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Produto de matrizes - Teoria

Conceituação e exercícios sobre a operação de multiplicação de matrizes

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    lockMétodo da eliminação de Gauss - Teoria

    lockMatrizes e operações matriciais elementares - Teoria

    lockProduto de matrizes - Teoria

    lockInversão de matrizes - Teoria

    lockResolução de sistemas lineares usando inversão de matrizes - Teoria

    lockResumo - matriz e sistemas lineares - Resumo

  • E aí, pessoal, tudo bom? Agora, a gente vai definir uma nova operação aqui.
    Vamos mexer um pouco com matriz. Vai ser o produto de matrizes.
    É uma operação que exige um pouco mais de cuidado. Eu vou detalhar aqui para vocês, mas antes vamos fazer essa operação.
    Vamos fazer o produto da matriz "A" pela matriz "B". Essas duas matrizes que eu tenho aqui, a gente vai tentar construir o conceito juntos, para ficar um pouco mais claro na hora de eu passar a definição.
    Acho que vai fazer mais sentido na hora em que a gente definir a operação. Então, vamos lá.
    Eu vou fazer o produto da matriz "A" pela matriz "B". Então, a gente vai continuar mexendo com aquela ideia de termo a termo.
    Então, a princípio, eu nem sei quantas linhas, quantas colunas esse cara aqui vai ter. Então, eu vou deixar um certo espaço aqui.
    A gente vai construir a ideia da operação. Então, vamos lá, pessoal.
    A ideia é a seguinte Por exemplo, eu vou pegar esse elemento que está aqui. Esse elemento que está aqui é o elemento da linha 1, da minha matriz produto, coluna 1.
    Então, o que a gente vai fazer? Linha 1, coluna 1 Para linha, sempre vamos pensar na primeira matriz do produto, e para coluna, na segunda.
    Ele está na linha 1. Então, vou pensar nesse cara aqui, na linha 1 da minha primeira matriz, que é a matriz "A".
    E a coluna é a coluna 1. Então, eu penso na coluna 1 da minha segunda matriz, que é a matriz "B".
    E aí, eu multiplico esses dois caras. Eu multiplico essa linha por essa coluna, pensando naquela ideia do termo a termo.
    Então, eu vou fazer 0 vezes 1 Vou até fazer para esse cara aqui. Vai ser esse produto aqui 0 vezes 1, que vai dar 0, mais 1 vezes 0, logo aqui embaixo, que vai dar 0 também, mais -1 vezes 0, que vai dar 0 também.
    Então, o que acontece? A gente vai multiplicar, termo a termo, o primeiro elemento dessa linha com o primeiro elemento da coluna, o segundo elemento da linha com o segundo elemento da coluna, e somar esses produtos.
    Nesse caso aqui, esse elemento deu 0. Quando eu for para o próximo cara Vou pegar até uma outra cor aqui, para facilitar a visualização.
    Para esse elemento que está aqui Que elemento que é esse? Esse elemento está na linha 1.
    Se é linha 1, em quem eu penso aqui? Na primeira matriz, eu pego a linha 1.
    Continuo analisando essa linha aqui. Linha 1, coluna 2.
    Se é a coluna 2, é a segunda matriz do meu produto. Eu vou lá na coluna 2 dela.
    Então, está aqui. Então, que produto eu vou fazer?
    0 vezes 2. O primeiro elemento dessa linha com o primeiro elemento dessa coluna.
    Então, 0 vezes 2 é 0, mais 1 vezes -1. O segundo elemento dessa linha com o segundo elemento dessa coluna.
    1 vezes -1 é -1. Mais -1, último elemento dessa, vezes -4.
    Fazendo esse produto, vai dar 4 positivo. Então, 4 menos 1 dá 3.
    Então, esse elemento aqui vai ser igual a 3. Pegaram a ideia, pessoal?
    Vamos para o próximo cara, então. Vamos voltar aqui para o azul.
    Então, quando eu pegar esse cara aqui, eu continuo na linha 1 dessa minha matriz. Porém, agora eu estou na linha 1, coluna 3.
    Linha 1, eu continuo com esse cara, porém, na coluna 3. Vou pegar essa coluna aqui.
    Então, vamos fazer o produto? O primeiro elemento dessa linha vezes o primeiro elemento dessa coluna.
    0 vezes 0 é 0, mais 1 vezes, que dá 0 também, mais -1 vezes 3, que dá -3. Esse elemento é o -3.
    Vamos para o próximo cara. Vamos ver se tem um próximo cara.
    Será que tem um próximo cara? Quem é esse aqui?
    Linha 1. Então, eu pego a linha 1 desse cara aqui.
    A coluna é a coluna 4. Então, esse próximo cara é 5.
