.
    O d tem que ser 8. Então, de novo, a gente vai na ideia do termo a termo.
    Uma matriz só é igual a outra matriz se cada elemento seu análogo ao da outra for igual. Então, sei lá, se eu pegar uma matriz qualquer.
    Se eu pegar o elemento da linha 3, coluna 8, se eu for na outra matriz que é igual a ela, o elemento da linha 3, coluna 8 é igual. Então, a matriz só é igual a outra se todos os elementos são idênticos.
    Então, de novo, pra duas matrizes serem iguais, elas vão ter que ter necessariamente o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Né?
    Não faz sentido eu pegar uma matriz, por exemplo, igual a gente tem aqui em cima, a matriz C, e falar que ela é igual à A. Não tem como, né?
    Porque ela tem uma coluna a mais. Eu precisaria que eu tivesse um -1, um 5, e inclusive que esses outros termos fossem iguais.
    Mas enfim. Pra matrizes serem iguais, elas têm que ter o mesmo padrão, o mesmo formato, vamos dizer assim.
    O mesmo tamanho. O mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
    Beleza? Então, é isso, pessoal.
    Por hoje é só, né? Essa aula aqui é só pra gente definir essas operações e recordar delas.
    Na próxima aula, vamos pra operação que é um pouquinho mais elaborada, que é o produto de matrizes, que vai ser muito importante pra gente. Então, é isso.
    Muito obrigado pela atenção e até a próxima aula. ...

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