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Resolução de sistemas lineares usando inversão de matrizes - Teoria

Apresentação do método de resolução de sistemas lineares utilizando álgebra matricial

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    lockMétodo da eliminação de Gauss - Teoria

    lockMatrizes e operações matriciais elementares - Teoria

    lockProduto de matrizes - Teoria

    lockInversão de matrizes - Teoria

    lockResolução de sistemas lineares usando inversão de matrizes - Teoria

    lockResumo - matriz e sistemas lineares - Resumo

  • E aí, pessoal, tudo bem? Vamos lá.
    Agora, a gente vai discutir uma outra maneira, um método diferente de resolver um sistema linear. A gente está falando de sistema linear, mas, depois que vimos aquele método de Gauss, a gente acabou falando muito de matriz, mas em que a gente vai utilizar isso?
    A gente vai ver um método diferente bastante eficiente até de resolver sistema linear. Em que consiste?
    Consiste em eu escrever, primeiramente, esse sistema inteiro na forma matricial. Eu não vou ficar mexendo com esses algarismos, não.
    Eu vou escrever o sistema na forma matricial. Como eu faço isso?
    Veja se você concorda comigo. Vou escrever devagar e a gente vai fazer o produto depois para provar.
    A primeira matriz que eu vou escrever é essa aqui. Então, é uma matriz cujos termos vão ser os coeficientes que acompanham o "x", o "y" e o "z" .
    Então, nessa primeira matriz, eu vou colocar 1, que é o termo que acompanha o "x" aqui, 2 e 1. Então, seria aqui 1, 2 e 1.
    É tipo a ideia que a gente faz da matriz aumentada, só que a gente não vai colocar esses termos aqui. Então, aqui vai ficar -3, -1 e 1, os termos do "y".
    E aqui vai ficar 5, 1 e -1, os termos do "z". Então, é quase a matriz aumentada, só que sem esses termos.
    Aí, eu vou pegar essa matriz, multiplicar por uma matriz que vai ser a matriz "x", "y" e "z", e vou falar que isso aqui tem que ser igual à matriz dos coeficientes, 2, 8 e 1. O que isso significa?
    Calma, não precisa se assustar, porque vamos fazer esse produto. Olha só, para você entender por que a gente fez isso.
    Isso aqui são os coeficientes do "x", do "y" e do "z". Pega comigo aqui.
    Se eu fizer esse produto, o que eu vou ter? Se eu fizer esse produto inteiro, eu vou ter o seguinte x-3y+5z.
    Então, fazer isso aqui vezes isso aqui. Não é assim que a gente faz produto de matriz?
    Então, vamos lá fazer essa matriz produto aqui. O que essa matriz produto vai me dar?
    Eu estou na linha 1 dela. Linha 1, coluna 1.
    Então, vai ficar x-3y+5z. E agora, se eu for para a linha 1 com a coluna 2, não faz sentido, porque linha 1, eu continuaria aqui, mas para a coluna 2, essa matriz não tem duas colunas, então morreu aqui o meu produto.
    Meu produto morreu aqui. Agora, se eu pegar a linha 2, coluna 1.
    Isso tudo aqui é uma coluna só, um termo só. Então, linha 2, coluna 1.
    2x-y+z. E agora, a linha 3, coluna 1.
    x+y-z. Isso tem que ser igual a 2, 8 e 1, a matriz dos coeficientes.
    Então, isso tem que ser igual a 2, 8 e 1. E aí, como eu tenho igualdade de matrizes, aqui, eu tenho a matriz coluna, só uma coluna, e essa aqui também, então, isso tem que ser igual a 2.
    2x-y+z tem que ser igual a 8, x+y-z tem que ser igual a 1. Igualamos termo a termo.
    E aí, se eu igualar isso, eu vou voltar a ter o sistema ali. Primeira equação, x-3y+5z=2.
    O que eu tenho aqui? x-3y+5z=2.
    A segunda aqui, 2x-y+z=8. Se eu pegar aquela segunda, 2x-y+z=8.
    O que eu queria mostrar para vocês, para não ficar muito forçado, é que isso é a forma matricial desse mesmo sistema. Então, esse mesmo sistema que está aqui, eu posso escrever dessa maneira, que é a mesma coisa.
    Talvez em um primeiro momento fique um pouco difícil de visualizar, mas, de fato, é a mesma coisa. Então, olha só, vou desmanchar isso aqui, e vamos dar alguns nomes para essas matrizes.
    Então, normalmente, nomes comuns de se aparecer são o seguinte Normalmente, pegamos essa matriz, chamamos-lhe "A", essa aqui, a gente chama de "X", seria a matriz das variáveis, e essa aqui, a gente chama de "B", que é a matriz dos coeficientes independentes. Então, se fôssemos escrever esse sistema na forma matricial, eu escreveria assim AX=B.
    Então, todo sistema linear que você tiver, você pode transformar em uma matriz, escrever na forma matricial. Essa matriz "A" sempre vai ser os coeficientes das variáveis.
