Ponto Aprenda tudo que você precisa

  • play_arrow 4 videos
  • subject1 Resumo
lock

Esse conteúdo é exclusivo para assinantes.

Assine o Plano Premium e tenha acesso ilimitado a todas as aulas

AssinarVeja aula grátis

Condição de alinhamento - Teoria

Já sabemos que quaisquer dois pontos formam uma reta. Veja agora quais são as condições necessárias para idenficar se três pontos são colineares ou não.

  • thumb_down 0
  • Plano completo
  • Transcrição
  • play_arrowIntrodução ao Ponto - Teoria

    lockDistância entre pontos - Teoria

    lockCoordenadas do ponto médio e coordenadas do baricentro - Teoria

    lockCondição de alinhamento - Teoria

    lockPonto - Resumo

  • E aí, pessoal. Vamos lá.
    Vamos para a nossa próxima aula. Aqui a gente vai falar da condição de alinhamento de três pontos.
    O que é isso? Vocês vão entender daqui a pouco, porque isso vai ser importante, mas nas próximas aulas em que a gente for começar a falar de retas, isso aqui vai ser importante.
    Bom, significa o seguinte: quaisquer dois pontos, eles estão sempre alinhados, ou seja, o que é os pontos estarem alinhados? Estarem sob a mesma reta.
    Então eu sempre consigo, eu acabei de fazer quaisquer dois pontos que eu escolho, sempre tem uma reta que passa por eles. Por exemplo, vamos supor que é esse ponto e esse aqui.
    Eu consigo traçar uma reta que contenha esses dois pontos. Quando a gente fala de pontos alinhados, que é o título da nossa aula, a gente fala de alinhamento de pontos, é isso o que a gente está falando, deles estarem todos sob uma mesma reta.
    Beleza? Comumente também vão aparecer pontos colineares, é a mesma coisa; pontos colineares, pontos alinhados, são pontos que estão então sob uma mesma reta.
    Legal? Então como a gente já viu dois pontos quaisquer sempre existe uma reta que contém eles.
    A gente vai discutir isso mais ainda a definição, a determinação de uma reta na próxima aula, mas é fácil a gente enxergar isso, não é? Beleza.
    O que interessa então? É saber quando três pontos estão ou não alinhados.
    Esses dois sempre estão, mas, se eu escolher um terceiro aqui, eu já vejo que eles não estão alinhados. Mas, se eu escolher por aqui, talvez eles estejam, não é?
    Então é isso o que vai interessar, vamos dizer que eu vou pegar um terceiro ponto aqui B, vou colocar até aqui do lado, olha. Vou pegar um terceiro ponto B, de coordenadas aqui, vamos dizer, XB e YB, vamos lá então.
    Então a gente conhece as coordenadas, tá pessoal? Então a gente teria aqui um XB, a abcissa do ponto B, o X do ponto B e aqui a ordenada do ponto B, então eu teria aqui um YB e eu quero que esses três pontos então estejam alinhados, ou seja, existe uma reta que passa por eles.
    E aí, pessoal, o que a gente vai ver é o seguinte, o nosso teorema aqui é o seguinte então: A, B e C são colineares ou estão alinhados, estão alinhados se, e somente se, então eles só estão alinhados se isso aqui acontecer, pessoal, que é o que a gente vai discutir agora. Se, e somente se, isso aqui acontecer.
    Que é o quê? O determinante desses pontos, pessoal, então a gente vai fazer isso aqui.
    Eu vou pegar os três pontos tanto faz a ordem, tá? Então eu vou ter aqui XA, YA, eu vou ter aqui XB, YB, depois XC, YC.
    E aí eu completo isso aqui com vários 1's. Se a gente está falando de determinante, a gente precisa de uma matriz quadrada.
    Se isso aqui então, pessoal, for igual a zero. Então, esses pontos só estão alinhados se esse determinante for igual a zero.
    Se você não lembra como calcula o determinante, não tem problema, a gente vai fazer um exemplo daqui a pouquinho para você se lembrar, beleza? Mas então isso aqui é importante, pessoal.
    Esses três pontos só estão alinhados se isso acontece e se isso acontece então os três pontos estão alinhados. Se esses determinante for diferente de zero, pessoal, então a gente pode concluir já que os pontos não estão alinhados, não são colineares, seria o caso, por exemplo, desse ponto aqui.
    Então eles não estão contidos em uma mesma reta. Beleza?
    Então vamos lá. Vamos fazer um exemplo aqui vamos lá.
    O primeiro exemplo é esse daqui: verificar se os pontos estão alinhados. Então o que eu tenho que fazer?
    Vamos lá. Vamos colocar aqui, vamos montar o nosso determinante, então eu preciso aqui, olha, o ponto A (1,2), o ponto B (0,3), ponto C (4, -1). Aí eu repito aqui, a minha terceira coluna, coloco apenas 1's.
    E aí vamos lá. Vamos calcular os determinantes.
    Como que a gente calcula, pessoal? Se você não se lembra, o jeito mais simples aqui seria a gente pegar e completar aqui do lado, repetir essas duas primeiras colunas.
    Então eu repito aqui, coloco (1,0,4) e repito aqui (2, 3,-1). E aí como é que fica esse determinante?
