Matriz e Sistema Lineares Aprenda tudo que você precisa

  • play_arrow 6 videos
  • subject1 Resumo
lock

Esse conteúdo é exclusivo para assinantes.

Assine o Plano Premium e tenha acesso ilimitado a todas as aulas

AssinarVeja aula grátis

Método da eliminação de Gauss - Teoria

Apresentação de um método importante de resolução de sistemas lineares

  • thumb_down 8
  • Plano completo
  • Transcrição
  • play_arrowIntrodução a representação matricial - Teoria

    lockMétodo da eliminação de Gauss - Teoria

    lockMatrizes e operações matriciais elementares - Teoria

    lockProduto de matrizes - Teoria

    lockInversão de matrizes - Teoria

    lockResolução de sistemas lineares usando inversão de matrizes - Teoria

    lockResumo - matriz e sistemas lineares - Resumo

  • E aí, pessoal, tudo bem? Hoje, vamos estudar o primeiro método, um método bastante eficiente pra gente resolver sistemas lineares, principalmente quando começam a ficar grandes, este aqui seria um.
    Um sistema de três equações. Beleza?
    Três incógnitas. Legal?
    É o método de Gauss ou talvez você possa encontrar com esse nome, método de Gauss-Jordan, ou método da eliminação de Gauss, enfim. O nome não é o mais importante.
    Vamos ver como funciona. Vamos começar com um exemplo.
    Imagina este sistema. Três incógnitas, três equações.
    Esse sistema, você pode pensar que é muito fácil. Esta última equação já te deu o z, o z vale 1.
    Se você já tem o z, você coloca ele aqui. Então, essa equação, de cara, já te dá quem é o y.
    Aqui vai ficar 2 vezes 1, já sabendo quanto é o z, 2 vezes 1, 2. Passa pra lá, -6 com -2 dá -8.
    3y é -8. Morreu, achou o y.
    Aí, você volta pra de cima. Agora, já tenho o y e o z.
    Se eu já tenho o y e já tenho o z, só substituir de cara e eu descubro o x. É só isolar os termos e tal, fazer as contas.
    Não vai nos interessar agora. Que fique claro que esse sistema seria muito simples de resolver.
    O método consiste, basicamente, em chegar em um sistema desse modelo. Por exemplo, pensa só.
    O caso aqui, apesar de não ter colocado, é que aqui eu teria um 0x. 0x, mais 3y.
    E aqui embaixo seria 0x, mais 0y, mais z, igual a 1. Se a gente fosse fazer a matriz aumentada disso, como ia ficar?
    A matriz aumentada ia ficar assim. 1, 1, 1 Primeira equação, já vamos separar aqui.
    Com os coeficientes. Ali vou ter 4, certo?
    Vamos lá. Segunda linha ia ficar zero, 3, 2, -6.
    E terceira linha, eu ia ter zero, zero, 1 e 1. Percebam o que apareceu aqui.
    Apareceu um certo triângulo de zeros. O ideal é que a gente tenha esse triângulo de zeros.
    Por quê? O método de Gauss, vamos ver como manipular equações pra encontrar isso, mas a ideia é justamente essa.
    Você encontra o zero e zero aqui, significa que essa equação é 1z igual a 1. Beleza?
    Se tem um zero aqui, significa que a equação é 3y, mais 2z, igual a -6. Lembra do nosso combinado?
    Tudo aqui é coeficiente do x, aqui do y e aqui do z. Se eu colocar a matriz aumentada e ir manipulando nela, mexendo nela, daqui a pouco vamos ver como, pra que apareçam esses três zeros, meu sistema fica extremamente simples de resolver.
    Por que é um método bom? Agora que eu tenho um sistema três por três, eu tenho três incógnitas, fica ruim.
    No sistema dois por dois, você isola uma incógnita e substitui na outra equação ou só soma e tal. Aqui, eu tenho três incógnitas.
    Fica ruim de trabalhar. Esse método é muito eficiente pra gente.
    Ele é prático. Se eu fizer a manipulação correta e obter essa figura, meu sistema vai ficar simples.
    Isso vale não só por três por três, vale pra qualquer sistema. Vamos supor que fosse quatro por quatro.
    Eu teria x, y, z, w, e aqui seria a coluna dos coeficientes. Vamos supor que eu teria quatro incógnitas.
    Sei lá, 1, 2, 3, 1, -2. E por aí vai.
    Só que meus zeros vão ficar aqui. Quero achar o w.
    Por exemplo, eu teria 2w igual a 3. Aqui eu quero colocar um zero, um zero, um zero, porque essa equação toda ia ser o quê?
    0x, 0y e 0z, essa equação ia ser 2w, ou alguma-coisa-w, igual a outra coisa. A equação de cima, eu posso ter um coeficiente aqui e aqui, posso ter um aqui, mas aí vou zerar aqui, porque essa equação vai ser 2z, mais w, igual a -1.
    Mas eu acabei de obter o w aqui embaixo. E aí, na verdade, eu precisaria de mais uma equação, eu coloquei só três, mas enfim.
    Se tivesse espaço pra mais uma, aqui ia ser meu zero. Se tivesse espaço pra mais uma equação, eu colocaria meu zero ali e tá aqui, o nosso triângulo apareceu de novo.
    Eu sempre começo com a quantidade de zeros aqui, de tal maneira que eu tenha apenas um coeficiente diferente de zero nas incógnitas. Aí, eu vou diminuindo.
    Aqui deu três zeros, aqui dois zeros, aqui um zero, e por aí vai. O ideal é que apareça esse triângulo.
    Foi até legal esse exemplo aqui, acabei errando sem querer, mas ele é legal porque esse método funciona quando o número de equações é igual ao número de incógnitas, que vai ser um caso bem especial pra gente. Aqui, a gente já viu que não teria como fazer esse.