    Vamos fazer esse produto. 0 vezes 1 dá 0.
    1 vezes 5 dá +5. -1 vezes 2 dá -2.
    Então, vai dar 5-2, que é 3 também. Então, esse elemento vale 3.
    Vamos pensar por que isso para aqui. Por que não tem um próximo cara aqui?
    Que cara seria esse? Linha 1, porque eu estou nessa matriz, coluna 5.
    Então, eu pego a linha 1 da primeira e a coluna 5 da segunda. Como eu não tenho coluna 5 na segunda, então, o meu produto parou aqui.
    Então, esse cara realmente não existe. Captaram a ideia, pessoal?
    Então, vamos continuar a fazer esse produto. Como vai ficar, então?
    Vamos agora para a linha de baixo. Linha 2.
    Se eu estou na linha 2, o que eu tenho que fazer? Vou pegar a linha 2 da primeira matriz.
    Para a linha, eu sempre penso no primeiro cara do produto. Linha 2, coluna 1.
    Pego a coluna 1 dessa matriz aqui. Então, eu vou multiplicar essa linha por essa coluna.
    2 vezes 1 vai dar 2. -1 vezes 0 vai dar 0.
    3 vezes 0 vai dar 0 também. Isso vai dar simplesmente 2.
    Então, aqui vai dar 2. Vamos para o próximo elemento, que aparece aqui.
    Onde a gente está? Linha 2, coluna 2.
    Então, a linha 2 está aqui, a coluna 2 está aqui. Então, 2 vezes 2 vai dar 4.
    -1 vezes -1 vai dar +1. E 3 vezes -4 vai dar -12.
    Quanto vai dar essa conta aí? Eu tenho 5-12, que vai dar -7.
    Então, esse elemento aqui é o -7. Captaram a ideia, pessoal?
    Então, vamos lá. Vamos continuar.
    Aqui, eu tenho quem? Continuo com a linha 2.
    Porém, com a coluna 3. Então, eu vou pegar esse cara aqui da coluna 3.
    Então, 2 vezes 0 é 0. -1 vezes 0 dá 0.
    3 vezes 3 dá 9. Esse elemento aqui vai ser o 9.
    E o próximo, pessoal? Linha 2, coluna 4.
    Então, está aqui, linha 2, coluna 4. Então, vai ficar 2 vezes 1.
    Vou colocar aqui em cima 2. -1 vezes 5 dá -5.
    E 3 vezes 2 dá 6. Quanto que dá isso aí, pessoal?
    Aqui, eu tenho 1. 6-5 dá 1.
    1 mais 2 dá 3. Então, esse elemento é o 3.
    E aí, o meu produto acabou, porque, se eu fosse para a terceira linha, a terceira linha me faz pensar na primeira matriz, que não tem três linhas. Então, essa é a minha matriz produto.
    A gente já começa a perceber um negócio interessante. Quando eu vou fazer um produto, o número de colunas do primeiro fator tem que ser igual ao número de linhas do segundo fator para encaixar e dar certo.
    Então, nem sempre vai existir produto de matrizes. Então, fizemos esse produto.
    Acho que você entenderam visualmente como funciona. Vamos definir a operação de produto.
    Olha o que está escrito aí. Se eu vou fazer um produto de matrizes, o número de colunas do primeiro fator deve ser igual ao número de linhas do segundo fator.
    Então, se eu tenho essa matriz "A" Vamos dizer que é uma matriz do tipo MxP. O que significa isso?
    "m" linhas e "p" colunas. Essa notação é bem comum.
    O primeiro termo sempre é o número de linhas, e o segundo é o de colunas. Então, a matriz 3x2 tem 3 linhas e 2 colunas.
    5x4 tem 5 linhas e 4 colunas. O número de colunas do primeiro fator, que é esse cara aqui, tem que ser igual ao número de linhas do segundo fator.
    Então, eu só posso fazer esse produto de "A" por "B", se "B" for uma matriz do tipo "P" por alguma coisa, um "n" qualquer, porque esses caras têm que coincidir. Esse cara tem que ser igual a esse cara.
    O número de colunas do primeiro fator deve ser igual ao número de linhas do segundo fator, de tal maneira que o meu produto vai dar uma matriz "P", que é a matriz produto, que vai ser de qual tipo? Ela vai ser uma matriz MxN.
    Ela vai ter o número de linhas do primeiro cara pelo número de colunas do segundo cara, que foi exatamente o que a gente obteve ali em cima. Quantas linhas teve a matriz produto?
    O mesmo número de linhas do primeiro cara. Quantas colunas?
    4. É o mesmo número de colunas do segundo cara.
    Então, está aí a definição mais formal do produto matriz. Tomem cuidado, pessoal.
    O produto não é comutativo. O que significa ser comutativo?
    É aquela famosa frase: "A ordem dos fatores não altera o produto." Essa é a propriedade da comutatividade, ...

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