    Vai ficar assim o cálculo, pessoal. A gente pega e faz esses produtos, dessas diagonais nesse sentido, então aqui a gente faz esses produtos, então, ou seja, quanto que vai dar?
    1x3=3, 3x1=3. Mais 2x1=2x4=8.
    Mais 1x0=0x-1=0. Mais 0 e aí?
    A gente pega esses produtos e soma com os produtos dessas outras diagonais aqui, olha. Então eu vou fazer esses produtos, esse produto e esse produto, lembrando que eu troco o sinal, pessoal.
    Então como é que ficaria? 1x3=3, 3x4=12, então colocaria -12.
    1x1=1x-1=-1, troco o sinal, + 1. 2x0=0 já zerou, então + ou - 0 tanto faz, né?
    Zerou. Então, pronto.
    É só a gente ver quanto que vai dar esse resultado. Isso aqui vai dar quanto?
    Vamos ver. Esse 8 - 12 = -4.
    Não é? -4 + 1 aqui -3 + 3 = 0.
    Deu exatamente 0, não é pessoal? Então, sim, esses pontos estão alinhados, então a resposta é sim.
    Os pontos estão sob a mesma reta ou os pontos são colineares. Os pontos são colineares.
    Beleza, pessoal? Então está aí.
    É só a gente fazer o cálculo. Se tivesse dado -1, se tivesse dado 50, se tivesse dado 3, 5/3, qualquer outra coisa diferente de zero, a gente ia concluir o contrário do que a gente concluiu.
    Os pontos então não são colineares, não estão sob a mesma reta. Não é muito difícil não, não é pessoal?
    É só a gente saber essa condição aqui então. Então essa aqui é a condição.
    Eles só estão alinhados, se esse determinante é igual a zero, então a gente já lembrou para calcular o determinante. Se é 3/3 assim, não é?
    É só repetir as duas primeiras colunas, eu faço os produtos aqui, somo com os produtos de lá com o sinal trocado e vejo. Qualquer coisa diferente de zero não estão alinhados deu zero estão alinhados.
    Legal? Beleza.
    Vamos fazer um outro exemplo? Então vamos lá.
    Olha o que o exercício está pedindo. Determine o ponto da reta, determinada pelos pontos A (1, 5) e B (-2, -1), que pertence ao eixo das abcissas. Essa questão é muito interessante.
    Olha só o que ela está querendo. Eu fiz até um esboço aqui.
    Eu tenho aqui o meu plano XY, ponto A (1,5), ponto B (-2,-1). O que ele quer?
    A gente já sabe que dois pontos determinam uma reta. Essa reta aqui já está determinada.
    Só existe uma reta que liga esses dois pontos, que passam por esses dois pontos aqui. Correto?
    Ele quer saber qual ponto dessa reta pertence ao eixo das abcissas, ou seja, ele quer saber na verdade esse ponto aqui, olha. Vou colocar até de uma cor diferente.
    Esse ponto aqui, olha. Vou chamar ele de ponto C.
    Pode ser? Então olha aqui.
    Esse aqui é o meu ponto C. Quais são as coordenadas do ponto C?
    O X dele eu não sei, vamos dizer que é um M, beleza? Agora o Y, como ele pertence ao eixo das abcissas, eu sei o que o Y dele tem que ser zero.
    Então isso é o que ele quer, pessoal. Essa reta está determinada e ele quer saber qual o ponto da reta determinada por esses pontos A e B pertence ao eixo das abcissas.
    Ou seja, a gente precisa descobrir então só qual é a abcissa dele, porque, se ele pertence ao eixo das abcissas, eu sei que a ordenada dele é zero. Não é?
    E, se esse ponto pertence a essa reta, o que a gente sabe? Esses três pontos estão alinhados.
    O determinante deles têm que dar zero, não é isso? Então, como que ficaria?
    Vamos montar o determinante aqui. Ficaria assim, olha: Ponto A (1,5), Ponto B (-2, -1), certo? E Ponto C (M, 0). O que eu faço?
    Repito aqui a terceira coluna com 1´s e agora eu vou ter que repetir também essas duas primeiras colunas. Então repetindo aqui, fica: (1, -2 e M) e (5, -1, 0) e eu sei que esse determinante, então tem que dar igual a zero. Então vamos lá, vamos fazer isso daí.
    Como que ficaria isso daí? Vou fazer o produto dessas diagonais, então 1 x -1 x 1 = -1.
    Aqui eu vou ter 5 x 1 x M = 5M. Então mais 5M.
    E aqui 1 x qualquer coisa x 0 = 0. Zerou, não é?
    Beleza. Agora vamos fazer esses produtos.
    1 x -1 x M = - M. só que agora eu troco o sinal, então fica +M.
    Esse aqui vai dar 1 x 1 x 0 = 0. Zerou.
    E aqui 5 x 2 x - 10 x 1 - 10, troca o sinal + 10, isso tem que dar igual a zero, por quê? Por que os pontos estão alinhados, estão sobre a mesma reta.
    Então, como é que fica? Olha aqui.
    6M + 10 - 9 é +9, jogando para o lado de lá -9. Posso dividir por 3 dos dois lados, não é?
    Fica 2M = -3, então eu descobri o M. Meu M então é -3/2, ou - 1,5.
    E é negativo como a gente conseguiu perceber no nosso desenho como está aqui, em escala, certinho, mas deu para a gente já ter uma ideia que o M teria que ser negativo. Então o ponto que ele quer, o ponto determinado por essa reta que pertence ao eixo das abcissas é o ponto (-1,5;0). Está aí, pessoal.
    Exercício bem interessante, não é? Então é isso, turma.
    Muito obrigado aí pela atenção, até a próxima aula. ...

Tópicos relacionados

Reta

Reta

8 Vídeos 1 Resumo
Cônicas

Cônicas

6 Vídeos 1 Resumo