    O triângulo não fecha bonitinho, não acontece essa escadinha, subindo e tal, do jeito que a gente espera. Legal?
    A gente vai trabalhar com casos em que eu tenho três equações e três incógnitas, quatro equações e quatro incógnitas e por aí vai. Esses vão ser os sistemas de nosso interesse por enquanto, beleza?
    Como a gente resolve isso? A gente resolve da seguinte maneira.
    A gente resolve com operações elementares. Por exemplo, você bem sabe Vamos definir essas três.
    Pra uma equação, se eu for resolver um sistema, eu posso multiplicar a equação inteira por uma constante. Se eu multiplicar essa equação inteira por -1, se eu multiplicar por -1 dos dois lados, não tem problema, posso multiplicar tudo por 2 e por aí vai.
    O mesmo eu posso fazer na matriz aumentada. Eu posso multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula Por que não nula?
    Senão, vou ter zero igual a zero. Eu perco a informação da minha equação.
    Posso multiplicar uma linha inteira porque multiplicar uma linha inteira por uma constante é simplesmente multiplicar a equação por uma constante. Eu posso fazer isso.
    Eu posso trocar duas linhas. Trocar linhas significa só colocar essa equação antes dessa, não faz diferença nenhuma, e essa seria a terceira operação elementar, somar uma constante vezes uma linha a uma outra linha.
    Como assim? Eu multiplico isso, por exemplo, por -1 e somo com essa equação, posso fazer isso.
    Multiplicar a equação por uma constante não nula e somar com outra linha com uma outra equação, desculpa. Posso fazer isso.
    Posso fazer isso com as linhas porque as linhas são equações. Lembre das operações que você fazia com equações pra resolver esses sistemas lineares lá no seu ensino médio, talvez.
    As mesmas operações que podemos fazer com equações, podemos fazer com linhas, porque essas linhas são as equações. Beleza?
    Usando essas operações elementares, vamos tentar fazer com que apareça aquela escadinha de zeros, com que apareçam esses zeros aqui. Legal?
    Vamos fazer um exemplo. Nosso exemplo tá aqui.
    Tenho um sistema três por três. Três incógnitas, três equações.
    Vamos escrever, então. Vamos começar escrevendo a matriz aumentada desse sistema.
    Então, vamos lá. A matriz aumentada vai ficar aqui.
    1 pro x primeiro, né? 2 e 3.
    Pro y eu vou ter 1, 4 e 6. Pro z, eu teria 2, -3, -5.
    Vamos separar os coeficientes e eu teria aqui, então, 9, 1 e zero. Legal.
    Então, vamos lá. Eu não vou trocar nenhuma linha, vou deixar desse jeito.
    Você pode trocar as linhas só se achar que vai ficar mais fácil colocar uma equação por último. Eu vou começar zerando esses dois caras.
    Pode ser? Então, pra zerar esse cara, imagina só, se eu multiplicar essa linha inteira aqui por -3, aqui vai aparecer -3.
    Aí, basta eu somar essas equações. Então, vamos fazer isso, ó.
    A minha nova linha, colocar L3. A minha nova linha L3 vai ser igual à minha linha L3 antiga menos 3 vezes a linha L1.
    O que eu tô fazendo aqui? Estou fazendo a terceira operação elementar.
    Vou somar uma constante vezes uma linha a uma outra linha. Beleza?
    Então, tá, vamos fazer isso. E vamos já fazer o seguinte.
    Pra eu zerar isso daqui, eu vou multiplicar essa linha inteira por -2, porque quando eu somar essas duas linhas, -2 com 2 vai zerar. Então, a minha nova linha 2, vai ser a minha linha 2 antiga menos duas vezes a linha 1.
    Então, vamos lá. Vamos começar, então.
    Vamos colocar a nossa matriz aqui. Espera aí.
    Nossa matriz aumentada. Certo?
    Então, tá aqui. A linha 1 eu vou manter.
    A linha 1 tá ali. É 1 1, 2 e aqui, os termos independentes, 9.
    A minha linha 1 eu mantive. E minha linha 2?
    Vamos lá. Pra linha 2.
    A linha 2 vai ser Vamos até representar aqui de outra maneira, colocar a linha 3 nova. Beleza?
    Então, L3'. Só pra gente não confundir.
    Esse aqui é a linha 3 atual. E aqui é L2', a nova linha 2 que vou colocar aqui é a linha 2 aqui menos duas vezes a linha 1.
    Beleza? Então, vamos lá.
    Se eu fizer essa operação aqui Essa operação é o quê? Linha 2, eu tenho 2, 4, -3 e 1, não é?
    Aí, eu vou somar ela com -2L1. Então, vou pegar L1 e multiplicar por -2.
    Então, vai ficar -2 Estou multiplicando isso daqui por -2. -2, -2, -4, né?
    -2, -4 O que mais? -18, não é?
    Beleza. Aí, eu vou somar essas duas linhas, não é isso?
    A minha nova linha 2 é a soma dessas duas coisas. Aqui zera, aqui eu vou ter 2, aqui eu vou ter 2, aqui vou ter -7, ...

Tópicos relacionados

Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

6 Vídeos 1 Resumo
Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Autovalores, Autovetores e Diagonalização

6 Vídeos 1 Resumo

Planos de estudo com tudo o que você precisa

R$29,90/mês

Cancele quando quiser, sem multa

Aproveite também

  • check Todos os materiais compartilhados
  • check Biblioteca com mais de 5.000 livros
  • check Exercícios passo a passo
  • check Videoaulas e resumos