    Então, aqui, "x", "y" e "z" é uma das equações, tipo o que a gente fazia com a matriz aumentada. Essa matriz "X" vai ser "x", "y" e "z", na mesma sequência em que você distribuiu as variáveis nas colunas, então, "x", "y" e "z", você vai colocar essas variáveis, na mesma sequência nessa coluna.
    E a matriz "B" é a matriz dos coeficientes independentes. Então, sempre a gente vai adotar esse procedimento.
    A gente vai separar três matrizes, uma é a matriz dos coeficientes e das variáveis, que é "A", a matriz "X" é a matriz das variáveis e das incógnitas, e a matriz "B" é a matriz dos coeficientes, dos termos independentes. Então, sempre conseguimos escrever o sistema na forma matricial.
    E aí, qual é a sacada aqui? A sacada aqui é a seguinte Eu quero descobrir quem é "x", quem é "y" e quem é "z".
    Eu quero descobrir quem é esse cara. Então, pensa só, se você tem Vamos supor, isso aqui são matrizes.
    Vimos que a álgebra matricial é um pouco diferente. Vamos supor que você tenha isso aqui, 3x=6.
    Isso aqui são algarismos. "x" não é uma matriz, mas um algarismo.
    Você passa o 3, dividindo. Ficaria x=6/3.
    Eu quero fazer algo parecido, descobrir a matriz "X", das incógnitas. Se você for parar para pensar, você não passa o 3 dividindo.
    Você multiplica tudo por 1/3. Então, pensa só, se eu multiplicar aqui por 1/3 e multiplicar aqui por 1/3, o que acontece?
    Esse 3 cancela, 6 sobre 3, que dá 2. Então, "x" fica igual a 2.
    Eu multipliquei pelo inverso do que tinha aqui para esse negócio desaparecer. Tinha 3 e eu multipliquei por 3^(-1), que é simplesmente 1/3. Eu multiplico pelo inverso dos dois lados, que aí esse cara que está aqui some.
    O que a gente vai fazer é algo parecido. Eu quero que esse cara suma, então, eu vou multiplicar pelo inverso do "A", porque se eu multiplicar por A^(-1), multiplicar à esquerda Eu tenho aqui AX=B. Então, eu multiplico à esquerda por A^(-1). Por que à esquerda?
    Eu tenho que fazer dos dois lados. Isso é uma igualdade.
    Posso fazer uma operação de um lado desde que faça também do outro, para que a igualdade continue valendo. Por que à esquerda?
    Porque eu sei que se eu multiplicar A^(-1) vezes "B" e "B" vezes A^(-1) dá coisas diferentes. Então, eu multiplico sempre à esquerda nos dois lados.
    Por que eu faço isso? Por causa do seguinte A^(-1) vezes "A" vai dar identidade, pela própria definição de identidade. Então, vai ficar I.
    X=[A^(-1)].B.
    Então, quanto é a identidade vezes a matriz "X"? Uma propriedade da identidade que não tínhamos chegado a citar é que a identidade vezes qualquer matriz é a própria matriz.
    Por exemplo, vamos fazer aqui a identidade. Eu teria a identidade de ordem 3.
    1, 0, 0, 0,1, 0, 0, 0, 1. Se eu fizer isso aqui vezes a matriz "X", que é a matriz "x", "y" e "z", quanto isso aqui vai dar?
    Isso vai dar o seguinte Linha 1, coluna 1. Então, eu vou ter 1 vezes "x", que dá "x", 0 vezes "y", que dá 0, 0 vezes "z", que dá 0.
    Então, vai dar simplesmente "x". Linha 2, coluna 1.
    0 vezes "x" dá 0, 1 vezes "y" dá "y", 0 vezes "z" dá 0. Então, sobra só o "y", e se eu multiplicar isso por isso Linha 3, coluna 1.
    0 vezes "x" dá 0, 0 vezes "y" dá 0, 1 vezes dá "z". Ou seja, se eu multiplicar a identidade por qualquer matriz, eu continuo tendo a mesma matriz.
    Então, como é que fica essa nossa álgebra matricial aqui? Deixa eu desmanchar isso aqui.
    Vamos continuar a desenvolver aqui em cima. Vou trazer isso aqui para cá.
    Então, "I" vezes "X" é simplesmente "X". A identidade cumpre o papel do 1 na equação linear.
    Se eu tenho 3x=2, passo o "x" dividindo. Se eu tenho 1x=2/3, 1 vezes "x" é simplesmente "x".
    A identidade cumpre esse papel, como se fosse o 1 na álgebra a que estamos acostumados. Então, eu vou ter que X=[A^(-1)].B, e aí eu matei o meu problema.
    Eu não queria descobrir a matriz "X"? Porque a matriz "X" me dá justamente quem é o "x", o "y" e o "z", quem são as minhas incógnitas.
    Então, olha só que legal, se eu souber a inversa de "A", um outro jeito de eu resolver o sistema linear é usando essa ideia aqui. A gente viu como escrever o sistema nessa forma matricial, então, basta eu pegar a inversa de "A", que é a matriz que tem os coeficientes das variáveis Então, se eu pegar a inversa de "A" e fizer essa inversa vezes "B", que é a matriz dos coeficientes independentes, eu vou ter justamente a matriz que vai me dar cada um dos elementos, cada uma das minhas incógnitas.
    Então, esse é o processo que a gente utiliza, ...

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